ТОП 10:

Применение определителей к исследованию и решению системы линейных уравнений.



Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

а11х1 + а12х2 + . . . + а1пхп = b1 ,

а21х1 + а22х2 + . . . + а2пхп = b2 ,

. . . . . . . . . . . .

ап1 х1 + ап2х2 + . . . аппхп = bп.

 

1) Если определитель системы

 

Δ = ≠ 0,

 

то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

хi = ,

где Δ хi – определитель, полученный из Δ заменой элементов i столбца на столбец свободных членов.

2) Если Δ = 0, а среди определителей Δ хi есть не равные нулю, то система не имеет решения.

3) Если Δ = Δ х1=Δ х2=. . .=Δ хk = 0 , причем один из миноров (п – 1) –го порядка определителя Δ не равен нулю. Тогда система сводится к п – 1 уравнениям; в этом случае одно из уравнений есть следствие остальных. Одному из неизвестных можно дать произвольное значение. Остальные неизвестные определяются единственным образом из системы п – 1 уравнений.

 

Пример 1: Решить систему уравнений:

 

2х – 3у = 7,

- х + 5у = -7.

 

Решение:

 

Здесь Δ = 7; Δх = 14; Δу = - 7.

Δ ≠ 0, следовательно система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

хi = .

Тогда х = = 2, у = = -1.

Ответ: х = 2, у = -1.

 

Пример 2: Решить систему уравнений:

- 3х + у + 2z = -2,

- х - 2у - 3z = -5,

х + у + 3z = 0.

 

Решение:

 

Здесь Δ = 11, Δх = 11,Δу = 55 ,Δz = -22.

Δ ≠ 0, следовательно система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

хi = .

Тогда х = = 1, у = = 5, z = = -2.

 

Ответ: х = 1, у = 5, z = -2.

 

Пример 3: Решить систему уравнений:

х1 - х2 + 2х3 - х4 = 1,

х1 + х2 + х3 + х4 = 4,

2х1 + 3х2 - 5х4 = 0,

5х1+2х2 + 5х3 - 6х4 = 0.

 

Решение:

 

Здесь Δ = Δ х1=Δ х2=. . .=Δ хk = 0.

Вычеркнув четвертую строку и четвертый столбец, получим минор

 

= -3 ≠ 0

 

Система сводится к трем уравнениям:

 

х1 - х2 + 2х3х4 = 1,

х1 + х2 + х3 + х4 = 4,

2х1 + 3х2 – 5х4 = 0.

 

Четвертое уравнение есть их следствие. Неизвестному х4 можно дать любое значение. Из последней системы находим:

 

х1 = , х2 = , х3 = .

 

Ответ: {( х1, х2, х3, х4)| х4 R, х1 = , х2 = , х3 = }.

 

 

٭ ٭

٭

 

14. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

a) -3х1 + 2х2 – 4х3 + х4 = -8, -5х1 – 3х3 + 2х4 = -6, х1 – 3х2х3 + 4х4 = 7, 2х1 + 5х2 + 3х4 = 0; b) 5х1 - 3х2 + 7х3 + х4 = 5, х1 + х2 – 5х3 + 3х4 = -7, 3х1 - х2 + х3 + 2х4 = 1, 2х1 – 3х3 + х4 = 2.

 

15. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) х1– 5х2 + х3 – 3х4 = -4, -4х1 + 2х2 + 3х3 + х4 = 5, 2х1 + х2 – 4х4 = 8, -х1 + 6х2 – 2х3 + х4 = 6; b) 2х1х2 + х3 – 2х4 = -3, 3х1 + 2х2х3 – 4х4 = -7, х1 – 3х2 + 2х4 = -2, -2х1 + 3х3х4 = 7.

16. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) -2х1х2 + 3х3х4 = 0, 3х1 – 4х3 + 2х4 = 4, х1 + 3х2+2х3х4 = 5, -4х1 – 5х2 + х3 +3х4 = -2; b) 2х1х2 – 3х3 + х4 = 0, -х1 + 5х2 + х3 + 2х4 = 12, х1 + х2 – 2х3 + 3х4 = 3, 3х1 + х3 – 5х4 = 0.

 

17. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) х1– 2х2 + 3х3 – 4х4 = 6, 2х1 + х2 – 4х3 – 3х4 = 2, 3х1 + 4х2х3 + 2х4 = 8, -4х1 – 3х2 + 2х3 +х4 = 2; b) х1+ 5х2 – 2х3 + 3х4 = -1, -х1 + 4х2 + 3х3 + 2х4 = -8, х1 – 7х3 – 3х4 = 2, 3х1 – 2х2 + х3х4 = 4.

 

18. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) х1+ 3х2 – 5х3 – 2х4 = -10, 2х1х2 + 3х3 + х4 = -2, х1 + 2х2 – 2х3х4 = -6, х2 – 2х3 + 3х4 = 1; b) 2х1– 3х2 + х3 – 4х4 = 9, -х1 – 2х2 + 3х3 + х4 = 8, 3х1х2 + 2х3 – 2х4 = 11, х1 + 4х2х3 + 3х4 = -6.

 

19. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) 3х1х2 + 2х3 + х4 = 1, 2х1 + 3х2 + 4х3 – 2х4 = 3, х1 + 5х2 + 3х3х4 = 4, - х1 – 2х3 + 3х4 = 2; b) -2х1+ 4х2 – 3х3 + 5х4 = -5, 3х1 – 2х2 + х3 – 4х4 = 8, 4х1 + х2 – 2х3 + 3х4 = 6, -5х1 – 3х2х4 = 6.

 

20. Решить систему уравнений:

 

а) b)

 

21. Решить систему уравнений:

 

а) b)

 

22. Решить систему уравнений:

 

а) b)

 


23. Решить систему уравнений:

 

а) b)

 

24. Решить систему уравнений:

 

а) b)

 

25. Решить систему уравнений:

 

а) b)

26. Решить систему уравнений:

 

а) х1х2 + 3х3х4 = 6, 3х1 – 2х3 + 2х4 = 4, х1 + 3х2+2х3х4 = 1, - х1 – 5х2 + х3 +3х4 = 4; b) 2х1х2 – 3х3 + х4 = -13, -х1 + 5х2 + х3 – 8х4 = 5, х1 + 4х2 – 2х3 + 5х4 = -8, 3х1 + х3 – 5х4 = -3.

 

27. Решить систему уравнений:

 

а) 5х1+ х2 – 2х3 – 9х4 = 9, 3х1х3 + 7х4 = 5, -2х1 + 3х2 + х3 + 2х4 = -4, -4х1 + х2 – 2х3 + 5х4 = 0; b) х1– 2х2х3 + 5х4 = 12, -2х1 + 3х2 + 6х3 + х4 = -6, х1 – 7х2 + 2х3 + х4 = 1, 3х1 + х2 – 2х4 = -1.

 


Глава 2. Элементы аналитической геометрии

 

§1.Простейшие задачи аналитической геометрии

 

1.1. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат xOy. Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа

х = ОМх, у = ОМу

(рис.1), где Мх и Му – проекции точки М на координатные оси, ОМх - проекция отрезка ОМ на ось абсцисс, ОМу – проекция отрезка ОМ на ось ординат. Число х называется абсциссой точки М, число у называется ординатой точки М. Запись М (х;у) означает, что точка М имеет абсциссой число х, а ординатой число у.
Рис. 1.

Пример. Найдите координаты точек, симметричных точке М относительно осей и начала координат, если М (3; -2).

Решение.

Точка М (3;-2) лежит в четвертой четверти. Точка М1, симметричная точке М относительно оси абсцисс будет располагаться в первой четверти. При этом она будет иметь туже абсциссу, что и точка М, а знак ординаты изменится на противоположный. Следовательно координаты точки М1(3;2).

