Свойства дисперсии случайной величины

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю .

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат: .

Учитывая свойство математического ожидания, получим:

3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания:

.

Или

, где .

Доказательство. Пусть .

Тогда . Учитывая, что а – величина постоянная, неслучайная, найдем

.

4. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

.

Доказательство.

.

Обозначая , и учитывая, что для независимых случайных величин , получим:

Обращаем внимание на то, что дисперсия как суммы, так и разности независимых случайных величин и равна сумме их дисперсий, т.е.

.

5. Дисперсия центрированной случайной величины равна .

Доказательство.

.

6. Дисперсия нормированной случайной величины равна 1.

Доказательство.

.

Определение. Модой случайной величины называется её наиболее вероятное значение (для которого вероятность или плотность вероятности достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Определение. Медианой непрерывной случайной величины называется такое её значение, для которого

.

Квантилем уровня (или q -квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция её распределения принимает значение, равное , т.е.:

.

Под -й точкой подразумевается квантиль , т.е. такое значение случайной величины , при котором .

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, т.е. . Квантили и получили название соответственно верхнего и нижнего квартилей.

Определение. Начальными и центральными моментами порядка непрерывной случайной величины называются величины

Замечание. Для дискретной случайной величины интегралы заменяются суммами:

Замечание. Центральный момент второго порядка является дисперсией случайной величины

.

Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты по формулам:

и т.д.

Например,

(при выводе учли, что – неслучайная величина).

Выше отмечено, что математическое ожидание , или начальный момент первого порядка, характеризует среднее значение или положение распределения случайной величины ; дисперсия , или центральный момент второго порядка , – степень рассеяния распределения относительно . Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.

Центральный момент третьего порядка служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, её делят на , где – среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Полученная величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины:

.

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии .

Центральный момент четвертого порядка служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

.

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то эксцесс .

Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.