Применение определителей к исследованию и решению системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

а ₁₁ х ₁ + а ₁₂ х ₂ +... + а _{1 п} х_п = b₁,

а ₂₁ х ₁ + а ₂₂ х ₂ +... + а _{2 п} х_п = b₂,

............

а_{п 1} х ₁ + а_{п 2} х ₂ +... а_ппх_п = b _п.

 

1) Если определитель системы

 

Δ = ≠ 0,

 

то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

х_i = ,

где Δ х_i – определитель, полученный из Δ заменой элементов i столбца на столбец свободных членов.

2) Если Δ = 0, а среди определителей Δ х_i есть не равные нулю, то система не имеет решения.

3) Если Δ = Δ х₁ = Δ х₂ = ... = Δ х_k = 0, причем один из миноров (п – 1 ) –го порядка определителя Δ не равен нулю. Тогда система сводится к п – 1 уравнениям; в этом случае одно из уравнений есть следствие остальных. Одному из неизвестных можно дать произвольное значение. Остальные неизвестные определяются единственным образом из системы п – 1 уравнений.

 

Пример 1: Решить систему уравнений:

 

2 х – 3 у = 7,

- х + 5 у = -7.

 

Решение:

 

Здесь Δ = 7; Δ _х = 14; Δ _у = - 7.

Δ ≠ 0, следовательно система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

х_i = .

Тогда х = = 2, у = = -1.

Ответ: х = 2, у = -1.

 

Пример 2: Решить систему уравнений:

- 3 х + у + 2 z = -2,

- х - 2 у - 3 z = -5,

х + у + 3 z = 0.

 

Решение:

 

Здесь Δ = 11, Δ _х = 11, Δ _у = 55, Δ _z = -22.

Δ ≠ 0, следовательно система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

х_i = .

Тогда х = = 1, у = = 5, z = = -2.

 

Ответ: х = 1, у = 5, z = -2.

 

Пример 3: Решить систему уравнений:

х ₁ - х ₂ + 2 х ₃ - х ₄ = 1,

х ₁ + х ₂ + х ₃ + х ₄ = 4,

2 х ₁ + 3 х ₂ - 5 х ₄ = 0,

5 х ₁+2 х ₂ + 5 х ₃ - 6 х ₄ = 0.

 

Решение:

 

Здесь Δ = Δ х₁ = Δ х₂ = ... = Δ х_k = 0.

Вычеркнув четвертую строку и четвертый столбец, получим минор

 

= -3 ≠ 0

 

Система сводится к трем уравнениям:

 

х ₁ - х ₂ + 2 х ₃ – х ₄ = 1,

х ₁ + х ₂ + х ₃ + х ₄ = 4,

2 х ₁ + 3 х ₂ – 5 х ₄ = 0.

 

Четвертое уравнение есть их следствие. Неизвестному х ₄ можно дать любое значение. Из последней системы находим:

 

х ₁ = , х ₂ = , х ₃ = .

 

Ответ: {(х ₁, х ₂, х ₃, х ₄)| х ₄ R, х ₁ = , х ₂ = , х ₃ = }.

 

 

٭ ٭

٭

 

14. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

a) -3 х 1 + 2 х 2 – 4 х 3 + х 4 = -8, -5 х 1 – 3 х 3 + 2 х 4 = -6, х 1 – 3 х 2 – х 3 + 4 х 4 = 7, 2 х 1 + 5 х 2 + 3 х 4 = 0;

b) 5 х 1 - 3 х 2 + 7 х 3 + х 4 = 5, х 1 + х 2 – 5 х 3 + 3 х 4 = -7, 3 х 1 - х 2 + х 3 + 2 х 4 = 1, 2 х 1 – 3 х 3 + х 4 = 2.

 

15. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) х 1– 5 х 2 + х 3 – 3 х 4 = -4, -4 х 1 + 2 х 2 + 3 х 3 + х 4 = 5, 2 х 1 + х 2 – 4 х 4 = 8, - х 1 + 6 х 2 – 2 х 3 + х 4 = 6;

b) 2 х 1– х 2 + х 3 – 2 х 4 = -3, 3 х 1 + 2 х 2 – х 3 – 4 х 4 = -7, х 1 – 3 х 2 + 2 х 4 = -2, -2 х 1 + 3 х 3 – х 4 = 7.

16. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) -2 х 1– х 2 + 3 х 3 – х 4 = 0, 3 х 1 – 4 х 3 + 2 х 4 = 4, х 1 + 3 х 2+2 х 3 – х 4 = 5, -4 х 1 – 5 х 2 + х 3 +3 х 4 = -2;

b) 2 х 1– х 2 – 3 х 3 + х 4 = 0, - х 1 + 5 х 2 + х 3 + 2 х 4 = 12, х 1 + х 2 – 2 х 3 + 3 х 4 = 3, 3 х 1 + х 3 – 5 х 4 = 0.

 

17. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) х 1– 2 х 2 + 3 х 3 – 4 х 4 = 6, 2 х 1 + х 2 – 4 х 3 – 3 х 4 = 2, 3 х 1 + 4 х 2 – х 3 + 2 х 4 = 8, -4 х 1 – 3 х 2 + 2 х 3 + х 4 = 2;

b) х 1+ 5 х 2 – 2 х 3 + 3 х 4 = -1, - х 1 + 4 х 2 + 3 х 3 + 2 х 4 = -8, х 1 – 7 х 3 – 3 х 4 = 2, 3 х 1 – 2 х 2 + х 3 – х 4 = 4.

 

18. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) х 1+ 3 х 2 – 5 х 3 – 2 х 4 = -10, 2 х 1 – х 2 + 3 х 3 + х 4 = -2, х 1 + 2 х 2 – 2 х 3 – х 4 = -6, х 2 – 2 х 3 + 3 х 4 = 1;

b) 2 х 1– 3 х 2 + х 3 – 4 х 4 = 9, - х 1 – 2 х 2 + 3 х 3 + х 4 = 8, 3 х 1 – х 2 + 2 х 3 – 2 х 4 = 11, х 1 + 4 х 2 – х 3 + 3 х 4 = -6.

 

19. Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

а) 3 х 1– х 2 + 2 х 3 + х 4 = 1, 2 х 1 + 3 х 2 + 4 х 3 – 2 х 4 = 3, х 1 + 5 х 2 + 3 х 3 – х 4 = 4, - х 1 – 2 х 3 + 3 х 4 = 2;

b) -2 х 1+ 4 х 2 – 3 х 3 + 5 х 4 = -5, 3 х 1 – 2 х 2 + х 3 – 4 х 4 = 8, 4 х 1 + х 2 – 2 х 3 + 3 х 4 = 6, -5 х 1 – 3 х 2 – х 4 = 6.

 

20. Решить систему уравнений:

 

а) b)

 

21. Решить систему уравнений:

 

а) b)

 

22. Решить систему уравнений:

 

а) b)

 

23. Решить систему уравнений:

 

а) b)

 

24. Решить систему уравнений:

 

а) b)

 

25. Решить систему уравнений:

 

а) b)

26. Решить систему уравнений:

 

а) х 1– х 2 + 3 х 3 – х 4 = 6, 3 х 1 – 2 х 3 + 2 х 4 = 4, х 1 + 3 х 2+2 х 3 – х 4 = 1, - х 1 – 5 х 2 + х 3 +3 х 4 = 4;

b) 2 х 1– х 2 – 3 х 3 + х 4 = -13, - х 1 + 5 х 2 + х 3 – 8 х 4 = 5, х 1 + 4 х 2 – 2 х 3 + 5 х 4 = -8, 3 х 1 + х 3 – 5 х 4 = -3.

 

27. Решить систему уравнений:

 

а) 5 х 1+ х 2 – 2 х 3 – 9 х 4 = 9, 3 х 1 – х 3 + 7 х 4 = 5, -2 х 1 + 3 х 2 + х 3 + 2 х 4 = -4, -4 х 1 + х 2 – 2 х 3 + 5 х 4 = 0;

b) х 1– 2 х 2 – х 3 + 5 х 4 = 12, -2 х 1 + 3 х 2 + 6 х 3 + х 4 = -6, х 1 – 7 х 2 + 2 х 3 + х 4 = 1, 3 х 1 + х 2 – 2 х 4 = -1.