Точка М2, симметричная точке М относительно оси ординат будет располагаться в третьей четверти. Она будет иметь туже ординату, что и точка М, а знак абсциссы изменится на противоположный. Следовательно координаты точки М2(-3;-2).

Точка М3, симметричная точке М относительно начала координат будет располагаться во второй четверти. При этом знаки абсциссы и ординаты изменятся на противоположные. Следовательно, координаты точки М3(-3;2).

Ответ: М1(3; 2); М2(-3; -2); М3(-3; 2).

 

1.2. Полярные координаты точки. Связь полярных и декартовых координат точки. Пусть на плоскости задана полярная система координат, которая определяется некоторой точкой О, называемой полюсом, исходящим из этой точки лучом ОА, называемым полярной осью и единичным отрезком ОЕ, принадлежащим полярной оси. Полярными координатами произвольной точки М называют числа ρ = ОМ и Ө = Ð АОМ (рис. 2.).

 

Если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

х = ρ cos Ө, y = ρ sin Ө.

В этом же случае формулы

ρ = , tg Ө =

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Пример 1. В полярной системе координат даны точки A(1;- ), B(2; ). Найти их декартовы координаты.

Решение.

Переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

х = ρ cos Ө, y = ρ sin Ө.

Найдем декартовы координаты точки А.

х = 1 cos (- ) = , y = 1 sin (- ) = - .

Следовательно точка А ( ;- ).

Найдем декартовы координаты точки В.

х = 2 cos = = , y = 2 sin = = . Точка В ( ; ).

Ответ: А ( ;- ), В ( ; ).

Пример 2. В полярной системе координат даны точки А(1;- ) и В(4; ). Найти длину отрезка АВ и площадь треугольника ОАВ.

Решение.

 

Рассмотрим треугольник АОВ (рис. 3.).

Угол Ð АОВ = Ө2 - Ө1. Следовательно Ð АОВ = - (- ) = .

Найдем длину отрезка АВ по теореме косинусов:

с 2 = в2 + а 2 – 2ав cos γ.

В нашем случае

а = ρ1 = 1, в = ρ2 = 4, Ð γ = Ð АОВ = .

Тогда АВ2 = 42 + 12 + = 16 + 1 + 4 = 21. АВ = (ед.)

Площадь треугольника ОАВ найлем по формуле:

S = ρ1 ρ2sinα.

(кв.ед)

Ответ: АВ = ед., кв.ед.

 

1.3. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками.Если известны координаты точек А (х1; у1) и В (х2; у2), то проекции Х и Y на оси координат отрезка АВ вычисляются по формулам

Х = х2 - х1, Y = у2 - у1.

Угол Ө между прямой АВ и положительным направлением оси абсцисс называется полярным углом отрезка АВ.

Формулы

Х = d cos Ө, Y= d sin Ө

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из них вытекают формулы

d = , cos Ө = , sin Ө = ,

выражающие длину и полярный угол отрезка через его проекции на оси координат.

Если на плоскости даны две точки А (х1; у1) и В (х2; у2), то расстояние d между ними определяется формулой

d = .

Пример 1. Даны точки А(-6;1) и В(-3;-3). Найти длину и полярный угол отрезка АВ.

Решение.

Длина и полярный угол отрезка через его проекции на оси координат выражаются следующим образом :

d = , cos Ө = , sin Ө = ,

где Х и Y проекции отрезка АВ на оси координат: Х = х2 - х1, Y = у2 - у1.

 

Х = -3 – (-6) = 3; Y = -3 – 1 = - 4,

d = = = = 5,

cos Ө = ; Ө = arcos , Ө = 530.

Ответ: d = 5, Ө = 530.

 

Пример 2. Найти площадь равностороннего треугольника, если две его вершины имеют координаты (0; 7), (4; -5).

