ТОП 10:

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва



Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если при хх0 предел функции существует и равен ее частному значению в этой точке, т.е.

f(x) = f(x0).

Для непрерывности функции f(x) в точке х0 необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) функция должна быть определена точке х0 и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

2) функция должна иметь равные односторонние пределы

f(x) = f(x);

3) односторонние пределы функции при хх0 равны значению функции в этой точке f(x) = f(x0).

Функция f(x) называется разрывной в точке х0, если она определена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х0 не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Разрыв функции f(x) в точке х0, называется конечным, или 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы f(x) и f(x). Функция f(x), график которой приведен на рисунке 9, имеет в точке х = 2 разрыв первого рода, так как для нее существуют пределы при х → 2 справа и слева.

 

Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода. Функция у = , график которой приведен на рисунке 10, имеет в точке х = 0 разрыв второго рода, так как при х → 0 для нее не существует предела ни слева, ни справа.

Скачком функции f(x) в точке разрыва х0, называется разность ее односторонних пределов f(x) – f(x) если они различны.

Пример. Дана функция у = . Найти ее точки разрыва, если они существуют и скачок функции в каждой точке разрыва.

Решение.

Функция у = определена и непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки х = 2. Из этого следует что в точке х = 2 функция имеет разрыв (рис. 11.).

       
   
Исследуем точку разрыва: = -3, так как при всяком значении х < 2 эта функция равна -3; = 3, так как при всяком значении х > 2 эта функция равна 3. Следовательно, в точке х = 2 функция имеет конечный разрыв; её скачок в точке разрыва конечный: = 3 – (-3) = 6.
 
 

 


٭ ٭

٭

 

 


٭ ٭

٭

 

150. Исходя из определения, доказать непрерывность функций:

а) у = х2 + х – 2 для всех х (- ∞; + ∞);

b) у = х3 – 2х +4 для всех х (- ∞; + ∞).

 

151. Исходя из определения, доказать непрерывность функций:

а) у = sin (3x + 2) для всех х (- ∞; + ∞);

b) у = cos (5x – 1) для всех х (- ∞; + ∞).

 

152. Исследовать функции на непрерывность, установить род точек разрыва:

а) у = х + ; d) у = ;
b) у = ; е) у = ;
с) у = е ; f) у = tg .

 

153. Исследовать функции на непрерывность, установить род точек разрыва:

  х2 при - ∞ < х < 1, 2х- 1 при 1≤ х < ∞;     cos при - ∞ < х < 1, х – 1 при 1≤ х < ∞;  
а) у = с) у =
   
- при х < 0, 1 при 0 ≤ х < 1, х при 1 ≤ х ≤ 2 ; . при х < 0,
b) у = d) у = х при 1 ≤ х < 2,
    3 при 2 ≤ х ≤ 3.

 

154. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и скачок функции в каждой точке разрыва:

а) у = х + ; с) у = ;
b) у = ; d) у = .

 

155. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и скачок функции в каждой точке разрыва:

а) у = 4х ; с) у = ;
b) у = ; d) у = .

 

156. Найти точки разрыва функции, если они существуют, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график:

а) у = ; с) у = ;
b) у = ; d) у = arcctg .

 

157. Найти точки разрыва функции, если они существуют, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график:

 

  а) у = - х2 при х ≤ 3,
х при х > 3;  
  b) у = 3 при 0 ≤ х ≤ 1,
7 - 3х при 1< х < 4,
2х +1 при 4 ≤ х < + ∞;
  с) у = 3х -1 при - ∞ < х < - 1,
при - 1≤ х < ∞.

 

 


Глава 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

§1.Производная функции

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.207.152.62 (0.006 с.)