Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
Теорема 1: (Аддитивное свойство интегралов) Функция интегрируема на отрезке тогда и только тогда, когда функция интегрируема на отрезках и и при этом выполняется равенство: Доказательство: Пусть интегрируема на , тогда по основной теореме Можно считать, что точка c является точкой разбиения, потому что, если она таковой не является, мы добавим эту точку и рассмотрим новое разбиение , тогда , поэтому можно считать, что разбиение R изначально содержит точку с. Тогда это разбиение порождает разбиения - разбиение и - разбиение . Тогда и разность сумм Дарбу можно представить как: . Так как каждое из этих двух слагаемых неотрицательно и в сумме они меньше , значит каждое из них меньше по основной теореме интегрируема на и . Доказано. Пусть интегрируема на отрезках и , тогда точно так же найдем - разбиение и - разбиение , такие что и , тогда для разбиения , где R–разбиение отрезка , значит интегрируема на отрезке . Доказано. Доказали интегрируемость, теперь докажем равенство : Замечание: Мы предполагаем, что точка с участвует во всех этих разбиениях; если она в них не участвует, то по следствию из основной теоремы нам это неважно, поскольку если хотя бы для одной последовательности разбиений предел стремится к числу, то и для всех остальных - тоже. И мы берем такую последовательность разбиений, что точка с в них участвует.
- сумма берется по тем отрезкам, которые содержатся в и соответственно. Нужно учесть, что . Теорема доказана. Замечание: Мы определили понятие определенного интеграла только для случая ; доопределим понятие определенного интеграла от a до b в случае, когда : Если , то положим , тогда равенство становится верным не только для , но и для любых , при условии что все вышеперечисленные интегралы существуют. Пример: Теорема2: (Однородные свойства интегралов) Пусть функции интегрируемы на , тогда 1) f + g – интегрируема на и , если интегралы в правой части существуют, т.е. в общем случае обратное не верно. (Пример: Если взять f – неинтегрируема на и –f – тоже неинтегрируема, то их сумма =0 – интегрируема). 2) - интегрируема на и , обратное тоже верно, в случае если 3) - интегрируема. 4) - интегрируем 5) Если отделена от 0 на отрезке , т.е. на где , то - интегрируема.
Доказательство: 1) 2) аналогично; Замечание: обозначим ; ; - по свойству ограниченности; соответственно введем 3) Перейдем к супремумам: на произвольном промежутке По основной теореме найдутся такие разбиения , что и , что . Теперь если мы возьмем сумму разбиений и , то будут выполняться оба неравенства, и тогда интегрируема. 4) ; переходя к супремумам и умножая на , получим: Замечание: переход к супремуму на промежутке : Замечание: обратное неверно: Контрпример: - сама по себе не интегрируема (доказано ранее), а по модулю – интегрируема.
5) ; переходя к супремумам супремум в этом неравенстве, получим: ; теперь домножая на и суммируя, получим Теорема доказана. Билет 46
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-09; просмотров: 239; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.17.6.75 (0.008 с.) |