 

 

Решение.

Найдем площадь равностороннего треугольника по формуле S = .

Зная, что расстояние между двумя точками определяется по формуле

d = , вычислим длину стороны треугольника.

а = = = = 4 .

Тогда S = = 40 (кв. ед.).

Ответ: SΔ = 69,3 кв.ед.

 

1.4. Деление отрезка в данном отношении.Если точка М (х;у) лежит на прямой, проходящей через две данные точки А (х1; у1) и В (х2; у2) и дано отношение λ = , в котором точка М делит отрезок АВ, то координаты точки М определяются по формулам

х = , у = .

Если точка М является серединой отрезка АВ, то ее координаты вычисляются по формулам

х = , у = .

Пример. Найти координаты точки М, которая делит отрезок АВ в отношении λ = , если А (-1;5), В (7;2).

Решение.

Найдем координаты точки М зная, что они определяются по формулам

х = , у = .

х = = : = = 2; у = = : = = = 3 .

Ответ: М (2; 3 ).

 

1.5. Площадь треугольника.Пусть на плоскостиxOy заданы три точки А (х1; у1), В (х2; у2) и С (х3; у3). Тогда площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле

SΔ = ± х2 – х1у2 – у1х3 – х1у3 – у1 (*)

Знак«+» берут в случае, если определитель больше нуля, знак « – », если определитель меньше нуля.

Пример: Найти площадь треугольника АВС, зная координаты его вершин: А (-3;1), В (7;-2), С (4;0).

Решение.

Зная, что площадь треугольника вычисляется по формуле (*).

Найдем SΔАВС = ± ∙(10∙(-1) – (-3)∙7) = ± ∙ (-10 +21) = ∙11 = 5,5 (кв.ед.).

Ответ: SΔАВС = 5,5 кв.ед.

 

 

٭ ٭

٭

28. На координатной прямой, определить геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

а) | х | > 5; e) | х + 1 | ≥ 4; i) | х – 5 | ≤ 9;
b) | х | < 2; f) | х + 6 | > 3; j) | х – 2 | ≥ 7;
с) | х | ≤ 3; g) | х + 3 | < 12; k) | х – 1 | > 5;
d) | х | ≥ 7; h) | х + 2 | ≤ 8; l) | х – 4 | < 3.

29. В декартовой прямоугольной системе координат построить точки А(0;3), В(-2;4), С(-5;0), D(4,1), Е(1 ;-0,8), F(-3,-2).

30. Даны точки А(-1;2), В(3;8),C(0;5), D(-2;-4), E(-3;0). Найти координаты точек симметричных данным относительно: а) оси абсцисс; в) оси ординат; с) начала координат.

31. В полярной системе координат построить точки A(2; ), B(1;- ), C(3; ), D(5;0), E(1,5;3 ), F(4,-1).

32. В полярной системе координат даны точки A(1;- ), B(2; ), C(3;0), D(4; ), E(5;- ), F(3; ). Найти координаты точек симметричных данным относительно: а) полярной оси; в) полюса.

33. В полярной системе координат дан параллелограмм ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Найти координаты вершин C и D, если координаты точек: А(2; ), В(3;- ).

34. В полярной системе координат дан отрезок АВ. Найти координаты его середины, если координаты точек: А(4;0), В(3; ).

35. В полярной системе координат дан отрезок АВ. Точка М(3; ) – середина отрезка АВ. Найти координаты точки В, если А(6; ).

Указание: показать, что треугольник АМО – прямоугольный.

36. В полярной системе координат даны точки А(2;- ) и В(5; ). Найти длину отрезка АВ.

37. Найти длину отрезка АВ, если точки А(3; ), В(1; ) заданы в полярных координатах.

38. В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата: А(3; ) и В(2;- ). Найти его площадь.

39. В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата: А(7;- ) и С(3; ). Найти его площадь.

