Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем. ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
Теорема 1: Если функции интегрируемы на и Доказательство: выполняется неравенство , тогда . Так как интегралы по условию существуют, по теореме о предельном переходе под знаком неравенства, . Теорема доказана. Следствие: Если - интегрируема на , то, по доказанному выше, - интегрируем на данном отрезке; тогда Доказательство: Известно неравенство: ; по данной теореме ; из самого правого интеграла минус можно вынести; получим: . Следствие доказано. Теорема 2: (о среднем) Пусть интегрируемы на , причем на данном промежутке, тогда , где , и Замечание: sup и inf существуют, т.к. функция на данном промежутке интегрируема, а значит ограничена. Доказательство: Запишем неравенство: и домножим его на : ; тогда по теореме о неравенствах это неравенство сохранится и в интегралах: () Если , то и интеграл и неравенство () выполняется. Если , тогда по теореме о неравенствах , значит можно неравенство () на него разделить: и принимаем за . Теорема доказана. Следствие: Если непрерывна на и выполняется условие теоремы, то Доказательство: Т.к. непрерывна на , то она достигает своего max и min значения, а в силу непрерывности sup=max, inf=min; значит - по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции. Следствие доказано. Следствие к следствию: Если непрерывна на , то Доказательство: Возьмем , тогда (по следствию) . Следствие доказано. Геометрический смысл этого следствия: Если считать площадь криволинейной трапеции, то найдется такая точка , что площадь этой криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника с высотой .
Билет 47 Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим функцию , интегрируемую на отрезке . По аддитивному свойству интеграла: , можно найти отрезок на котором представляется возможным рассмотреть функцию . Теорема: Если функция интегрируема на отрезке , то непрерывна на отрезке .
Доказательство: Рассмотрим функцию , , где , , , где Теорема доказана.
Теорема: Пусть функция интегрируема на отрезке , непрерывна в точке , тогда функция дифференцируема в точке и .
Доказательство: , , , т.е. . Теорема доказана.
Следствие: Если функция непрерывна на отрезке , то , т.е. - первообразная . , Функция непрерывна в точке , ; , где непрерывна на отрезке . Заключаем, что . Т.е. любая непрерывная функция имеет первообразную. Теорема доказана.
Формула Ньютона-Лейбница: Функция непрерывна на отрезке , тогда она имеет первообразную. Пусть - её произвольная первообразная. Тогда . Доказательство: Функция непрерывна на отрезке , - первообразная функции , , , . Теорема доказана. Билет 48
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-09; просмотров: 203; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.142.196.27 (0.008 с.) |