Методические указания для выполнения лабораторных работ по теме

Методические указания для выполнения лабораторных работ по теме

Математика в «Excel»

Оглавление

Раздел 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. 1

Тема 1.1 Декартова система координат. 1

Тема 1.2 Кривые второго порядка на плоскости. 2

Тема 1.3 Графическое решение системы уравнений. 2

Тема 1.4 Использование программы Excel в линейной алгебре. 3

Раздел 2. Элементы математического анализа. 4

Тема 2.1. Определенный интеграл. 5

Раздел 3. Задачи оптимизации. 6

Тема 3.1 Решение уравнения с одним неизвестным.. 6

Тема 3.2 Аппроксимация экспериментальных данных. 7

 

 

Раздел 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Тема 1.1 Декартова система координат

Самая простая и наиболее распространенная система координат на плоскости называется декартовой по имени известного математика и философа Рене Декарта. Декартова система координат образована двумя перпендикулярными осями, осью Х и осью Y.

Точка пересечения осей называется началом и служит одновременно началом координат на каждой из осей. Масштаб на осях выбирается одинаковый (иначе система координат будет называться аффинной, а не декартовой).

Прямая линия на плоскости

Уравнением линии на плоскости x0y может записываться по разному:

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом y=kx+b, где k=tga – угловой коэффициент прямой, a– угол наклона прямой к оси x, b – ордината точки пересечения прямой с осью y.
2. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (x₁, y₁), (x₂, y₂): .
3. Общее уравнение прямой Ax+By+C=0.

Всегда важно указать, какие значения может принимать независимая переменная х. Собственно говоря, символом х обозначается произвольный элемент некоторого числового множества, которое называется областью определения функции.

С помощью системы координат мы можем каждую функцию изобразить наглядно, в виде графика.

В программе Excel для построения прямых, а также кривых, может быть использован специальный инструмент – Мастер диаграмм, который дает возможность строить различные типы графиков. Для применения Мастера диаграмм необходимо ввести точки прямой линии в рабочую таблицу, вызвать Мастер диаграмм, задать тип диаграммы, диапазоны данных и подписей оси x, ввести название осей.

Пример.

Рассмотрим построение прямой в Excel на примере уравнения y=2x+1 на интервале с шагом D=0,5.

Для решения задачи на чистый лист Excel занести значения аргумента и подсчитать значение функции. В ячейку A1 введите слово Аргумент, в ячейку B1 – слово Прямая. В ячейку А2 введите левую границу диапазона «-3». В ячейку А3 – «-2,5». Выделите блок ячеек А2:А3 и при помощи маркера заполнения протяните и заполните весь диапазон изменения аргумента. В ячейку В2 введите формулу =2*А2 + 1 (ссылку на ячейку можно заполнить при помощи щелчка на соответствующей ячейке). Затем с использованием маркера заполнения копируем эту формулу в весь диапазон. На Панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне указать в правом поле тип диаграммы График и подтип диаграммы в правом поле – График с маркерами. После чего нажимаем в диалоговом окне кнопку Далее.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных, т.е. ввести ссылку на ячейки, содержащие данные, необходимые для представления на диаграмме (при помощи мышки выделить диапазон В1:В14. В рабочем поле должна появиться надпись Лист1!$B$1:$B$14. Ряды в столбцах. Если диалоговое окно закрывает столбцы с данными, его можно отодвинуть, потянув за строку заголовка указателем мыши. Во вкладке Ряд этого же диалогового окна необходимо указать Подписи по оси Х. Для этого, поставив курсор в поле мышкой отметьте диапазон аргумента (Лист1!$A$2:$A$14). Нажмите кнопку Далее. В третьем окне Мастера диаграмм (шаг 3 из 4): параметры диаграммы нужно ввести заголовок диаграммы (если его нет) и название осей (во вкладке Заголовки). Во вкладке Легенда щелчком мыши установить флажок в поле добавить легенду. После чего нажать Далее. В четвертом окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4): размещение диаграммы необходимо указать место расположения диаграммы (на отдельном или текущем листе). Если диаграмма в демонстрационном поле имеет нужный вид, нажать кнопку Готово. В противном случае нажать кнопку Назад и изменить установки.

