Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Геометрический смысл определителя матрицы Грама. Неравенство Адамара.
Свойство 2.12. Определитель матрицы Грама от линейно зависимой системы векторов равен 0. Доказательство. Пусть система векторов - линейно зависима. Тогда, либо система содержит нулевой вектор, и утверждение в этом случае очевидно, либо найдется вектор , линейно выражающийся через предыдущие векторы системы. В матрице Грама вычтем из i -ой строки, предыдущие строки с коэффициентами . Определитель матрицы Грама при этом не изменится, а i -ая строка станет равной нулю. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю, а, значит, и определитель матрицы Грама равен нулю. Рассмотрим геометрический смысл матрицы Грама от линейной не зависимой системы векторов . Если k =1, то - квадрат длины вектора. Если k >1, то применим к системе векторов процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Обозначим через P матрицу перехода от системы к системе . Эта матрица имеет треугольный вид, а на ее главной диагонали стоят 1, и ее определитель равен 1. Кроме того, и, следовательно, определители матриц Грама равны. Поскольку система векторов - ортогональна, то матрица Грама от этой системы векторов – диагональная, и ее определитель равен произведению квадратов длин векторов этой системы. Таким образом, установлено равенство . Рассмотрим случай k =2. Тогда равна длине высоты параллелограмма, опущенного на сторону (см. Ошибка: источник перёкрестной ссылки не найден). Следовательно, произведение равно площади параллелограмма натянутого на векторы , а определитель матрицы Грама равен квадрату площади этого параллелограмма. Если k =3, то вектор является ортогональной составляющей вектора к плоскости, натянутой на векторы . Следовательно, определитель матрицы Грама от трех векторов равен квадрату объема параллелепипеда, натянутого на векторы . Поскольку все рассуждения обобщаются на произвольную размерность, то тем самым установлено свойство. Свойство 2.13 Определитель матрицы Грама от системы векторов равен 0, если система линейно зависима, и квадрату объема k -мерного параллелепипеда натянутого на векторы иначе. Покажем теперь неравенство Адамара. Теорема 2.4. Доказательство. Если система векторов линейно зависимая, то неравенство очевидно. Пусть эта система векторов линейно независимая. Применим к ней процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Вектор является ортогональной составляющей вектора на линейную оболочку векторов , и, значит, по неравенству Бесселя (Теорема 2.2). Далее, , что и требовалось доказать.
Неравенство Адамара обращается в равенство, только если исходная система векторов является ортогональной. В остальных случаях неравенство – строгое. Следствие 2.5 Справедливы неравенства и . Доказательство. В n -мерном арифметическом пространстве определим скалярное произведение по формуле . Рассмотрим систему векторов, образованную столбцами матрицы A. Матрица Грама от этой системы векторов равна и по неравенству Адамара . Поскольку , то неравенство установлено. Применяя полученное неравенство к транспонированной матрице, выводим . Следствие 2.6 Пусть . Тогда . Доказательство очевидно. Положим и, далее, по индукции . Матрица имеет порядок , ее определитель равен и все ее элементы равны . Легко убедиться, что неравенство (Следствие 2.6) обращается на этой матрице в равенство.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-17; просмотров: 327; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.159.150 (0.004 с.) |