 

Глава 2. Элементы аналитической геометрии

 

§1.Простейшие задачи аналитической геометрии

 

1.1. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат xOy. Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа

х = ОМ_х, у = ОМ_у

(рис.1), где Мх и Му – проекции точки М на координатные оси, ОМх - проекция отрезка ОМ на ось абсцисс, ОМу – проекция отрезка ОМ на ось ординат. Число х называется абсциссой точки М, число у называется ординатой точки М. Запись М (х; у) означает, что точка М имеет абсциссой число х, а ординатой число у.

Рис. 1.

Пример. Найдите координаты точек, симметричных точке М относительно осей и начала координат, если М (3; -2).

Решение.

Точка М (3;-2) лежит в четвертой четверти. Точка М ₁, симметричная точке М относительно оси абсцисс будет располагаться в первой четверти. При этом она будет иметь туже абсциссу, что и точка М, а знак ординаты изменится на противоположный. Следовательно координаты точки М ₁(3;2).

Точка М ₂, симметричная точке М относительно оси ординат будет располагаться в третьей четверти. Она будет иметь туже ординату, что и точка М, а знак абсциссы изменится на противоположный. Следовательно координаты точки М ₂(-3;-2).

Точка М ₃, симметричная точке М относительно начала координат будет располагаться во второй четверти. При этом знаки абсциссы и ординаты изменятся на противоположные. Следовательно, координаты точки М ₃(-3;2).

Ответ: М ₁(3; 2); М ₂(-3; -2); М ₃(-3; 2).

 

1.2. Полярные координаты точки. Связь полярных и декартовых координат точки. Пусть на плоскости задана полярная система координат, которая определяется некоторой точкой О, называемой полюсом, исходящим из этой точки лучом ОА, называемым полярной осью и единичным отрезком ОЕ, принадлежащим полярной оси. Полярными координатами произвольной точки М называют числа ρ = ОМ и Ө = Ð АОМ (рис. 2.).

 

Если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

х = ρ cos Ө, y = ρ sin Ө.

В этом же случае формулы

ρ = , tg Ө =

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Пример 1. В полярной системе координат даны точки A (1;- ), B (2; ). Найти их декартовы координаты.

Решение.

Переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

х = ρ cos Ө, y = ρ sin Ө.

Найдем декартовы координаты точки А.

х = 1 cos (- ) = , y = 1 sin (- ) = - .

Следовательно точка А (;- ).

Найдем декартовы координаты точки В.

х = 2 cos = = , y = 2 sin = = . Точка В (; ).

Ответ: А (;- ), В (; ).

Пример 2. В полярной системе координат даны точки А (1;- ) и В (4; ). Найти длину отрезка АВ и площадь треугольника ОАВ.

Решение.

 

Рассмотрим треугольник АОВ (рис. 3.).

Угол Ð АОВ = Ө₂ - Ө₁. Следовательно Ð АОВ = - (- ) = .

Найдем длину отрезка АВ по теореме косинусов:

с ² = в² + а ² – 2ав cos γ.

В нашем случае

а = ρ ₁ = 1, в = ρ₂ = 4, Ð γ = Ð АОВ = .

Тогда АВ ² = 4² + 1² + = 16 + 1 + 4 = 21. АВ = (ед.)

Площадь треугольника ОАВ найлем по формуле:

S _∆ = ρ ₁ ρ ₂ sinα.

(кв. ед)

Ответ: АВ = ед., кв. ед.

 

1.3. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками. Если известны координаты точек А (х ₁; у ₁) и В (х ₂; у ₂), то проекции Х и Y на оси координат отрезка АВ вычисляются по формулам

Х = х ₂ - х _1, Y = у ₂ - у ₁.

Угол Ө между прямой АВ и положительным направлением оси абсцисс называется полярным углом отрезка АВ.

Формулы

Х = d cos Ө, Y= d sin Ө

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из них вытекают формулы

d = , cos Ө = , sin Ө = ,

выражающие длину и полярный угол отрезка через его проекции на оси координат.

Если на плоскости даны две точки А (х ₁; у ₁) и В (х ₂; у ₂), то расстояние d между ними определяется формулой

d = .

