Кафедра фундаментальних та загальнонаукових дисциплін

Кафедра фундаментальних та загальнонаукових дисциплін

 

КВАНТОВА ЕЛЕКТРОНІКА

Лекції

Р.

Зміст лекцій

З дисципліни Квантова електроніка

Тема 1. Вступ. Історія розвитку квантової електроніки і оптоелектроніки. Основні поняття і визначення, особливості в квантовій електроніці.

Тема 2. Поняття про квантові системи та квантові переходи. Спонтанне і вимушене випромінювання. Коефіцієнти Ейнштейна та зв’язок між ними.

Тема 3. Поняття про дипольне випромінювання. Дозволені та заборонені переходи.

Тема 4. Уширення спектральних ліній. Поняття про однорідне і неоднорідне розширення. Розсіювання світла та двох фотонне поглинання.

Тема 5. Поняття про інверсну населеність. Показники підсилення та поглинання. Методи здійснення інверсної населеності.

Тема 6. Принципи роботи квантових підсилювачів та генераторів. Збудження активної речовини (накачка). Схеми роботи квантових підсилювачів і генераторів.

Тема 7. Основні поняття про оптичні резонатори в електроніці. Добротність резонатора. Поняття про моди резонатора. Втрати резонатора.

Тема 8. Типи резонаторів. Плоскопаралельний резонатор. Конфокальний резонатор. Діаграма умови стійкості оптичних резонаторів.

Тема 9. Генерація випромінювання в оптичних квантових генераторах. Умова самозбудження і насичення. Модуляція добротності лазера.

Тема 10. Властивості лазерного випромінювання. Монохроматичність, корегентність, спрямованість, яскравість. Особливості лазерного випромінювання.

Тема 11. Принцип роботи квантових приладів. Газові лазери. Основні характеристики газових лазерів. Види газових лазерів.

Тема 12. Твердотілі лазери. Загальна характеристика твердотілих лазерів. Рубіновий лазер. Лазер на іонах неодиму.

Тема 13. Напівпровідникові лазери. Загальна характеристика, принцип дії напівпровідникових лазерів.

Тема 14. Різновиди лазерів.

Тема 15. Лазери у зв’язку, у локації, у промисловості, в медицині. Міри безпеки при роботі з квантовими приладами.

 

 

ВСТУП

Історія розвитку квантової електроніки і оптоелектроніки

 

Квантова електроніка і оптоелектроніка достатньо молоді науки.

Квантова електроніка вивчає поглинання і випромінювання енергії атомів і молекул речовини при переходах з одного енергетичного рівня на інший.[1]

Поняття квантових систем

Квантовими системами називають системи, які складаються з мікрочастинок (електронів, ядер, атомів, молекул та інш.). В квантовій теорії окремий електрон, атом, молекулу можна розглядати тільки як об’єкт, що існує в деякому дозволеному квантовому стані.

Важливою властивістю квантової системи, яка складається з пов’язаних мікрочастинок, є те, що її внутрішня енергія (енергія, яка не визначається рухом системи як цілого) при визначених умовах може приймати лише розширені дискретні значення Еj. Кожному із цих дозволених значень енергії відповідає одне/декілька стійких станів руху частиць в системі.

Енергетичний стан, яким може володіти квантова система, представляється у вигляді рівнів енергії. Самий нижній рівень, якій відповідає найменшій можливій енергії системи, називається основним - позначається Ео. Всі інші рівні Еj (j = 1, 2, 3, 4…) називаються збудженими, т.я для переходу на них з основного рівня необхідно збудити систему, т.б. повідомити (может сказать прикласти) їй додаткову енергію.

Рисунок 1 – Схема зображення енергетичних рівнів квантової системи

Е_j

 

 

Е_о

 

 

Зміна енергії системи супроводжується квантовим переходом – скачкоподібним переходом квантової системи з одного рівня енергії Ei на другий Ej. При Ei > Ej система віддає енергію, яка дорівнює Ej – Ei, а при Ei < Ej – поглинає її.

Якщо такий квантовий перехід проходить при взаємодії з електромагнітним полем, т.б. супроводжується випромінюванням і поглинанням фотона, то він називається оптичним переходом, а енергія поглиненого фотону визначається правилом частот Бора:

ħω _ij =

Квантові переходи

Квантовий перехід – це перехід з одного квантового стану в інший.

