Первое уравнение системы (3.4.3) можно преобразовать к виду

или

.

Второе уравнение можно преобразовать к виду

.

Таким образом, мы имеем систему уравнений

 

,

. (3.4.4)

 

Ее решение позволяет найти оценки параметров a и b.

Для упрощения расчетов (при нечетном количестве точек ряда – 2к+1) будем считать, что ряд образуется для моментов времени – к, -к+1, … 0, 1, 2, ….. к.

Тогда

и система уравнений имеет решение

,

. (3.4.5)

 

Полученная модель используется для прогноза показателя на момент времени t_L

(3.4.6)

Ошибки в оценке параметров приводят к ошибке в оценке тренда (среднего уровня), т. е. величина (t_L) является случайной.

Дисперсия ошибки прогноза оценивается по формуле

(3.4.7)

где y(t_L) – истинное значение величины:

;

n – количество точек имеющегося временного ряда;

L – количество точек периода упреждения;

- оценка остаточной дисперсии.

Из формулы (3.4.7) следует, что дисперсия ошибки прогноза увеличивается с увеличением периода упреждения (L) и уменьшается с увеличением числа точек временного ряда (n).

ПРИМЕР. Опишем динамику добычи угля в Англии за ряд лет (табл. 5) линейной зависимостью.

Т а б л и ц а 5. Динамика добычи угля в Англии

ti	yi	ti^2	yiti		ei
-2			-454
-1			-219
					-3
Итого			-90

 

 

 

т. е. линейная модель имеет вид

.

При этом

Результаты расчетов приведены в пятом столбце таблицы

При прогнозировании на 3 года (t_L =5) прогноз добычи угля по модели составит

.

Определим дисперсию ошибки прогноза по формуле (4.5.7), оценив предварительно остаточную дисперсию.

;

.

 

 

Задание № 2

Выберите из табл. 6 временной ряд в соответствии с номером Вашего варианта (по последней цифре шифра зачетной книжки)

Таблица 6. Исходные данные по вариантам

Номер варианта	Временной ряд
	26,7	27,3	28,8	30,9	31,2
	85,4	87,2	93,4	97,1	97,2
	212,3	216,2	219,8	223,2	226,4
	145,0	152,9	164,6	168,8	181,3
	59,1	56,1	58,9	58,4	57,5
	78,5	81,1	87,3	91,7	96,4
	292,3	327,6	369,3	412,4	458,9

 

1. Рассчитать показатели динамики – абсолютный прирост, коэффициент роста, коэффициент прироста (цепные и базисные).

2. Найти средний абсолютный прирост и средний коэффициент роста.

3. Подобрать линейную зависимость вида . Найти оценки коэффициентов и по методу наименьших квадратов.

4. Сделать прогноз показателя по математической модели тренда на 3 года вперед и найти оценку дисперсии ошибки прогноза

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Айвазян С. А. Эконометрика: учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Маркет ДС, 2007.- 98 с.

2. Богданов А. И. Математические модели прогнозирования: монография.- СПб.: СПГУТД, 2007.- 128 с.

3. Богданов А.И. Эконометрика: учеб. пособие. – СПб: СПГУТД, 2010.- 105 с.

4. Дубина И. Н. Математико-статистические методы в эмпирических социально-экономических исследованиях: учеб. пособие по дисциплине «Эконометрика». –М.: Финансы и статистика, 2010. – 413 с.

5. Кремер Н. Ш. /Эконометрика; под ред. Н.Ш. Кремера/ Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, 3-е изд. - М.: ЮНИТИ, 2010.- 328 с.

6. Эконометрика / под ред. И.И. Елисеевой. 2-е изд.- М.: Финансы и статистика, 2005.- 576 с.