Пример 1. Даны точки А (-6;1) и В (-3;-3). Найти длину и полярный угол отрезка АВ.

Решение.

Длина и полярный угол отрезка через его проекции на оси координат выражаются следующим образом:

d = , cos Ө = , sin Ө = ,

где Х и Y проекции отрезка АВ на оси координат: Х = х₂ - х_1, Y = у₂ - у₁.

 

Х = -3 – (-6) = 3; Y = -3 – 1 = - 4,

d = = = = 5,

cos Ө = ; Ө = arcos , Ө = 53⁰.

Ответ: d = 5, Ө = 53⁰.

 

Пример 2. Найти площадь равностороннего треугольника, если две его вершины имеют координаты (0; 7), (4; -5).

 

 

Решение.

Найдем площадь равностороннего треугольника по формуле S = .

Зная, что расстояние между двумя точками определяется по формуле

d = , вычислим длину стороны треугольника.

а = = = = 4 .

Тогда S = = 40 (кв. ед.).

Ответ: S_Δ = 69,3 кв.ед.

 

1.4. Деление отрезка в данном отношении. Если точка М (х;у) лежит на прямой, проходящей через две данные точки А (х ₁; у ₁) и В (х ₂; у ₂) и дано отношение λ = , в котором точка М делит отрезок АВ, то координаты точки М определяются по формулам

х = , у = .

Если точка М является серединой отрезка АВ, то ее координаты вычисляются по формулам

х = , у = .

Пример. Найти координаты точки М, которая делит отрезок АВ в отношении λ = , если А (-1;5), В (7;2).

Решение.

Найдем координаты точки М зная, что они определяются по формулам

х = , у = .

х = = : = = 2; у = = : = = = 3 .

Ответ: М (2; 3 ).

 

1.5. Площадь треугольника. Пусть на плоскости xOy заданы три точки А (х ₁; у ₁), В (х ₂; у ₂) и С (х ₃; у ₃). Тогда площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле

SΔ = ±

х 2 – х 1 у 2 – у 1 х 3 – х 1 у 3 – у 1

(*)

Знак«+» берут в случае, если определитель больше нуля, знак «–», если определитель меньше нуля.

Пример: Найти площадь треугольника АВС, зная координаты его вершин: А (-3;1), В (7;-2), С (4;0).

Решение.

Зная, что площадь треугольника вычисляется по формуле (*).

Найдем S_ΔАВС = ± ∙(10∙(-1) – (-3)∙7) = ± ∙ (-10 +21) = ∙11 = 5,5 (кв.ед.).

Ответ: S_ΔАВС = 5,5 кв.ед.

 

 

٭ ٭

٭

28. На координатной прямой, определить геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

а) | х | > 5;	e) | х + 1 | ≥ 4;	i) | х – 5 | ≤ 9;
b) | х | < 2;	f) | х + 6 | > 3;	j) | х – 2 | ≥ 7;
с) | х | ≤ 3;	g) | х + 3 | < 12;	k) | х – 1 | > 5;
d) | х | ≥ 7;	h) | х + 2 | ≤ 8;	l) | х – 4 | < 3.

29. В декартовой прямоугольной системе координат построить точки А (0;3), В (-2;4), С (-5;0), D (4,1), Е (1 ;-0,8), F (-3,-2).

30. Даны точки А (-1;2), В (3;8), C (0;5), D (-2;-4), E (-3;0). Найти координаты точек симметричных данным относительно: а) оси абсцисс; в) оси ординат; с) начала координат.

31. В полярной системе координат построить точки A (2; ), B (1;- ), C (3; ), D (5;0), E (1,5;3 ), F (4,-1).

32. В полярной системе координат даны точки A (1;- ), B (2; ), C (3;0), D (4; ), E (5;- ), F (3; ). Найти координаты точек симметричных данным относительно: а) полярной оси; в) полюса.

33. В полярной системе координат дан параллелограмм ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Найти координаты вершин C и D, если координаты точек: А (2; ), В (3;- ).

34. В полярной системе координат дан отрезок АВ. Найти координаты его середины, если координаты точек: А (4;0), В (3; ).

