Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Ранг, дефект линейного оператора.
Образ нуля равен нулю. Действительно, , отсюда . Множество векторов из W, образ которых равен 0, называется ядром линейного оператора. Ядро линейного преобразования обозначим (). Ядро является подпространством W (докажите) и его размерность называют дефектом и обозначают . Множество всех образов векторов из W обозначают (). Множество образов является подпространством V (докажите), его размерность называют рангом линейного оператора и обозначают . Теорема 6.21. . Доказательство. Пусть – базис . По определению для каждого вектора существует прообраз из W. Система векторов является линейно независимой. Действительно, из равенства , выводим , или . В силу линейной независимости, все коэффициенты равны 0, и система является линейно независимой. Аналогично показывается, что пересечение линейной оболочки векторов и состоит только из нулевого вектора. Действительно, из включения , выводим , и далее, . Для любого вектора x из W найдутся коэффициенты, что , и . Таким образом W представляется в виде прямой суммы линейной оболочки векторов и . Теорема вытекает из свойства прямой суммы. Следствие 6.15. Можно выбрать базисы в пространствах W и V так, чтобы матрица линейного оператора имела диагональный вид, причем по диагонали расположены 1 и 0. Количество ненулевых элементов на диагонали равно рангу оператора. Доказательство. Пусть и имеют тот же смысл, что и в доказательстве предыдущей теоремы. Дополним векторы до базиса V, а векторы до базиса W векторами из . Полученные базисы обозначим через и , соответственно. Построим матрицу линейного оператора в этих базисах. Заметим, , а координаты вектора в базисе равны (0,…,0,1,0,…,0), где 1 стоит на i -ом месте. Таким образом, матрица линейного оператора в этих базисах имеет диагональный вид, причем по диагонали расположены 1 и 0. Количество 1 равно рангу оператора. 7 Линейное преобразование 7.1 Линейное преобразование. Его матрица Однозначное отображение линейного пространства V над числовым полем P в себя называется линейным преобразованием, если оно сохраняет линейность, то есть для любых и . Линейное преобразование полностью определяется своими значениями на базисных векторах. Действительно, пусть базис V. Вектор x разложим по базису , где - координаты вектора x. По свойству линейного преобразования имеем . Перейдем в последнем равенстве от равенства векторов к равенству их координат , которое можно записать используя матричное умножение следующим образом . Матрица называется матрицей линейного преобразования и обозначается . Матрица линейного преобразования связывает координаты образа с координатами исходного вектора .
7.2 Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса. Поскольку линейное преобразование частный случай линейного оператора, то можно воспользоваться полученной ранее формулой , где P – матрица перехода. Матрицы A и B называются подобными, если существует невырожденная матрица P, что . Вопрос о подобии матриц сводится к решению системы линейных уравнений , где в роли неизвестных выступают элементы матрицы P, с дополнительным нелинейным условием . 7.3 Алгебра линейных преобразований. На множестве всех линейных преобразований пространства V расмотрим операции: 1. Умножение на число: . 2. Сложение (вычитание) 3. Умножение . Легко проверить линейность всех этих преобразований и вывести следующие формулы, связывающие их матрицы 1. 2. 3. Линейное преобразование, переводящее каждый вектор в себя, называется тождественным преобразованием и обозначается . В любом базисе матрица тождественного преобразования равна единичной. Пусть - некоторый многочлен, - линейное преобразование пространства V. Сопоставим многочлену линейное преобразование . Будем говорить, что преобразование получено подстановкой в многочлен . Матрица может быть вычислена по формуле . Свойство 7.14. Пусть . Тогда . 7.4 Инвариантные пространства Подпространство W называется инвариантным относительно линейного преобразования , если для любого x из W его образ также принадлежит W. Свойство 7.15. - инвариантное подпространство. Доказательство. Пусть . Тогда . Свойство 7.16. - инвариантное подпространство. Доказательство. Пусть , тогда . Свойство 7.17. Пусть - многочлен, тогда инвариантное пространство относительно . Доказательство. Пусть , то есть . Далее, , то есть . Свойство 7.18. Пусть - многочлен, тогда инвариантное пространство относительно .
Доказательство. Пусть , тогда . Далее, , то есть . Знание инвариантных подпространств позволяет найти базис пространства, в котором матрица линейного преобразования имеет простую структуру. Действительно, пусть базис инвариантного подпространства W. Дополним его до базиса всего пространства векторами . Координаты образов первых k векторов могут иметь только k первых ненулевых компонент. Следовательно, в матрице линейного преобразования содержится в левом нижнем углу блок размером (n - k)* k, состоящий из одних нулей. Если пространство V представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств W и U, то построим базис пространства V, объединив базисы W и U. В построенном базисе матрица линейного преобразования будет иметь блочно диагональный вид. Таким образом, структура матрицы линейного преобразования имеет тем более простой вид, чем меньше размерность инвариантных подпространств, в прямую сумму которых расщепляется исходное пространство V.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-17; просмотров: 625; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.75.229 (0.026 с.) |