Приведение квадратичных форм (симметричных билинейных форм, эрмитовых форм) к простейшему виду.

4.4.1 Метод выделения квадратов (Лагранжа).

Базис называется каноническим для симметричной (эрмитовой) билинейной функции, если ее матрица в этом базисе диагональная.

Теорема 4.8 Лагранжа. Для любой эрмитовой функции существует канонический базис.

Доказательство проведём индукцией по рангу r матрицы эрмитовой формы F. Если r =0, то матрица нулевая, утверждение очевидно. Допустим, что теорема верна для r -1. Докажем ее истинность для r. Рассмотрим три случая

а) , тогда положим и , где k >1. В данном случае матрица перехода S будет отличаться от единичной матрицы только первой строкой, равной и S [ x ]=[ x ’], Q [ x ’]=[ x ], где . Матрица Q отличается от единичной матрицы только первой строкой, равной (1, ,…, ). После замены координат, получим матрицу билинейной формы , которая имеет следующий блочный вид . Поскольку ранг равен r -1, то по предположению индукции эрмитову матрицу можно привести к каноническому виду. Пусть . Тогда и теорема в этом случае доказана.

б) и существует k, что переставим первый и k базисные вектора, и далее перейдем к пункту а).

в) для всех k и найдётся не нулевой элемент , где . Возможны два случая:

1. тогда прибавим к k базисному вектору l базисный вектор и получим случай б)

2. тогда прибавим к k базисному вектору l базисный вектор, умноженный на i, и получим случай б). Теорема доказана.

Базис эрмитовой билинейной функции f (x,y) называется нормальным, если матрица билинейной функции в этом базисе имеет диагональный вид, и ее главная диагональ равна (1,..,1,-1,..,-1,0..,0).

Для отыскания матрицы перехода можно поступать следующим образом. Припишем к матрице F единичную матрицу справа. Затем будем производить элементарные преобразования со строками расширенной матрицы и столбцами матрицы F. Причем, если к строке k прибавим строку j, умноженную на число , то затем к столбцу k прибавим столбец j, умноженный на число . После приведения матрицы F к диагональному виду справа будет расположена матрица, все элементы которой комплексно сопряжены к матрице перехода.

Следствие 4.11 Для эрмитовой формы существует нормальный базис если поле R или C.

Доказательство. Построим канонический базис. Далее, если , то умножим j базисный вектор на число . Затем перестановкой базисных векторов приведем матрицу к нормальному виду.

Следствие 4.12 Если все угловые миноры матрицы F отличны от нуля, то существует верхняя треугольная матрица Q, которая приводит F к диагональному виду.

Доказательство проведем индукцией по рангу F. По теореме Лагранжа существует матрица Q, приводящая F к диагональному виду. Докажем, что она верхняя треугольная матрица. Обозначим через угловой минор j -го порядка матрицы F. Так как , то выполняется пункт а) теоремы Лагранжа. Матрица перехода Q верхняя треугольная. Угловой минор матрицы порядка k- 1, умноженный на , равен (угловому минору порядка k матрицы F). По предположению индукции, найдется

верхняя треугольная матрица Q’, приводящая матрицу к диагональному виду. Но тогда - верхняя треугольная матрица, а - диагональная матрица.

4.4.2 Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями

Симметричные матрицы A и F назовем конгруэнтными, если найдется невырожденная матрица P, что . Матрицы билинейной формы в различных базисах конгруэнтны. Из теоремы Лагранжа вытекает, что симметричная квадратная матрица конгруэнтна диагональной матрице diag (1,…,1.-1,…,-1,0,…,0). Опишем алгоритм приведения симметричной квадратной матрицы F к диагональному виду элементарными преобразованиями. Отметим, если мы совершаем какие то действия со строками матрицы F, то те же самые действия надо совершить и со столбцами матрицы. Номера столбцов будут указываться в квадратных скобках, а номера строк – в круглых скобках.

1. Положим r =1.

2. Если , то перейдем на шаг 4, иначе шаг 3.

3. Положим , , где . Затем увеличим r на 1 и вернемся на шаг 2.

4. Если найдется i, что , то положим , и вернемся на шаг 2. В противном случае перейдем на шаг 5.

5. Если для всех i,j > r справедливо неравенство , то алгоритм работу закончил. В противном случае найдутся номера i,j, для которых . Тогда переставим строки и столбцы и вернемся на шаг 2.

Легко проверить, что предложенный алгоритм построит диагональную матрицу конгруэнтную исходной матрице. Преобразованиями вида , можно добиться, чтобы на главной диагонали стояли только 0,1,-1. Перестановками строк и столбцов элементы матрицы, стоящие по главной диагонали, можно расположить в порядке не возрастания.

Если приписать справа единичную матрицу, то элементарные преобразования можно запомнить в ней.