Понятие о прогнозировании и математическом моделировании 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Понятие о прогнозировании и математическом моделировании



ПОНЯТИЕ О ПРОГНОЗИРОВАНИИ И МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

 

Первое уравнение системы (2.4.3) можно преобразовать к виду

или

.

Второе уравнение можно преобразовать к виду

.

Таким образом, мы имеем систему уравнений

 

; (2.4.4)

,

Разделив обе части уравнений (2.4.4) на n, получим систему уравнений в виде

(2.4.5)

где соответствующие средние определяются по формулам

; ;

; . (2.4.6)

Подставляя значение

из первого уравнения системы (2.4.5) во второе, получим

 

, (2.4.7)

где - выборочная дисперсия переменной Х:

, (2.4.8)

- выборочная ковариация:

. (2.4.9)

Отметим, что линия регрессии проходит через точку , то есть

.

В заключение приведем удобные для расчета оценок параметров формулы:

, (2.4.10)

. (2.4.11)

Если рассчитан выборочный коэффициент корреляции , то коэффициенты a0 и a1 могут быть определены следующим образом

, , (2.4.12)

где - выборочная дисперсия переменной Y:

 

В качестве оценки дисперсии случайной компоненты используется

. (2.4.13)

При выполнении предположений 1-4 доказано, что оценки параметров и по методу наименьших квадратов и являются несмещенными с минимальными дисперсиями в классе линейных оценок (т. е. эффективными).

Кроме того, статистика является несмещенной оценкой дисперсии .

 

Проверка статистической значимости оценок коэффициентов регрессии

В действительности может оказаться, что фактор X не влияет на результирующий признак Y, что эквивалентно условию . Однако при этом . Для проверки существенности отклонения от 0 служит статистический тест. Рассматривается гипотеза H0: a1= 0 при альтернативной гипотезе H1: .

Проверка значимости оценок с помощью критерия Стьюдента проводится путем сопоставления вычисленных значений оценок с величиной их среднего квадратичного отклонения.

Статистика теста имеет вид

 

. (2.4.14)

 

Известно, что дисперсия оценки определяется следующим образом

(2.4.15)

Поэтому для вычисления оценки можно использовать следующую формулу

 

. (2.4.15а)

 

Если , то принимается гипотеза H0, в противном случае принимается гипотеза H1. В случае принятия гипотезы H0 фактор Х исключается из модели и принимается, что .

 

Пример

Исследуем зависимость розничного товарооборота магазинов (млрд р.) от среднесписочного числа работников. Обозначим:

x – число работников;

y – товарооборот.

Исходные данные и результаты расчетов приведены в табл. 2.

 

Т а б л и ц а 2. Исходные данные и результаты расчетов

Номер магазина
    0,5 39,5 6 241 0,25 0,48 0,02 0,0004
    0,7 59,5 7 225 0,49 0,61 0,09 0,0081
    0,9 91,8 10 404 0,81 0,96 -0,06 0,0036
    1,1 126,5 13 225 1,21 1,23 -0,13 0,0169
    1,4 170,8 14 884 1,96 1,37 0,03 0,0009
    1,4 176,4 15 876 1,96 1,45 -0,05 0,0025
    1,7 227,8 17 956 2,89 1,62 0,08 0,0064
    1,9 279,3 21 609 3,61 1,88 0,02 0,0004
Итого   9,6 1171,6 107 420 13,18 - - 0,0392

 

Вычислим выборочный коэффициент корреляции, используя удобные для вычисления формулы (2.2.3):

;

;

.

 

Тогда

Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого вычислим статистику t:

Табличное значение критерия Стьюдента для n-2 = 6 степеней свободы и уровня значимости составляет

Так как t > , то нулевая гипотеза об отсутствии корреляции отвергается, и полученный коэффициент корреляции статистически значим.

Найдем коэффициенты парной линейной регрессии, предварительно вычислив средние значения и выборочные дисперсии переменных x и y

;

; ;

;

Найдем оценки параметров регрессии:

;

Таким образом, регрессия имеет вид

.

Рассчитаем значения для всех магазинов и занесем результаты вычислений в таблицу, найдя при этом = и .

Найдем оценку дисперсии случайной компоненты 𝛆

;

 

Проверим статистическую значимость параметра

 

Так как > 2,45, то параметр статистически значим.

Проверим статистическую значимость регрессии в целом по критерию Фишера.

Известно, что

Тогда

 

Табличное значение критерия Фишера уровня значимости α=0,05 при 1 и 6 степенях свободы составит

Так как F > , то уравнение регрессии значимо по критерию Фишера.

 

Прогнозное значение розничного товарооборота при составит

При этом оценка дисперсии ошибки прогноза

 

=0,0197.

 

Задание № 1

В табл. 3 приведены 5 показателей деятельности торговых предприятий. В соответствии с номером варианта выберите номера 2-х показателей

 

Номер варианта Номер 1-го показателя   Номер 2-го показателя
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

 

 

Т а б л и ц а 3. Показатели деятельности торговых предприятий за год

Номер предпри-ятия Численность работников Средняя зарплата, тыс. р. Дебиторская задолженность на конец года, тыс. р. Балансовая прибыль, тыс. р. Собственные оборотные средства, тыс. р.
    17,3 7,0    
    20,2 5,1    
    19,1 1,2    
    17,0 7,1    
    20,3 2,2    
    19,1 5,3    
    19,2 4,0    
    19,2 4,1    
    17,0 7,8    
    17,1 7,3    
    19,3 2,2    

 

Окончание таблицы 3.