 

Пример.

Построить параболу y=x² в диапазоне хÎ[-3;3] с шагом 0,5.

Решение.

Пусть открыть чистый рабочий лист, иначе добавить рабочий лист. По аналогии с предыдущим примером заполните исходные данные. Вызовите Мастер диаграмм. Постройте график функции y=x².

Упражнения.

1. Построить прямую 3x+2y-4=0 в диапазоне с шагом D=0,25.
2. Построить прямую, проходящую через точки А(0;3) и B(2;2) в диапазоне с шагом D=0,5.
3. Построить прямую, проходящую через точки начало координат и точку B(2;3) в диапазоне с шагом D=0,25.
4. Построить параболу y=2x²-1 в диапазоне хÎ[0;4] с шагом 0,25.
5. Графически решить систему в диапазоне с шагом D=0,2.
6. Графически решить систему в диапазоне с шагом D=0,2.

Операции с матрицами.

Транспонирование

Транспонированной (обратной) называется матрица, в которой столбцы исходной матрицы заменяются строками с соответствующими номерами. Исходная матрица: А = (а_ij), транспонированная – А^т = (а_ji).

Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП в категории Ссылки и массивы, которая позволяет менять ориентацию массива. Функция имеет вид ТРАНСП(массив). Массив – это диапазон ячеек на рабочем листе, в котором записаны элементы матрицы.

Пример 1. Дана матрица А, получить транспонированную матрицу А^т.

Решение.

1. Введите на рабочий лист Excel предложенную матрицу (в ячейку число). Выделите указателем мыши блок ячеек под транспонированную матрицу (размер транспонированной матрицы: количество строк = количеству столбцов в исходной матрице). В данном случае размер исходной матрицы 2*5, транспонированной – 5*2.

2. Меню Вставка – Функция, в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Ссылки и массивы, в рабочем поле функции – имя функции ТРАНСП.

3. В окне ТРАНСП укажите диапазон ячеек исходной матрицы. После чего нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

4. В указанном вами диапазоне должна появиться транспонированная матрица.

Пример 2.

Найти определитель матрицы

Решение.

1. На лист рабочей книги введите исходные данные в ячейки А1:С3.
2. Поставьте табличный курсор в ячейку А4.
3. Меню Вставка – Функция. В поле Категория выберите Математические, в рабочем поле Функция – имя функции МОПРЕД. Нажмите ОК.
4. В появившееся диалоговое окно МОПРЕД введите диапазон исходной матрицы. Нажмите ОК.
5. В ячейке А4 появится значение определителя (6).

 

Умножение матриц.

Произведение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Для нахождения произведения двух матриц в Excel используется функция МУМНОЖ, которая вычисляет произведение матриц (матрицы хранятся в массивах). Функция имеет вид МУМНОЖ(массив1; массив 2). Здесь массив 1 и массив 2 – это перемножаемые матрицы. При этом количество столбцов аргумента массив 1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив 2, оба массива должны содержать только числа. Результатом (т.е. матрицей-произведением) является массив с таким же числом строк, как массив 1, и таким же числом столбцов, как массив 2.

Пример 3.

Найти произведение массивов и

Решение:

1. Введите матрицу А в диапазон А1:D3, а матрицу В в диапазон А4:В7.

2. Выделите блок ячеек под результирующую матрицу. Для этого необходимо найти размер матрицы-произведения. Ее размерность будет в данном примере 3*2. Выделите блок ячеек F1:G3.

3. Вызовите Мастер функций. В поле Категория выберите Математические, в поле Функции – имя функции МУМНОЖ. Нажмите ОК.

В появившемся диалоговом окне введите диапазоны массива 1 и массива 2 (соответственно А1:D3 и А4:В7). После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

4. После этого в выделенном вами диапазоне должна появится матрица, которая равна произведению исходных матриц.

Упражнения.

