Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.
Определение: По определению кривая называется выпуклой вниз (вверх) на отрезке [a,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках ()расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды. Определение: Множество называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества, отрезок, соединяющий их лежит также в этом множестве.
Выпуклость вверхВыпуклое множество
Выпуклость внизНевыпуклое множество
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие выпуклости на отрезке) Пусть функция непрерывна на [a,b] и имеет вторую производную на (a,b). Для того чтобы кривая была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство () для всех . Доказательство: Пусть наша кривая выпукла кверху на [a,b]. Тогда для любых х и h >0 таких, что х, х+2h [a,b], имеет место неравенство , откуда . Если теперь и - произвольные точки интервала (a,b), то, положив h = ( - )/n, будем иметь . Таким образом, (, и, переходя к пределу при , получим неравенство , показывающее, что производная на интервале (a,b) не возрастает. Но тогда на (a,b). Обратно, пусть и . Нам нужно доказать, что функция , где , удовлетворяет неравенству . Допустим, что это не так. Тогда . Поэтому . Применяя формулу Тейлора, получим 0= . Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию. Доказательство в случае аналогично. Теорема доказана. Билет 23 Правило Лопиталя. Случай 0/0. Теорема 1: (Неопределенность вида 0/0) Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, в этой окрестности и в той же окрестности, тогда, если , то Доказательство:
A – конечное. Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]
при f(a)=g(a)=0 => 2) Пусть Введем функции и Теорема доказана. Замечание: обратное неверно. Пример: Билет 24 Правило Лопиталя. Случай . Теорема: Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a и и в некоторой выколотой окрестности точки a, тогда, если , то и Доказательство: Возьмем произвольную последовательность , , , тогда по определению предела по Гейне
и Тогда - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C = - аналогично для g(x) Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства: , Используя термины можно записать: , Пояснение: , а т.к. Найдем теперь предел отношения к : [ можно добавить или отнять , предел от этого не изменится ] [ воспользуемся теоремой Коши: или - смотря, что больше] - по определению предела по Гейне. Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, (ее формулировка: если такова, что из любой её подпоследовательности можно извлечь в свою очередь подпоследовательность , сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел =А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится. Теперь возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность , тогда по только что доказанному из подпоследовательности мы можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к , т. е. Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.
Билет 25 Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
Кроме рассмотренных неопределенностей и , встречаются неопределенности вида , , , , , определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям или алгебраическими преобразованиями. 1) Неопределенность ( при ). Ясно, что или . 2) Неопределенности вида , , для выражения сводятся к неопределенности . Согласно определению этой функции . , то . 3) Неопределенность (, , при ) Легко видеть, что . Билет 26
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-09; просмотров: 178; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.166.7 (0.02 с.) |