Номер предпри-ятия Численность работников Средняя зарплата, тыс. р. Дебиторская задолженность на конец года, тыс. р. Балансовая прибыль, тыс. р. Собственные оборотные средства, тыс. р.
    21,0 1,0    
    20,0 2,3    
    19,7 7,4    
    19,2 5,6    
    19,1 2,0    
    21,3 1,5    
    18,0 5,3    
    20,0 3,2    
    19,1 5,8    
    19,0 5,0    
    20,7 5,6    
    19,6 6,5    
    20,5 5,3    
    18,3 3,7    
    19,2 4,8    
    21,8 4,9    
    20,9 2,1    
    18,2 7,0    
    18,0 6,8    

 

 

С помощью корреляционного и регрессионного анализа изучить связь между показателями, указанными в Вашем варианте.

1. Рассчитать значение выборочного коэффициента корреляции для данных табл. 1.

2. Проверить статистическую значимость полученного коэффициента корреляции.

3. Сделать вывод о наличии и тесноте статистической связи.

4. Найти коэффициенты парной линейной регрессии.

5. Проверить статистическую значимость параметра по критерию Стьюдента.

6. Проверить статистическую значимость уравнения регрессии по критерию Фишера.

7. Сделать прогноз признака-результата, если признак-фактор принимает свое среднее значение.

8. Найти оценку дисперсии ошибки прогноза.

 

 

3. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

 

3.1. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Временной ряд представляет собой ряд числовых значений какого-либо показателя в последовательные моменты или периоды времени. Числовые значения, составляющие временной ряд, называются уровнями ряда.

По способу построения ряд может быть моментным, когда уровни ряда представлены на определенные моменты времени (конец квартала, начало года и т.д.) и интервальным, когда уровни ряда соответствуют определенным интервалам времени.

Изучение различных процессов на основе временных рядов включает следующие этапы:

- сбор исходной информации и построение временных рядов;

- визуальный анализ временного ряда и формирование набора возможных моделей прогнозирования;

- идентификация (подбор) модели;

- оценка параметров моделей;

- осуществление прогноза по математической модели.

В практике анализа временных рядов принято считать, что значения уровней временных рядов складываются из следующих компонент:

- тренд;

- сезонная составляющая;

- циклическая составляющая;

- случайная составляющая.

Под трендом (тенденцией) понимают изменения, определяющие общее направление развития изучаемого показателя. Это систематическая составляющая долговременного действия. Для описания тренда используют плавно меняющиеся, гладкие функции.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто имеют место более или менее регулярные колебания – периодические составляющие рядов динамики. Если период колебаний не превышает одного года, то их называют сезонными. Причины сезонных колебаний могут быть связаны с природно-климатическими условиями, могут носить социальный характер (например, увеличение покупок в выходные дни, увеличение платежей в конце квартала и т. д.). Для описания сезонной компоненты используют периодические функции.

При большом периоде колебаний считают, что во временных рядах имеется циклическая составляющая. Примерами могут служить демографические, деловые, инвестиционные и другие циклы.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента. Часто причиной нерегулярных колебаний является действие большого числа различных факторов. Эта компонента рассматривается как случайная.

 

 

3.2. ПОКАЗАТЕЛИ ДИНАМИКИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

 

Показатели динамики – это величины, характеризующие изменения уровней временного ряда. К ним относятся абсолютный прирост, коэффициент (темп) роста и коэффициент (темп) прироста.

Различают базисные и цепные показатели динамики. Базисные показатели – это результат сравнения текущего уровня ряда с одним фиксированным уровнем, принятым за базу (обычно это начальный уровень ряда). Цепные показатели – это результат сравнения текущего уровня ряда с предшествующим уровнем.

Формулы для расчета показателей представлены в табл. 4.

 

Задание № 2

Выберите из табл. 6 временной ряд в соответствии с номером Вашего варианта (по последней цифре шифра зачетной книжки)

Таблица 6. Исходные данные по вариантам

Номер варианта Временной ряд
         
  26,7 27,3 28,8 30,9 31,2
           
  85,4 87,2 93,4 97,1 97,2
           
           
  212,3 216,2 219,8 223,2 226,4
  145,0 152,9 164,6 168,8 181,3
  59,1 56,1 58,9 58,4 57,5
  78,5 81,1 87,3 91,7 96,4
  292,3 327,6 369,3 412,4 458,9

 

1. Рассчитать показатели динамики – абсолютный прирост, коэффициент роста, коэффициент прироста (цепные и базисные).

2. Найти средний абсолютный прирост и средний коэффициент роста.

3. Подобрать линейную зависимость вида . Найти оценки коэффициентов и по методу наименьших квадратов.

4. Сделать прогноз показателя по математической модели тренда на 3 года вперед и найти оценку дисперсии ошибки прогноза

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Айвазян С. А. Эконометрика: учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Маркет ДС, 2007.- 98 с.

2. Богданов А. И. Математические модели прогнозирования: монография.- СПб.: СПГУТД, 2007.- 128 с.

3. Богданов А.И. Эконометрика: учеб. пособие. – СПб: СПГУТД, 2010.- 105 с.

4. Дубина И. Н. Математико-статистические методы в эмпирических социально-экономических исследованиях: учеб. пособие по дисциплине «Эконометрика». –М.: Финансы и статистика, 2010. – 413 с.

5. Кремер Н. Ш. /Эконометрика; под ред. Н.Ш. Кремера/ Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, 3-е изд. - М.: ЮНИТИ, 2010.- 328 с.

6. Эконометрика / под ред. И.И. Елисеевой. 2-е изд.- М.: Финансы и статистика, 2005.- 576 с.

 

 

ПОНЯТИЕ О ПРОГНОЗИРОВАНИИ И МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-09; просмотров: 248; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.234.139.149 (0.085 с.)