Понятие о математическом моделировании и его роли в прогнозировании 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Понятие о математическом моделировании и его роли в прогнозировании



 

Сложность и многообразие реальных процессов обуславливают необходимость их упрощения, схематизации и идеализации, т.е. абстрагирования от несущественных второстепенных деталей. Такое абстрагирование позволяет получить модель процесса. В последние десятилетия математическое моделирование широко проникло в теоретическую и прикладную экономику.

Термин «модель» широко используется в различных областях человеческой деятельности. Модель – материально или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект – оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, исследования и применения моделей. Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заменителей.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты непосредственно исследовать невозможно (например, ядро Земли), опасно (ядерный реактор, эпидемический процесс) или весьма трудоемко.

Математические модели описывают взаимосвязи между переменными, характеризующими объект, на языке математики (в виде формул и математических операций). Полезность математических моделей состоит в том, что с их помощью удается выразить зависимости между различными величинами, в частности в виде функций.

Математические модели - мощный инструмент познания реального мира, так как позволяют просчитывать на ЭВМ большое число различных вариантов. Они должны учитывать основные стороны и взаимосвязи объекта и пренебрегать несущественными. Разработка моделей – большое искусство.

Можно выделить два способа построения математических моделей:

- на основе статистической обработки результатов исследований;

- на основе известных законов физики или логических соображений.

Для эконометрики характерен первый способ построения моделей.

 

 

2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

 

2.1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Во многих науках (физика, экономика и т. д.) используются модели, в которых некоторые переменные (не случайные) связаны функциональной зависимостью.

При статистической зависимости переменные (случайные величины) не связаны функционально. Однако закон распределения одной из них зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина. Поэтому речь идет об условном распределении Y при заданном х.

В частности, можно рассматривать условное математическое ожидание M(Y/ x) как некоторую функцию х. Такая зависимость называется регрессией.

При исследовании статистической зависимости между переменными пытаются ответить на следующие вопросы:

- существует ли статистическая связь между переменными;

- какова степень этой связи;

- какова форма связи.

Первые два вопроса решаются на основании корреляционного анализа.

 

2.2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

 

В качестве меры тесноты связи между двумя случайными величинами обычно используется коэффициент корреляции - r

, (2.2.1)

где - ковариация случайных величин X и Y;

- среднее квадратичное отклонение случайной величины X;

- среднее квадратичное отклонение случайной величины Y;

– математическое ожидание случайной величины X;

– математическое ожидание случайной величины Y;

- математическое ожидание XY.

При этом . При связь становится функциональной.

Выборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

, (2.2.2)

где - значение случайной величины X для i -го наблюдения (объекта);

- значение случайной величины Y для i -го наблюдения (объекта);

, - выборочные средние значения случайных величин X и Y;

n – число наблюдений (объем выборки).

На практике используются следующие формулы для «ручных» вычислений

;

 

; (2.2.3)

.

 

 

2.3. ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

 

После того, как вычислен выборочный коэффициент корреляции следует проверить гипотезу об отсутствии корреляционной связи для генеральной совокупности Н0: .

Для этого вычисляется критерий

(2.3.1)

и сравнивается с табличным значением критерия Стьюдента с степенями свободы уровня значимости .

Если , то с надежностью можно отвергнуть гипотезу Н0 и считать, что корреляция имеется.

 

 

2.4. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

 

Следующий этап исследования корреляционной связи заключается в том, чтобы описать зависимость признака-результата от признака-фактора некоторым аналитическим выражением.

; ,

где − средний уровень показателя Y при данном значении x;

ε – случайная компонента.

Модель парной линейной регрессии может быть записана и в следующем виде

где xi – значение переменной X в i -ом наблюдении;

yi – значение переменной Y в i -ом наблюдении;

εi – значение случайной компоненты ε в i -ом наблюдении;

n – число наблюдений (объем выборки).

Основные предположения регрессионного анализа относятся к случайной компоненте и имеют решающее значение для правильного и обоснованного применения регрессионного анализа на практике.

В классической модели регрессионного анализа имеют место следующие предположения:

1) Величины (а также зависимые переменные являются случайными, а объясняющая переменная – величина неслучайная.

2) Математическое ожидание случайной компоненты равно нулю

().

3) Случайные величины имеют одинаковую дисперсию (). Данное условие называется условием гомоскедастичности.

4) Случайные компоненты и являются некоррелированными между собой ( при ).

Эти четыре предположения являются необходимыми для проведения регрессионного анализа в рамках классической модели.

Пятое предположение дает достаточные условия для обоснованного проведения проверки статистической значимости полученных регрессий и заключается в нормальности закона распределения .

В общем случае задача оценки параметров регрессии может решаться с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Рассмотрим использование метода наименьших квадратов для оценки параметров регрессии

. (2.4.1)

На практике имеется серия наблюдений (xi;yi) (i=1,..,n).

При этом

.

Тогда

. (2.4.2)

Возьмем частные производные Q по параметрам и и приравняем их нулю

, (2.4.3)

.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-09; просмотров: 112; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.230.35.103 (0.104 с.)