40. Найти площадь треугольника ОАВ, если А(7; ), В(4;- ), а третья вершина совпадает с полюсом.

41. Найти площадь треугольника ОАВ, если одна из его вершин находится в полюсе, координаты точек А(5; ) и В(4; ).

42. В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника АВС. Найти его площадь, если координаты точек А(2; ), В(5; ).

43. Найти площадь треугольника, вершины которого А(5; ), В(6; ), С(7;- ) заданы в полярных координатах.

44. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Найти полярные координаты точек А, В, С, D, E, F, если их декартовы координаты: А(7;0), В(3;3), С(-3;5), D(-3 ;-3), E(-2;0), F(1;- ).

45. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Найти декартовы координаты точек А, В, С, D, E, F, если их полярные координаты: А(3;- ), В(2 ;- ), С(5; ), D(4; ), E(7; ), F(1; ).

46. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Декартовы координаты точек A(-2; 2), B(-7; 0), C(3;-5), D(10; 6), E(0; -2), F(-5;-3). Определить их полярные координаты.

47. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Полярные координаты точек A(2; - ), B(3;- ), C(5;- ), D(1;- ), E(3; ), F( ). Определить их декартовы координаты.

48. Установить, какие линии задаются в полярных координатах уравнениями: а) ρ = 3; b) ρ sin φ = 0; с) cos φ = ; d) ρ = 8 cos φ. Построить их в декартовой системе координат.

49. Установить, какие линии задаются в полярных координатах уравнениями: а) ρ = 4; b) ρ cos φ = 5; с) sin φ = ; d) ρ = 8 sin φ. Построить их в декартовой системе координат.

50. Даны точки: А(-2;3), В(-1;4), С(1;7), D(4;8). Найти длину и полярный угол отрезков: а) АВ; в) АС; с) ВD; d) DC.

51. Даны точки А(-1;9), В(2;5), С(-3;5). Найти периметр и площадь треугольника АВС.

52. Даны две смежные вершины квадрата: А(2;-5), В(-3;1). Найти его площадь.

53. Даны две противоположные вершины квадрата: А(-3;8), С(4;-7). Найти его площадь.

54. Найти площадь правильного треугольника, две вершины которого имеют координаты: А(-2;-5), В(8;-7).

55. Сторона ромба равна 5, две его противоположные вершины имеют координаты: А(1;0), С(-3;2 ). Найти его площадь.

56. Дана точка А(3;2). Найти на координатных осях точки расстояние до которых от точки А равняется 5.

57. Даны вершины треугольника: А(-3;7), В(2;5), С(4;-3). Найти координаты середин его сторон.

58. Даны три точки: А(-2;7), В(2;1) и С(4;-2). Определить отношение λ, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.

59. Даны точки А(-3;-2) и В(6;7). Найти координаты точки, которая делит отрезок АВ в отношении: а) λ = ; b) λ = ; с) λ = -4.

60. Даны точки А(-7;6) и В(5;-2). Найти координаты точки, которая делит отрезок АВ в отношении: а) λ = 3; b) λ = ; с) λ = -5.

61. Определить координаты концов отрезка АВ, который точками N(-3;-5) и M(2;1) разделен на три равные части.

62. Доказать, что точки: А(-2;-4), В(-6;4), С(4;-1) – вершины прямоугольного треугольника.

63. Доказать, что точки: А(-9;-1), В(-3;1), С(5;3 ) лежат на одной прямой.

64. Найти площадь треугольника, координаты вершин которого:

а) А(1;5), В(-2;3), С(-7;-2);

b) А(2;3), В(-6;1), С(-3;-4);

с) А(3;-5), В(-4;7), С(-2;5).

65. Вершины параллелограмма АВСD имеют координаты: А(2;-7), В(5;3), С(-1;6). Найти его площадь.

66. Площадь треугольника АВС равна 4 кв. ед. Две его вершины имеют координаты: А(1;2), В(-2;3), а третья вершина лежит на оси Оу. Найти координаты вершины С.

