Ковариация и коэффициент корреляции

Если имеется двумерная случайная величина , распределение которой известно, т.е. известна таблица или совместная плотность вероятности , тогда можно найти математическое ожидание , и дисперсии и одномерных составляющих и . Однако математические ожидания и дисперсии случайных величин и недостаточно полно характеризуют двумерную случайную величину , так как не выражают степени зависимости ее составляющих и . Эту роль выполняют ковариация и коэффициент корреляции.

Определение. Ковариацией (или корреляционным моментом) случайной величины и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, т.е.

или .

Из определения следует, что .

Определение. Ковариацией (корреляционным моментом) непрерывных случайных величин и называется второй центральный смешанный момент

Замечание. Корреляционный момент (ковариация) дискретных случайных величин и определяется следующим образом: .

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки . Об этом, в частности, свидетельствуют свойства ковариации случайных величин:

– ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е.

или .

Доказательство. По определению:

.

Учитывая, что математические ожидания , – неслучайные величины, получим

– ковариация двух независимых случайных величин равна нулю, т.к. равны нулю математические ожидания центрированных случайных величин.

– ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений, т.е.

.

Доказательство. Возьмем очевидное неравенство:

или

(учтено, что и числа и , ).

Тогда .

Ковариация, как уже отмечено, характеризует на только степень зависимости двух случайных величин, но и их разброс, рассеяние. Кроме того, она – величина размерная, ее размерность определяется произведением размерности случайных величин. Это затрудняет использование ковариации для оценки степени зависимости различных случайных величин. Этих недостатков лишен коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

.

Из определения следует, что . Очевидно также, что коэффициент корреляции есть безразмерная величина.

Определение. Корреляция между случайными величинами и называется положительной, если , и отрицательной, если .