35. В полярной системе координат дан отрезок АВ. Точка М (3; ) – середина отрезка АВ. Найти координаты точки В, если А (6; ).

Указание: показать, что треугольник АМО – прямоугольный.

36. В полярной системе координат даны точки А (2;- ) и В (5; ). Найти длину отрезка АВ.

37. Найти длину отрезка АВ, если точки А (3; ), В (1; ) заданы в полярных координатах.

38. В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата: А (3; ) и В (2;- ). Найти его площадь.

39. В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата: А (7;- ) и С (3; ). Найти его площадь.

40. Найти площадь треугольника ОАВ, если А (7; ), В (4;- ), а третья вершина совпадает с полюсом.

41. Найти площадь треугольника ОАВ, если одна из его вершин находится в полюсе, координаты точек А (5; ) и В (4; ).

42. В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника АВС. Найти его площадь, если координаты точек А (2; ), В (5; ).

43. Найти площадь треугольника, вершины которого А (5; ), В (6; ), С (7;- ) заданы в полярных координатах.

44. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Найти полярные координаты точек А, В, С, D, E, F, если их декартовы координаты: А (7;0), В (3;3), С (-3;5), D (-3 ;-3), E (-2;0), F (1;- ).

45. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Найти декартовы координаты точек А, В, С, D, E, F, если их полярные координаты: А (3;- ), В (2 ;- ), С (5; ), D (4; ), E (7; ), F (1; ).

46. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Декартовы координаты точек A (-2; 2), B (-7; 0), C (3;-5), D (10; 6), E (0; -2), F (-5;-3). Определить их полярные координаты.

47. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Полярные координаты точек A (2; - ), B (3;- ), C (5;- ), D (1;- ), E (3; ), F (). Определить их декартовы координаты.

48. Установить, какие линии задаются в полярных координатах уравнениями: а) ρ = 3; b) ρ sin φ = 0; с) cos φ = ; d) ρ = 8 cos φ. Построить их в декартовой системе координат.

49. Установить, какие линии задаются в полярных координатах уравнениями: а) ρ = 4; b) ρ cos φ = 5; с) sin φ = ; d) ρ = 8 sin φ. Построить их в декартовой системе координат.

50. Даны точки: А (-2;3), В (-1;4), С (1;7), D (4;8). Найти длину и полярный угол отрезков: а) АВ; в) АС; с) ВD; d) DC.

51. Даны точки А (-1;9), В (2;5), С (-3;5). Найти периметр и площадь треугольника АВС.

52. Даны две смежные вершины квадрата: А (2;-5), В (-3;1). Найти его площадь.

53. Даны две противоположные вершины квадрата: А (-3;8), С (4;-7). Найти его площадь.

54. Найти площадь правильного треугольника, две вершины которого имеют координаты: А (-2;-5), В (8;-7).

55. Сторона ромба равна 5, две его противоположные вершины имеют координаты: А (1;0), С (-3;2 ). Найти его площадь.

56. Дана точка А (3;2). Найти на координатных осях точки расстояние до которых от точки А равняется 5.

57. Даны вершины треугольника: А (-3;7), В (2;5), С (4;-3). Найти координаты середин его сторон.

58. Даны три точки: А (-2;7), В (2;1) и С (4;-2). Определить отношение λ, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.

59. Даны точки А (-3;-2) и В (6;7). Найти координаты точки, которая делит отрезок АВ в отношении: а) λ = ; b) λ = ; с) λ = -4.

60. Даны точки А (-7;6) и В (5;-2). Найти координаты точки, которая делит отрезок АВ в отношении: а) λ = 3; b) λ = ; с) λ = -5.

61. Определить координаты концов отрезка АВ, который точками N (-3;-5) и M (2;1) разделен на три равные части.

62. Доказать, что точки: А (-2;-4), В (-6;4), С (4;-1) – вершины прямоугольного треугольника.

63. Доказать, что точки: А (-9;-1), В (-3;1), С (5;3 ) лежат на одной прямой.

64. Найти площадь треугольника, координаты вершин которого:

а) А (1;5), В (-2;3), С (-7;-2);

b) А (2;3), В (-6;1), С (-3;-4);

с) А (3;-5), В (-4;7), С (-2;5).

