ТОП 10:

Определение производной функции



Определение. Производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции ∆у в точке х0 к приращению аргумента ∆х, когда последний стремится к нулю.

Таким образом, если у = f(x) - функция от х, то производная f'(x) этой функции при данном значении х определяется равенством

f'(x) = .

Пример. Исходя из определения, найти производную функции у = в точке х = 4.

Решение.

Найдем приращение функции: ∆у = .

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

= .

Считая х фиксированным числом, найдем предел данного отношения когда ∆х стремится к нулю:

у' = = = = = = = = = .

Тогда у'(4) = = .

Ответ: у'(4) = .

 

Производные основных элементарных функций

Формулы дифференцирования основных элементарных функций сведены в таблицу:

I. у = с; у' = 0; II. у = хп; у' =пхп-1; III. у = ах; у' = ахln a; III¢. у = ех; у' =ех; IV. у = loga х; у ' = ; IV¢. у = ln x; у '= ; V. у = sin х; у' = cos x; VI. y = cos x; у' = – sin x; VII. y = tg x; у' = ; VIII. у = ctg x; у' = – ;  
IX. y = arcsin x; у' = ; X. у = arccos х; у' = – ; XI. у = arctg x; у' = ; XII. у = arcсtg x; у' = – .

Производная суммы, произведения и частного

Пусть U и V – две функции, определенные на одном и том же промежутке. Тогда производная суммы этих функций равна сумме их производных, если они существуют, т.е.

(U+ V)' = U' + V'.

Эта формула справедлива для любого конечного числа слагаемых:

(U1 + U2 + U3 +…+ Uk)' = U'1 + U'2 + U'3 +…+ U'k.

Если производные функций U и V существуют, то производная их произведения вычисляется по формуле:

(U·V)' = UV + U·V'.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(k f(x))' = k f'(x).

Если функции U и V имеют в точке х производные и V ≠ 0, то в этой точке существует производная их частного , которая вычисляется по формуле:

.

Частные случаи:

; ; (х ≠ 0).

 

Пример. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производную функции у = .

Решение.

 

у' = = = = = = .

Ответ: у' = .

 

Производная сложной функции

Пусть у = f(u) и u = φ(x). Тогда у есть сложная функция x: у = f [φ(x)], а переменная u – промежуточный аргумент.

В этом случае нахождение производной у'х осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема.Если функция u = φ(x) имеет производную u'х в точке х, а функция у = f(u) имеет производную у'и в соответствующей точке и, то сложная функция у = f [φ(x)] в данной точке х имеет производную у'х, которая находится по следующей формуле:

у'х = у'и· u'х .

Иными словами: производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Пример. Найти производную функции у = .

Решение.

Дана сложная функция у = , и = 2х + х2.

Применяя теорему, получаем:

у' = ( )' = ·(2х + х2)' = ·(2 + 2х) = = = .

Ответ: у' = .







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.235.55.253 (0.004 с.)