Т а б л и ц а 4. Показатели динамики

Базисные	Цепные
Абсолютный прирост
Ai=yi-y1	ai=yi-yi-1
Коэффициент (темп) роста
Li=yi/y1 (*100 %)	li=yi/yi-1 (*100 %)
Коэффициент (темп) прироста
Ki=(yi-y1)/y1=Li-1 (*100 %)	ki=(yi-yi-1)/yi-1 =li-1 (*100 %)

 

Рассмотрим определение среднего абсолютного прироста (цепного).

Предположим, что имеется временной ряд y₁,y₂,…,y_n.

Тогда , , , …, (цепные приросты).

Средний абсолютный прирост равен

 

 

Рассмотрим определение среднего коэффициента роста (цепного)

Предположим, что имеется временной ряд y₁,y₂,…,y_n.

Тогда (i=2,…,n) – цепные коэффициенты роста.

Средний коэффициент роста равен

 

 

3.3. ВЫДЕЛЕНИЕ ТРЕНДА. СГЛАЖИВАНИЕ И ВЫРАВНИВАНИЕ

 

Временной ряд может быть представлен в виде

где f(a,t) – регулярная составляющая (тренд, основная тенденция);

e_t – случайная составляющая;

a – вектор параметров.

Одним из методов выделения тренда является сглаживание временного ряда с помощью скользящего среднего. Метод состоит в замене уровней ряда динамики средними арифметическими- за определенный интервал (окно сглаживания), длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

(3.3.1)

 

Например, при к=2, 2к+1=5 и

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. Действительно, если индивидуальный разброс значений члена временного ряда около своего среднего значения m характеризуется дисперсией , то разброс средней из 2к+1 членов временного ряда около того же значения m будет характеризоваться существенно меньшей величиной дисперсии, равной /(2к+1).

В результате сглаживания получается ряд с меньшим количеством уровней, так как крайние значения теряются.

Пример. Провести сглаживание временного ряда по данным таблицы методом скользящего среднего с интервалом сглаживания 3 года.

 

 

t

 

(3.3.2)

Например, при t=2 по формуле (3.3.2)

,

при t=3

и т.д.

В результате получим сглаженный ряд

t
	-	225,0	257,0	305,7	329,3	336,3	358,0	-

 

При аналитическом выравнивании подбирают математическую функцию, значения которой наиболее близки к уровням выравниваемого ряда. Выравнивание ряда сводится к определению параметров a функции f( a ,t). Для этого используется метод наименьших квадратов (МНК).

 

3.4. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТРЕНДА

Предположим, что имеет место линейная зависимость т. е.

. (3.4.1)

Найдем оценки коэффициентов a и b по фактическим данным об уровнях ряда (t_i; y_i) (i=1,…,n) так, чтобы сумма квадратов отклонений теоретической кривой от реальных данных была минимальной

(3.4.2)

или

. (3.4.2а)

 

Возьмем частные производные Q по параметрам a и b и приравняем их нулю

, (3.4.3)

.