Определение производной функции

Определение. Производной функции у = f (x) в точке х ₀ называется предел отношения приращения функции ∆ у в точке х ₀ к приращению аргумента ∆ х, когда последний стремится к нулю.

Таким образом, если у = f (x) - функция от х, то производная f' (x) этой функции при данном значении х определяется равенством

f' (x) = .

Пример. Исходя из определения, найти производную функции у = в точке х = 4.

Решение.

Найдем приращение функции: ∆ у = .

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

= .

Считая х фиксированным числом, найдем предел данного отношения когда ∆ х стремится к нулю:

у' = = = = = = = = = .

Тогда у' (4) = = .

Ответ: у' (4) = .

 

Производные основных элементарных функций

Формулы дифференцирования основных элементарных функций сведены в таблицу:

I. у = с; у' = 0; II. у = х^п; у' =пх^п-1; III. у = а^х; у' = а^хln a; III¢. у = е ^х; у ' =е ^х; IV. у = loga х; у ' = ; IV¢. у = ln x; у ' = ;	V. у = sin х; у' = cos x; VI. y = cos x; у' = – sin x; VII. y = tg x; у' = ; VIII. у = ctg x; у' = – ;
IX. y = arcsin x; у' = ; X. у = arccos х; у' = – ;	XI. у = arctg x; у' = ; XII. у = arcсtg x; у' = – .

Производная суммы, произведения и частного

Пусть U и V – две функции, определенные на одном и том же промежутке. Тогда производная суммы этих функций равна сумме их производных, если они существуют, т.е.

(U + V)' = U ' + V '.

Эта формула справедлива для любого конечного числа слагаемых:

(U ₁ + U ₂ + U ₃ +…+ U_k)' = U' ₁ + U' ₂ + U' ₃ +…+ U'_k.

Если производные функций U и V существуют, то производная их произведения вычисляется по формуле:

(U·V)' = U '· V + U · V '.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(k f(x))' = k f ' (x).

Если функции U и V имеют в точке х производные и V ≠ 0, то в этой точке существует производная их частного , которая вычисляется по формуле:

.

Частные случаи:

; ; (х ≠ 0).

 

Пример. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производную функции у = .

Решение.

 

у ' = = = = = = .

Ответ: у ' = .

 

Производная сложной функции

Пусть у = f (u) и u = φ (x). Тогда у есть сложная функция x: у = f [ φ (x)], а переменная u – промежуточный аргумент.

В этом случае нахождение производной у'_х осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. Если функция u = φ (x) имеет производную u ' _х в точке х, а функция у = f (u) имеет производную у'_и в соответствующей точке и, то сложная функция у = f [ φ (x)] в данной точке х имеет производную у'_х, которая находится по следующей формуле:

у'_х = у'_и · u ' _х.

Иными словами: производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Пример. Найти производную функции у = .

Решение.

Дана сложная функция у = , и = 2 х + х ².

Применяя теорему, получаем:

у ' = ()' = ·(2 х + х ²)' = ·(2 + 2 х) = = = .

Ответ: у ' = .