67. Площадь треугольника АВС равна 5 кв. ед. Две его вершины имеют координаты: А(1;2), В(-2;3), а третья вершина лежит на оси Ох. Найти координаты вершины С.

 

Линии первого порядка

 

2.1. Различные виды уравнения прямой. В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида Ах + Ву + С = 0, где А, В и С некоторые числа, а х и у – переменные, называется общим уравнением прямой.

Уравнение вида у = kх + b, где k и b некоторые числа, а х независимая переменная называется уравнением прямой, разрешенным относительно ординаты или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение вида = является уравнением прямой, проходящей через две точки М1(х1; у1) и М2(х2; у2).

Уравнение вида + = 1, где a и b есть величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях называется уравнением прямой «в отрезках».

Пример. Прямая проходит через точки А(-4; 1) и В(-2; 2). Составить общее уравнение данной прямой и уравнение прямой в отрезках.

Решение.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки

= ,

Подставив координаты данных точек получаем:

= ;

= ;

-8(х +4) = 7 (у – 1);

х – 2у + 6 = 0 – общее уравнение данной прямой;

- + = 1 – уравнение данной прямой в отрезках.

Ответ: х – 2у + 6 = 0; - + = 1.

 

2.2. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть две прямые заданы уравнениями

у = k1х +b1и у = k2х +b2,

тогда угол φ между этими прямыми определяется по формуле

tg φ = .

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k1= k2.

Если же прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т.е. k2 = - .

В случае, когда прямые заданы общими уравнениями

А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0,

угол между ними определяется по формуле tg φ = .

В этом случае признаком параллельности двух прямых является равенство = , а признаком их перпендикулярности равенство = - .

Пример: Найти угол φ между прямыми: 1) 2ху + 6 = 0 и х + 3у -11 = 0; 2) у = -5х +7 и у = 2х - 8.

Решение.

1) Если прямые заданы общими уравнениями, то тангенс угла между ними вычисляется по формуле: tg φ = .

В нашем случае tg φ = = = -7, следовательно φ = -820.

2) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, тангенс угла между ними вычисляется по формуле: tg φ = .

Тогда tg φ = = . Следовательно φ = - 380.

Ответ: 1) φ = -820; 2) φ = - 380.

 

2.3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.Прямая, проходящая через точку М(х1; у1) и параллельная прямой у = kх +b, задается уравнением

у – у1 = k (х – х1).

Прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой, задается уравнением у – у1 = - (х – х1).

Если прямая задана общим уравнением Ах + Ву + С = 0, прямая проходящая через точку М(х1; у1) и параллельная данной прямой, задается уравнением А(х – х1) + В(у – у1) = 0, а перпендикулярная ей уравнением

А(у – у1) - В(х – х1) = 0.

Пример. Даны вершины треугольника АВС: А(-1;3), В(2;-5), С(7;0). Составить уравнение прямой параллельной ВС, проходящей через точку А и уравнение высоты, опущенной из вершины А.

Решение.

1) Составим уравнение прямой ВС: = ; = . Следовательно, прямая ВС задается уравнением: ху – 7 = 0.

2) Составим уравнение прямой параллельной ВС, проходящей через точку А.

Уравнение прямой параллельной данной прямой Ах + Ву + С = 0 и проходящей через точку М(х1; у1), имеет вид А(х – х1) + В(у – у1) = 0.

Подставив значения, получаем: 1 ·(х – (-1)) + (-1) ·(у – 3) = 0.

Уравнение прямой имеет вид: х у + 4 = 0.

3) Составим уравнение высоты, опущенной из вершины А.

Уравнение прямой перпендикулярной данной прямой Ах + Ву + С = 0 и проходящей через точку М(х1; у1), имеет вид А(у – у1)







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.90.86.231 (0.067 с.)