Динамические методы измерений силы тяжести

1. Маятниковый метод получил наиболее широкое распространение среди других динамических методов, применялся на практике в течение почти двух столетий и был доведен до высокой степени совершенства.

Маятником можно считать любое твердое тело, совершающее свободные колебания относительно горизонтальной оси. В теории метода рассматривают математический и физический маятники. Математический маятник представляет собой материальную точку с массой m, подвешенную на абсолютно нерастяжимой и невесомой нити длиной ℓ (рис. 2.10). Угол φ_о соответствует максимальному отклонению маятника от положения равновесия и называется амплитудой колебаний. Врем, необходимое маятнику для прохождения от одного крайнего положения +φ_о до другого крайнего положения -φ_о, называется периодом колебаний Т маятника. Дифференциальное уравнение движения математического маятника имеет вид:

d2φ/dt2 = - (g/ℓ) sin φ (2.36)

о

Математический маятник

Физический маятник

Рис. 2.10. Математический и физический маятники.

Решение этого уравнения дается в виде:

(2.37)

Как видно из последнего равенства, период зависит от амплитуды. При малых амплитудах, когда можно считать sin φ = φ, период колебаний маятника не зависит от амплитуды (это свойство маятника называется изохронностью) и равенство (2.37) приобретает вид формулы Гюйгенса:

g^,

(2.38)

Обычно при гравиметрических измерениях амплитуда колебаний маятника не превышает 1о, поэтому условие sin φ = φ практически выполняется и из формулы (2.38) получим:

g = ty$I- С²-³⁹)

На практике осуществить математический маятник с необходимой степенью точности невозможно. Поэтому при измерениях силы тяжести используют физический маятник, который, имея определенные размеры, не является точечным и нить подвеса не является абсолютно нерастяжимой и невесомой. Уравнение движения физического маятника можно записать так:

{_х, (2.40)

где JX и MX — соответственно момент инерции и момент сил относительно оси вращения Х.

Поскольку сумма моментов действующих сил:

V M _X — —Mga sin q>, где М - масса тела, то уравнение движения принимает вид:

(2.41)

или

'%~UK ⁽²-⁴²⁾

где

т /

(2.43)

Выражение (2.42) совпадает с дифференциальным уравнением колебания математического маятника, т. е. физический маятник колеблется по тем же законам, что и математический, но роль длины l для него играет величина JX/(aM), называемая приведенной длиной физического маятника.

Обычно приведенную длину физического маятника трудно определить с достаточной точностью, например, для маятника с приведенной длиной l = 100 см (Т ≈ 1с) при заданной погрешности измерения ускорения силы тяжести 0,1 мГл период колебаний и длину надо измерять с допустимыми погрешностями соответственно 3,5 10-⁸ с и 0,07 мкм (Огородова, Шимбирев, Юзефович, 1978). Поэтому для определения абсолютных значений g использовали специальные оборотные маятники. Абсолютное значение силы тяжести необходимо знать хотя бы в одной точке. В настоящее время таким пунктом является Потсдамский геодезический институт, к которому отнесены все гравиметрические съемки мира. Здесь определение абсолютного значения силы тяжести было проведено под руководством Гельмерта в 1898 -1904 г.г. На основании 192 определений получено абсолютное значение силы тяжести 981 274 ±3 мГл.

При современном состоянии техники точность этого метода не может быть повышена из-за ряда трудно учитываемых факторов: удлинения маятника под действием собственного веса, деформации опор, неточности измерения приведенной длины и др.

Маятниковым методом проводили и относительные измерения (если в одном из пунктов известно полное значение силы тяжести g1). В последнем случае, если измерить периоды качания маятника в двух пунктах Т1 и Т2, то, учитывая формулу (2.38):

T² g T²

-=£ = —, откуда следует g₂=-£_Tg₁ (2.44)

Гравиметры для относительных измерений силы тяжести применялись для создания опорных гравиметрических сетей и обеспечивали погрешности определения относительных значений силы тяжести около 0,1 мГл при весе порядка 90 кг и цикле одного измерения 15 — 20 мин. Однако в последнее время они были вытеснены приборами, основанными на баллистическом способе измерений.

2. Баллистический метод основан на зависимости времени падения тел в вакууме (t) от значения силы тяжести (g):

^{h = gt}22, ^{откуда g} = ²ht^2,

где h - высота, с которой падает объект при нулевой начальной скорости. Из-за требований высокой точности определения величин h и t, только в 60-х годах 20 века, с применением лазерной техники, появилась возможность конструировать приборы для измерения силы тяжести этим методом. Кроме того, как было установлено, величины hиt нельзя отсчитывать от начала падения, так как при освобождении тело может получить

дополнительное ускорение. Наиболее приемлемым оказалось бросать тело вверх и измерять время, за которое тело проходит определенный участок пути при подъеме и падении.

