Закон инерции квадратичных форм.

Теорема 4.9 Закон инерции. Для любой эрмитовой билинейной функции нормальный вид определяется единственным образом.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть найдется два базиса и , в которых нормальный вид различный. Пусть и и . Поскольку , то нормальный вид различен только если . Для определенности положим . Обозначим через W линейную оболочку векторов , а через U – линейную оболочку векторов . Для не нулевого вектора имеем и , а для вектора выполняются равенства и . Пересечение подпространств не может содержать векторов отличных от нуля, но . К полученному противоречию привело допущение . Таким образом теорема доказана.

Число положительных слагаемых в нормальном виде эрмитовой формы называется положительным индексом инерции, а число слагаемых с отрицательными коэффициентами – отрицательный индекс инерции. Индексы инерции эрмитовых форм не зависят от выбора базиса.

Теорема Якоби

Обозначим через угловой минор j -го порядка матрицы F (и положим ).

Теорема 4.10 Якоби. Пусть (k =1,2,.., r). Существует канонический базис , для которого , при k =1,2,.., r, и при k > r.

Доказательство очевидным образом повторяет Следствие 4.12.

Критерий Сильвестра.

Эрмитовая форма называется положительно определенной, если для любого справедливо неравенство .

Теорема 4.11 Критерий Сильвестра положительной определенности. Эрмитова форма положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры (расположенные по главной диагонали) строго больше нуля.

Доказательство. Если все главные миноры F строго больше нуля, то и все угловые миноры матрицы F строго больше нуля. По теореме Якоби найдется базис, в котором эрмитова форма имеет вид . Поскольку все коэффициенты строго больше нуля, то эрмитова форма положительно определена.

Покажем обратное. Допустим, найдется главный минор матрицы F, не больше нуля. Не нарушая общности можно считать, что это угловой минор порядка k, так как в противном случае перенумеруем переменные соответствующим образом. Далее, можно считать, что все угловые миноры до (k -1)-го порядка больше нуля. Действительно, иначе можно положить k равным меньшему значению. Положим все переменные с номером больше k равными нулю. В результате получим эрмитову форму от k переменных с матрицей . Угловые миноры этой матрицы до (k -1)-го порядка больше нуля, и, значит можно воспользоваться теоремой Якоби. В некотором базисе эта форма имеет вид . По построению , и, значит, найдется не нулевой вектор, значение эрмитовой формы на котором не больше нуля, что противоречит ее положительной определенности. К полученному противоречию привело допущение о существовании не положительных главных миноров матрицы F. Следовательно, все главные миноры больше нуля.

Квадрики.

Алгебраическая поверхность

Пусть некоторый полином от n переменных. Алгебраической поверхностью называется множество решений уравнения , порядком алгебраической поверхности называется максимальная степень полинома. Если n =2, то алгебраическая поверхность называется алгебраической кривой.

Под аффинной заменой координат будем понимать замену вида , где P – невырожденная матрица.

Теорема 5.12При аффиной заменой координат порядок поверхности не меняется.

Доказательство. Непосредственной подстановкой легко проверить, что при аффинной замене координат порядок поверхности не возрастает. Возврат к исходной системе координат является аффинным преобразованием. Значит, порядок поверхности не может и убывать.

Уравнение квадрики.

Алгебраическая поверхность второго порядка называется квадрикой. Общее уравнение квадрики можно записать в следующем виде . Положим и . Уравнение квадрики в новых обозначениях принимает вид . Матрица называется расширенной матрицей квадрики.

5.3 Изменение квадрики при аффинном преобразовании

Ответим на вопрос об изменении уравнения квадрики при аффинной замене координат x = h + Ty. Положим , тогда равенство x = h + Ty эквивалентно равенству , и, значит, . Тем самым установлена теорема.

Теорема 5.13. Пусть из квадрики аффинной заменой координат x = h + Ty получается квадрика , тогда , , , .

Обозначим через s (A) положительный индекс инерции, а через t (A) – отрицательный индекс инерции квадратичной формы. Из приведенных формул вытекает полезное следствие.

Следствие 5.13. Пусть из квадрики аффинной заменой координат получена квадрика . Тогда , , и , , .

Доказательство вытекает из закона инерции квадратичных форм и формул изменения квадрики при аффинной замене системы координат.

Следствие 5.14. Величины , , , являются аффинными инвариантами квадрики.