Відповідно загальним принципам квантової механіки не можливо провести спостереження за системою в процесі такого переходу. Тому основна теорія квантових переходів – обчислення ймовірності переходу під дією зовнішніх полів або по внутрішнім причинам. В більшості випадків це розв'язується методом теорії збурень.[1]

Стан електрона в атомі, якій перебуває в зовнішнім електричному полі, або в полі інших мікрочастинок, описується хвильовою функцією Ψ, що задовольняє рівняння Шредингера

(1)

У випадку якщо атоми (або іони) не перебувають у змінних зовнішніх полях, то хвильові функції Y є власними хвильовими функціями Y_n оператора Гамильтона , не залежні від часу і задовольняє рівнянню

Стан квантових часток, який описується функціями Y_n, для яких енергія має певне значення Е _n, називаються стаціонарними станами, тобто стійкими, стабільними.

Стаціонарний стан, якому відповідає мінімальне значення енергії частиці, - основний (незбуджений), а всі інші - збуджені.

Сукупність безлічі значень енергій стаціонарних станів називають енергетичним спектром квантової системи. При переході з одного стану в інше внутрішня енергія змінюється дискретно, на величину рівну різниці енергій енергетичних рівнів

(2)

При переході на більше високий рівень частка поглинає енергію, а при переході на більше низький - віддає. Ці переходи супроводжуються процесами спонтанного й змушеного випромінювання й поглинання.

 

Існують також і віртуальні стани. В віртуальних станах система перебуває дуже короткий час (δt), який визначається співвідношенням невизначеностей: δt δΕ ≈ ћ., де δΕ – невизначеність енергії. Якщо невизначеність часу δt замала, то δΕ велика і тому при переході у віртуальний стан закон збереження енергії начебто не виконується. Для віртуальних станів не виконуються звичайні співвідношення між енергією, імпульсом і масою. Можливість існування таких станів є чисто квантово-механічним ефектом і зумовлено співвідношенням невизначеностей Гейзенберга. Віртуальний перехід сам по собі не має змісту, але використовується як умовний етап до реального переходу.

ħω   Е1 Е2

Нехай фактом збурення є електромагнітне випромінювання у вигляді колективу фотонів. Тоді повна енергія системи складається із електронної енергії (внутрішньої енергії атомів) і енергії електромагнітного поля (енергії фотонів).

 

 

 

В результаті взаємодії з фотоном (в результаті його поглинання) атом перейшов із стану Е₁ в стан Е₂. Умова переходу на рівень 2 - Е₁+ћ =Е₂, при цьому матричний елемент визначає мий електрон-фотонною взаємодією (V ), відмінний від 0.

Ймовірність переходу атому із стану в стан буде відмінною від нуля, якщо частота ω₂₁=( - )/ћ буде присутня в спектрі збурення. Це означає, що перехід має резонансний характер, а квантова система веде себе подібно набору осциляторів з власними частотами, які дорівнюють набору боровських частот ω_mn. Під дією зовнішнього змінного збурення збуджуються тільки ті осцилятори, частоти яких співпадають з частотами, які присутні у зовнішньому полі.

 

 

Безвипромінювальні переходи

 

Крім випромінювальних переходів, пов'язаних з поглинанням і випромінюванням кванта енергії, у системі квантових часток можливі безвипромінювальні переходи, при яких енергія атома передається іншим атомам або навколишньому середовищу (виникають при зіткненні атомів і молекул у газі, як один з одним, так і з електронами або стінками посудини, переходи в твердому тілі при взаємодії з коливаннями кристалічної решітки й т.д.).

У результаті такої взаємодії атом, іон або молекула переходить зі стану n у стан m або навпаки без випромінювання кванта й без його участі (малюнок 5а,б).

 

а) б)

Рис. 5

Ймовірність безвипромінювального переходу з верхнього рівня на нижній прийнято позначати w_nm, з нижнього на верхній w_mn. Ймовірності безвипромінювальних переходів між рівнями n m зв'язані рівністю

.

Середній час життя атома .

Якщо квантова частинка робить перехід зі збудженого стану n, у результаті різних процесів (спонтанних, індукованих, безвипромінювального переходів), що характеризується часом життя t ₁=1/ А_mn, t ₂ =1/ B_mnr (w), t ₃=1/w_mn і ці процеси статистично незалежні, то середній час життя частки в стані n пов'язане із часами життя для інших процесів співвідношенням

.