1 - вакуумная камера, 2 - уголковый отражатель, 3 - лазер, 4 -коллиматор, 5 - полупрозрачные зеркала, 6 - фотоумножитель, 7-счетный блок, 8 - генератор меток времени, 9 - перфоратор, ЦПУ -цифропечатающее устройство.

Рис. 2.11. Схема баллистического интерферометра для определения абсолютных значений силы тяжести.

В этом случае формула для расчета значения g достаточно проста:

*=7tf- ^(Z46)

где t1 и t2 - промежутки времени между пересечениями телом специальных щелей при движении его вверх и вниз.

В различных странах за рубежом разработаны и применяются несколько типов баллистических гравиметров. Почти все они представляют собой экспериментальные образцы. В Сибирском отделении АН РФ разработан баллистический гравиметр, в котором применяется интерферометр Майкельсона с газовым лазером (рис. 2.11). В вакуумной камере 1 падает уголковый отражатель 2, ориентируемый по вертикали в крайнем верхнем положении при помощи агатовой опоры. Оптическая система интерферометра содержит стабилизированный лазер 3, коллиматор 4. полупрозрачные зеркала 5, делящие луч на две части, и фотоумножитель 6. В счетном блоке осуществляется измерение пути и времени. Величина h определяется по числу интерференционных полос, образованных при наложении прямого и обратного луча лазера от падающего уголкового отражателя. Для обработки результатов используется компьютер.

Один цикл измерения - подъем и падение уголкового отражателя, а также обработка результата - занимает около 12 с. За один час, включая паузы, можно сделать около 200 циклов. За несколько часов может быть достигнута точность в несколько сотых мГл. Для достижения точности выше 0,01 мГл наблюдения ведутся сутками (Огородова, Шимбирев,

Юзефович, 1978). Полный комплект установки имеет массу в несколько сотен килограммов, но разделяется на отдельные транспортабельные части. Баллистические гравиметры-интерферометры используются сейчас для геодезических измерений и для создания опорных гравиметрических сетей.

3. Струнный метод основан на измерениях собственных поперечных колебаний струны, натянутой грузом. Если подвесить массу на тонкой металлической нити (струне), то натяжение струны и соответственно период колебаний будут зависеть от веса массы, длины и веса струны. При постоянных параметрах струны и груза изменения силы тяжести проявляются в изменении частоты колебаний струны. Частота колебаний ф идеально гибкой струны определяется:

LMg

^S (2.47)

где L - длина струны, M - масса груза, подвешенного на струне, l - линейная плотность струны (г/см). Отсюда:

1 - медная масса, 2 - струна,

3 - полюса постоянного магнита,

4 -демпфер.

g =

Рис. 2.12. Общая схема устройства струнного гравиметра

(2.48)

4 Lf l ² 2 М

Этот принцип в абсолютных измерениях не используется из-за сложностей определения эффективной длины реальной струны.

Для относительных измерений используется схема, приведенная на рис. 2.12. Груз 1 подвешен на струне 2, проходящей между полюсами постоянного магнита 3, поэтому колебания струны приводят к возникновению в ней переменного тока. Чтобы ток не затухал, струна включена в контур с положительной обратной связью, образуя струнный генератор.

Частота струнного генератора умножается и сравнивается с частотой эталонного генератора. Для устранения продольных колебаний струны применяется электромагнитное демпфирование при помощи постоянных магнитов 4, возможность маятниковых колебаний ограничивают плоские горизонтальные пружины.

Изменение напряженности поля Δg связано с изменением частоты колебаний струны Δf квадратичной зависимостью:

'—, (2.49)

А/о где

-, (2.50)

1 M+R
/n=—J—----» С²-⁵¹)

М - масса груза, l - длина струны, σ — плотность материала струны, S — площадь поперечного сечения струны, R — величина, зависящая от параметров вспомогательных пружин.

Поскольку точное измерение величин, определяющих коэффициент С, является сложной задачей, здесь применяют способы градуирования, которые используются в статических гравиметрах (см. ниже).

Достоинства струнного гравиметра - практически неограниченный диапазон измерения и малая зависимость частоты колебаний струны от температуры, а также простота измерений и цифровой регистрации. Недостатки струнного гравиметра - слабая устойчивость к влиянию вибраций и других инерционных помех, а также нелинейная зависимость между Δg и/

Струнные гравиметры применяют для измерений в скважинах и иногда - на самолетах и морских судах.