65. Вершины параллелограмма АВСD имеют координаты: А (2;-7), В (5;3), С (-1;6). Найти его площадь.

66. Площадь треугольника АВС равна 4 кв. ед. Две его вершины имеют координаты: А (1;2), В (-2;3), а третья вершина лежит на оси О_у. Найти координаты вершины С.

67. Площадь треугольника АВС равна 5 кв. ед. Две его вершины имеют координаты: А (1;2), В (-2;3), а третья вершина лежит на оси О_х. Найти координаты вершины С.

 

Линии первого порядка

 

2.1. Различные виды уравнения прямой. В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида Ах + Ву + С = 0, где А, В и С некоторые числа, а х и у – переменные, называется общим уравнением прямой.

Уравнение вида у = kх + b, где k и b некоторые числа, а х независимая переменная называется уравнением прямой, разрешенным относительно ординаты или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение вида = является уравнением прямой, проходящей через две точки М ₁(х₁; у₁) и М ₂(х ₂; у ₂).

Уравнение вида + = 1, где a и b есть величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях называется уравнением прямой «в отрезках».

Пример. Прямая проходит через точки А (-4; 1) и В (-2; 2). Составить общее уравнение данной прямой и уравнение прямой в отрезках.

Решение.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки

= ,

Подставив координаты данных точек получаем:

= ;

= ;

-8(х +4) = 7 (у – 1);

х – 2 у + 6 = 0 – общее уравнение данной прямой;

- + = 1 – уравнение данной прямой в отрезках.

Ответ: х – 2 у + 6 = 0; - + = 1.

 

2.2. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть две прямые заданы уравнениями

у = k ₁ х +b ₁и у = k ₂ х +b ₂,

тогда угол φ между этими прямыми определяется по формуле

tg φ = .

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k ₁= k ₂.

Если же прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т.е. k₂ = - .

В случае, когда прямые заданы общими уравнениями

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ = 0 и А ₂ х + В ₂ у + С ₂ = 0,

угол между ними определяется по формуле tg φ = .

В этом случае признаком параллельности двух прямых является равенство = , а признаком их перпендикулярности равенство = - .

Пример: Найти угол φ между прямыми: 1) 2 х – у + 6 = 0 и х + 3 у -11 = 0; 2) у = -5 х +7 и у = 2 х - 8.

Решение.

1) Если прямые заданы общими уравнениями, то тангенс угла между ними вычисляется по формуле: tg φ = .

В нашем случае tg φ = = = -7, следовательно φ = -82⁰.

2) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, тангенс угла между ними вычисляется по формуле: tg φ = .

Тогда tg φ = = . Следовательно φ = - 38⁰.

Ответ: 1) φ = -82⁰; 2) φ = - 38⁰.

 

2.3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой. Прямая, проходящая через точку М (х ₁; у ₁) и параллельная прямой у = kх +b, задается уравнением

у – у ₁ = k (х – х ₁).

Прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой, задается уравнением у – у ₁ = - (х – х ₁).

Если прямая задана общим уравнением Ах + Ву + С = 0, прямая проходящая через точку М (х ₁; у ₁) и параллельная данной прямой, задается уравнением А (х – х ₁) + В (у – у ₁) = 0, а перпендикулярная ей уравнением

А (у – у ₁) - В (х – х ₁) = 0.

Пример. Даны вершины треугольника АВС: А (-1;3), В (2;-5), С (7;0). Составить уравнение прямой параллельной ВС, проходящей через точку А и уравнение высоты, опущенной из вершины А.

Решение.

1) Составим уравнение прямой ВС: = ; = . Следовательно, прямая ВС задается уравнением: х – у – 7 = 0.

2) Составим уравнение прямой параллельной ВС, проходящей через точку А.

Уравнение прямой параллельной данной прямой Ах + Ву + С = 0 и проходящей через точку М (х ₁; у ₁), имеет вид А (х – х ₁ ) + В (у – у ₁) = 0.

Подставив значения, получаем: 1 ·(х – (-1)) + (-1) ·(у – 3) = 0.