ЗВ'ЯЗОК МІЖ КОЕФІЦІЄНТАМИ ЕЙНШТЕЙНА

 

Розглянемо сукупність атомів (молекул), які знаходяться в термодинамічній рівновазі зі стінками оточуючого об’єму при температурі Т.

Нехай на рівні Е_m знаходиться N_m частинок, а на рівні Е_n - N_n частинок.

Тоді число поглинутих квантів за інтервалом dt буде

 

.

Число квантів світла, які будуть випромінені в результаті спонтанних переходів:

 

,

а кількість квантів світла, які випущені в результаті вимушеного випромінювання

.

При термодинамічній рівновазі ансамбль квантових часток не втрачає і не здобуває енергію.

Отже, умова термодинамічної рівноваги означає, що загальна кількість квантів світла, які випромінені системою, дорівнює числу поглинутих квантів світла:

 

або (1)

 

Загальне число переходів визначається числом часток на рівнях енергії.

При тепловій рівновазі розподіл часток по рівнях підкоряється формулі Больцмана

, (2)

де g₁ і g₂ – статистична вага рівнів 1 і 2 (для невироджених рівнів gn = gm = 1);

k - постійна Больцмана 1,38*10^-23 Дж/K.

Частки розглянутого ансамблю перебувають у поле їхнього власного випромінювання, щільність енергії якого в одиничному спектральному інтервалі становить r (w).

Це поле индуцирует переходи з верхнього стану в нижнє й назад. Імовірності цих переходів пропорційні r (w)

. (3)

Комбінуючи (2) і (3) з умови термодинамічної рівноваги (сумарне число квантів, що випускаються системою дорівнює числу квантів світла, що поглинаються,)

. (4)

Можна знайти співвідношення між коефіцієнтами A_nm, B_nm, B_mn.

У рівнянні (4) прирівняний друг до друга повні числа переходів знизу нагору (ліворуч) і зверху вниз (праворуч).

Це рівняння дозволяє чітко знайти щільність енергії поля випромінювання розглянутої рівноважної квантової системи:

. (5)

Звідси випливають важливі наслідки!

Ейнштейн постулировал, що випромінювання, що випускається й поглинає при рівноважних переходах між енергетичними станами розглянутої рівноважної квантової системами, описується формулою Планка для рівноважного випромінювання абсолютно чорного тіла

. (6)

 

Іноді формулу Планка записують не для (((), а для (((), при цьому ((()=((()/2(.

Порівнюючи ці дві формули з урахуванням умови Бору (Е_2-І1 = ) Одержуємо:

g ₁ B ₁₂= g ₂ B _21. (7)

Це співвідношення говорить про равновероятности індуковані випромінювання й поглинання (у перерахуванні на одне невырожденное стан).

А ймовірність спонтанного випромінювання пропорційна коефіцієнту Ейнштейна для індукованого випромінювання:

. (8)

Імовірність спонтанного переходу в одиницю часу пов'язана з імовірністю змушеного переходу між станами співвідношенням

, w=2πν, ν=с/λ с-швидкість світла 3*10⁸ м*с^-1 (9)

а ймовірності індукованих переходів з випромінюванням (n®m) і поглинанням (m®n) енергії рівні між собою, тобто B _nm = B _mn.

Коефіцієнт є число типів коливань в одиничному об'ємі й в одиничному інтервалі частот для вільного простору.

Таким чином, установлений зв'язок між коефіцієнтами Ейнштейна, але не саме їхнє значення. Це буде зроблено пізніше.

Можна тепер записати, що повна ймовірність переходу вниз для збудженої частки з випущенням квантів випромінювання дорівнює

. (10)

Істотно, що пропорційно В₂₁, і, отже, там, де заборонені індуковані переходи, не може бути й спонтанного випромінювання й навпаки, де немає спонтанного випромінювання, там не може бути індукованого випромінювання.

Рівноважне випромінювання всього ансамблю часток стосовно кожної із часток виступає як зовнішнє електромагнітне поле, що стимулює поглинання або випромінювання часткою енергії залежно від її стану.

Тому співвідношення (8-10), отримані при розгляді умов рівноваги, справедливі й для випадку квантової системи, що перебуває в поле зовнішнього випромінювання.

