Системы линейных уравнений и их решение

 

3.1. Решение систем линейных уравнений методом последователь-ного исключения неизвестных (методом Гаусса). В основе метода Гаусса лежат элементарные преобразования над системой линейных уравнений, приводящих данную систему к такому виду, из которого все ее решения находятся непосредственно.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

а ₁₁ х ₁ + а ₁₂ х ₂ +... + а _{1 п} х_п = b ₁,

а ₂₁ х ₁ + а ₂₂ х ₂ +... + а _{2 п} х_п = b ₂,

............

а_{т 1} х ₁ + а_{т 2} х ₂ +... а_тпх_п = b_m.

Возможны два случая.

1) Среди уравнений системы имеется такое, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, т.е. уравнение 0 ∙ х ₁ + 0 ∙ х ₂ +... + 0 ∙ х_п = b, где b – число отличное от нуля. В этом случае никакой набор значений х ₁, х ₂, х ₃,..., х_п не может удовлетворять такому уравнению, поэтому система уравнений несовместна.

2) В каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. Для определенности положим а ₁₁ ≠ 0. исключим х ₁ из всех уравнений системы начиная со второго. Для этого из второго уравнения вычтем первое, умноженное на , затем аналогично поступим с третьим, четвертым и всеми оставшимися уравнениями системы. В результате этих преобразований система примет вид:

а ₁₁ х ₁ + а ₁₂ х ₂ +... + а _{1 п} х_п = b ₁,

а х ₂ +... + а х_п = b ,

.........

а х ₂ +... а х_п = b .

Положив а ≠ 0, исключая неизвестную х ₂ проведем аналогичные преобразования со всеми уравнениями полученной системы начиная с третьего. В результате либо придем к несовместной системе линейных уравнений, либо к системе уравнений вида:

а ₁₁ х ₁ + а ₁₂ х ₂ + а ₁₃ х ₃ +... + а _{1 п} х_п = b ₁,

а х ₂+ а х ₃ +... + а х_п = b ,

а х ₃ +... + а х_п = b ,

.........

а х ₃ +...+ а х_п = b .

Продолжая этот процесс, мы обязательно придем к одному из двух случаев.

I. Либо после какого-то шага получится система, содержащая уравнение вида 0 ∙ х ₁ + 0 ∙ х ₂ +... + 0 ∙ х_п = b, где b – число отличное от нуля. Тогда исходная система уравнений несовместна.

II. Либо мы придем к системе вида

а ₁₁ х ₁ + а ₁₂ х ₂ +... + а _1k х_k +... + а _{1 п} х_п = b ₁,

а х ₂+... + а х _k +...+ а х_п = b ,

..............

а х_k +...+ а х_п = b ,

где k ≤ n.

а) Если k = n, то система принимает вид

а ₁₁ х ₁ + а ₁₂ х ₂ +... + а _1k х_k = b ₁,

а х ₂ +...+ а х _k = b ,

..........

а х_k = b

и имеет единственное решение.

б) Если k < n, то система имеет бесконечное множество решений. При этом, придавая различные значения переменным х_k+1, х_k+2, ..., х_п, получаем различные значения переменных х₁, х₂, х₃,..., х_k.

Практически процесс решения системы линейных уравнений можно облегчить, если вместо преобразований над системой производить преобразования над её расширенной матрицей:

Пример: Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

3 х ₁ - х ₂ + 2 х ₃ – 3 х ₄ = -2,

х ₁ + 3 х ₂ – х ₃ + 2 х ₄ = 2,

2 х ₁ + х ₂ – 5 х ₃ – х ₄ = -1,

-5 х ₁ + х ₃ + х ₄ = -3.

Решение.

Данной системе соответствует расширенная матрица:

~ ~ ~

 

~ ~ ~ .

Последней матрице соответствует система:

х ₁ + 3 х ₂ – х ₃ + 2 х ₄ = 2,

5 х ₂ + 3 х ₃ + 5 х ₄ = 5,

11 х ₃ + х ₄ = 2,

-2 х ₄ = -5 .

Из полученной системы находим: х ₄ = 2; х ₃ = 0; х ₂ = -1; х ₁ = 1.

Ответ: х ₁ = 1; х ₂ = -1; х ₃ = 0; х ₄ = 2.