Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Расстояния. Псевдорешения. Нормальные решения. Нормальные псевдорешения.
Расстоянием между множествами X и Y называется . Рассмотрим задачу нахождения расстояния от точки x до подпространства W. В начале рассмотрим случай, когда подпространство задано в виде линейной оболочки системы векторов. Теорема 2.5. Расстояние от точки до подпространства достигается на перпендикуляре, опущенном из точки x на подпространство. Доказательство. Представим . Расстояние от точки x до подпространства W равно . Векторы и ортогональны друг другу, и по неравенству Бесселя , причем равенство достигается только в случае . Тем самым установлено , что и требовалось. Пусть и система векторов линейно независимая. Расстояние от точки x до подпространства W можно найти как отношение объема k +1-мерного параллелепипеда натянутого на векторы к объему k -мерного параллелепипеда натянутого на векторы . Таким образом, справедлива формула . К сожалению, эта формула не позволяет находить проекцию и ортогональную составляющую вектора. Для нахождения проекции можно поступать следующим образом. Представим и , а затем умножим скалярно на векторы вектор x. Получим систему линейных уравнений . Коэффициенты при неизвестных образуют матрицу Грама, определитель которой не равен нулю. Следовательно, система имеет единственное решение. Решив эту систему, найдем проекцию вектора x, а затем и ортогональную составляющую. Рассмотрим случай, когда линейное подпространство задано системой однородных линейных уравнений Ax =0. Для простоты проведения рассуждений будем считать, что строки матрицы A линейно независимы. В ортонормированном базисе, коэффициенты при неизвестных в уравнении являются координатами вектора из ортогонального дополнения (см. п.2.4). Таким образом, по системе линейных уравнений можно найти базис ортогонального дополнения к пространству W. Обозначим базис через . Тогда представим и , а затем умножим скалярно на векторы вектор x. Получим систему линейных уравнений . Коэффициенты при неизвестных образуют матрицу Грама, определитель которой не равен нулю. Следовательно, система имеет единственное решение. Решив эту систему, найдем ортогональную составляющую вектора x, а затем и проекцию. Рассмотрим теперь задачу нахождения расстояния от точки x до линейного многообразия M. Эта задача легко сводится к аналогичной задаче построения расстояния от точки до подпространства. Действительно, пусть M=z + W, где z – произвольная точка из M, а W – подпространство. Тогда , то есть задача свелась к определению расстояния от точки x-z до подпространства W.
Линейное многообразие, заданное как множество решений одного линейного уравнения ax = b называется гиперплоскостью. Рассмотрим задачу отыскания расстояния от точки y до гиперплоскости ax = b. Перпендикуляр, опущенный из y на гиперплоскость равен и . Отсюда находим неизвестный параметр , а затем и расстояние . Рассмотрим задачу определения расстояния между двумя линейными многообразиями и . Расстояние между ними равно , то есть задача свелась к нахождению расстояния от точки y-z до подпространства . Заметим, что расстояние между линейными многообразиями достигается на общем перпендикуляре.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-17; просмотров: 96; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.58.151.231 (0.004 с.) |