1. Найдите матрицу, обратную данной и определитель исходной матрицы.

2. Найдите матрицу, обратную данной и определитель исходной матрицы

3. Найти произведение матриц А*В, где

4. Вычислите А*В =

 

Решение1.

На листе Excel составляем таблицу данных. Заполняем значение аргумента (в ячейки А1:А32) и значение функции () (в ячейки В1:В32) (см. Декартова система координат, Пример 1).

Введем слово интеграл в ячейку А33 и в соседней ячейке формулы =0,1*, затем вызываем Мастер функций и в категории Математические выбираем функцию СУММ. Нажимаем ОК. В диалоговое окно Мастера функции вводим диапазон суммирования – значения функции (В2:В32). В ячейке В33 появляется приближенное значение интеграла (9,455).

Ошибка в методе прямоугольников составила 0,455.

Решение 2.

Используем метод трапеции. Для этого в ячейку А34 введем слово интеграл 2. В соседнюю ячейку вводим формулу =0,1*((В2+В32)/2+) затем вызываем функцию СУММ. Нажимаем ОК. В диалоговое окно Мастера функции вводим диапазон суммирования – значения функции (В3:В31). В ячейке В34 появляется значение =9,005. В данном случае ошибка метода составляет 0,005, что вполне приемлемо.

 

Упражнения.

Найти при помощи метода прямоугольника и трапеции определенные интегралы:

1. с шагом Dх=0,1.
2. с шагом Dх=0,1.
3. с шагом Dх=0,1.

 

Решение.

Этап 1.

1. В ячейку А1 вводим – корень, в ячейку В1 – функция.
2. В ячейку А2 вводим ориентировочное значение корня, например, 3.
3. Заносим в ячейку В2 левую часть уравнения, используя в качестве независимой переменной ссылку на ячейку А2. В ячейке В2 появляется число 1,098612.

Этап 2.

1. Вызываем процедуру Подбор параметров (Сервис – Подбор параметра).

2. В поле Установить в ячейке мышью указываем В2, в поле Значение с клавиатуры задаем 0 (правая часть уравнения), в поле Изменяя значение ячейки мышью указываем А2 (см. рис).

3. Щелкаем на кнопке ОК и получаем результат подбора, отображаемый в диалоговом окне Результат подбора параметра. Щелкаем на ОК, чтобы сохранить полученные значения ячеек, участвовавших в операции. При этом существует погрешность решения (вместо 0 в правой части уравнения получаем -0,00013).

 

 

Пример 2. Найти решение уравнения .

Решение. Уравнение имеет два корня. Решение начинаем с нахождения первого корня.

1. В ячейку А4 вводим заголовок корни, в ячейку В4 – функция.
2. В ячейку А5 вводим ориентировочное значение корня, например, 3.
3. Заносим в ячейку В5 левую часть уравнения, используя в качестве независимой переменной ссылку на ячейку А5.
4. Производим подбор параметров. В результате получаем значение первого корня х1=2,000019, значение функции при этом получаем 1,94Е-05 (0,000019).
5. Повторяем расчет для второго корня. Для этого в ячейку А6 вводим значение -3, в ячейку В6 копируем формулу функции. Производим подбор параметров. Значение второго корня х2=0,99960.

Упражнения.

1. Решить уравнение cos(x)=0 в диапазоне хÎ[0;2].
2. Решить уравнение
3. Решить уравнение

 

Методические указания для выполнения лабораторных работ по теме

Математика в «Excel»

Оглавление

Раздел 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. 1

Тема 1.1 Декартова система координат. 1

Тема 1.2 Кривые второго порядка на плоскости. 2

Тема 1.3 Графическое решение системы уравнений. 2

Тема 1.4 Использование программы Excel в линейной алгебре. 3

Раздел 2. Элементы математического анализа. 4

Тема 2.1. Определенный интеграл. 5

Раздел 3. Задачи оптимизации. 6

Тема 3.1 Решение уравнения с одним неизвестным.. 6

Тема 3.2 Аппроксимация экспериментальных данных. 7