Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если при х → х ₀ предел функции существует и равен ее частному значению в этой точке, т.е.

f (x) = f (x ₀).

Для непрерывности функции f (x) в точке х ₀ необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) функция должна быть определена точке х ₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

2) функция должна иметь равные односторонние пределы

f (x) = f (x);

3) односторонние пределы функции при х → х ₀ равны значению функции в этой точке f (x) = f (x ₀).

Функция f (x) называется разрывной в точке х ₀, если она определена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х ₀ не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Разрыв функции f (x) в точке х ₀, называется конечным, или 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы f (x) и f (x). Функция f (x), график которой приведен на рисунке 9, имеет в точке х = 2 разрыв первого рода, так как для нее существуют пределы при х → 2 справа и слева.

 

Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода. Функция у = , график которой приведен на рисунке 10, имеет в точке х = 0 разрыв второго рода, так как при х → 0 для нее не существует предела ни слева, ни справа.

Скачком функции f (x) в точке разрыва х ₀, называется разность ее односторонних пределов f (x) – f (x) если они различны.

Пример. Дана функция у = . Найти ее точки разрыва, если они существуют и скачок функции в каждой точке разрыва.

Решение.

Функция у = определена и непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки х = 2. Из этого следует что в точке х = 2 функция имеет разрыв (рис. 11.).

		Исследуем точку разрыва: = -3, так как при всяком значении х < 2 эта функция равна -3; = 3, так как при всяком значении х > 2 эта функция равна 3. Следовательно, в точке х = 2 функция имеет конечный разрыв; её скачок в точке разрыва конечный: – = 3 – (-3) = 6.

 

٭ ٭

٭

 

 

٭ ٭

٭

 

150. Исходя из определения, доказать непрерывность функций:

а) у = х ² + х – 2 для всех х (- ∞; + ∞);

b) у = х ³ – 2 х +4 для всех х (- ∞; + ∞).

 

151. Исходя из определения, доказать непрерывность функций:

а) у = sin (3 x + 2) для всех х (- ∞; + ∞);

b) у = cos (5 x – 1) для всех х (- ∞; + ∞).

 

152. Исследовать функции на непрерывность, установить род точек разрыва:

а) у = х + ;	d) у = ;
b) у = ;	е) у = ;
с) у = е ;	f) у = tg .

 

153. Исследовать функции на непрерывность, установить род точек разрыва:

	х ^2 при - ∞ < х < 1, 2 х - 1 при 1≤ х < ∞;		cos при - ∞ < х < 1, х – 1 при 1≤ х < ∞;
а) у =	с) у =
	- при х < 0, 1 при 0 ≤ х < 1, х при 1 ≤ х ≤ 2;	.	при х < 0,
b) у =	d) у =	х при 1 ≤ х < 2,
		3 при 2 ≤ х ≤ 3.

 

154. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и скачок функции в каждой точке разрыва:

а) у = х + ;	с) у = ;
b) у = ;	d) у = .

 

155. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и скачок функции в каждой точке разрыва:

а) у = 4 х – ;	с) у = ;
b) у = ;	d) у = .

 

156. Найти точки разрыва функции, если они существуют, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график:

а) у = ;	с) у = ;
b) у = ;	d) у = arcctg .

 

157. Найти точки разрыва функции, если они существуют, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график:

 

а) у =	- х ^2 при х ≤ 3,
х при х > 3;
b) у =	3 при 0 ≤ х ≤ 1,
7 - 3 х при 1< х < 4,
2 х +1 при 4 ≤ х < + ∞;
с) у =	3 х -1 при - ∞ < х < - 1,
при - 1≤ х < ∞.

 

 

Глава 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

§1.Производная функции