Ще одне зауваження. З (9) треба, що ймовірність спонтанних переходів сильно залежить від частоти - як куб частоти.

Звідси треба, що в області СВЧ, де працюють парамагнітні мазери, роль спонтанних переходів невелика й, як наслідок, - дуже низький шум таких підсилювачів.

В оптичному діапазоні частот роль спонтанних переходів різко зростає, вони є джерелом шумів, причиною дуже малих часів життя збуджених станів, що утрудняє, а іноді й унеможливлює роботу підсилювачів і генераторів.

У всякому разі, в оптичному й белее короткохвильових діапазонах довжин хвиль зі спонтанними переходами доводиться вважатися істотно. Отже з ростом частоти ймовірність спонтанного переходу різко зростає.

 

 

В загальному випадку, якщо спустошення збудженого стану m проходить за рахунок різних незалежних процесів, які характеризуються сталими часу τ_1, τ_2,…... τ_∞ або ймовірностей середній час життя атома у збудженому стані m:

Ймовірність переходу пов’язана з відповідним матричним елементом і для оптичних переходів цей зв'язок найбільш виразно проявляється при порівнянні класичного і квантового осциляторів. При цьому виконується дипольне наближення.

 

ДИПОЛЬНЕ ВИПРОМІНЮВАННЯ

 

З погляду випромінювання і поглинання електромагнітної енергії атом можна розглядати як мультіпольну систему. За визначенням, мультиполь є системою парних, різнойменних зарядів, що володіє певною симетрією.

Система двох зарядів - це диполь, чотири - квадруполь, восьми - октуполь і т.д. Кожен мультиполь характеризується своїм моментом, порядок n якого пов'язаний з повним числом зарядів N співвідношенням N = 2ⁿ.

Довільний розподіл зарядів в загальному випадку можна представити у вигляді ряду, члени якого складають моменти різних порядків. Таке уявлення виявляється зручним для опису випромінюючих властивостей атомів і молекул.

У оптичному діапазоні довжина електромагнітної хвилі багато більше розмірів атома і ряд швидко сходитиметься із збільшенням порядку мультиполя. Як показують розрахунки, для видимої області (λ = 0,5∙10^{-6 м) квадрупольне випромінювання слабше дипольного ~ в 106} разів.

З погляду класичних уявлень простим джерелом електромагнітного випромінювання є точковий заряд, рухомий з прискоренням. Енергія Е, випромінювана зарядом е в одиницю часу, пропорційна квадрату прискорення а:

. (1)

Якщо заряд виконує гармонічні коливання з частотою ω та амплітудою r_m т.б.

r(t) = r_m cos ωt, (2)

то з (1) отримуємо миттєву потужність випромінювання:

Р= - . (3)

 

Середня по часу за період коливань потужність випромінювання:

Ця формула справедлива і для випромінювання, створеного системою з багатьох зарядів. Простою системою є електричний диполь — сукупність двох однакових по величині і протилежних по знаку за рядів, що знаходяться на відстані L один від одного.

Момент електричного диполя D, або дипольний момент чисельно дорівнює: D=eL і направлений від негативного полюсу до позитивного (рис. 1).

Якщо дипольний момент D гармонійно змінюється з частотою ω, то такий диполь називають осцилюючим диполем або осцилятором.

 

Рис.1

Середня потужність випромінювання такого осцилятора виходить з виразу (4):

де D_o — амплітуда зміни дипольного моменту.

 

 

Багато оптичних властивостей випромінюючих систем можна отримати, моделюючи такі системи сукупністю гармонійних осциляторів, власні частоти яких співпадають з частотами даних переходів.

Розглянемо електрон, рухомий по еліптичній орбіті навколо позитивно зарядженого ядра.

Рис. 2

 

Як видно з рис. 2, такий рух можна замінити гармонійними коливаннями двох диполів (лінійних осциляторів), власні частоти яких рівні кутовій швидкості обертання електрона по орбіті, а фази здвинуті на кут π/2.

Дипольні моменти таких випромінювачів рівні:

D_x = - er_0x cos ω₀ t, D_y = - er_0y sin ω₀ t.

З погляду класичної електродинаміки осцилюючий диполь випромінює енергію безперервно.

Амплітуда коливань для класичного осцилятора може приймати будь-які значення. В початковий момент часу t=0 осцилятор володіє запасеною енергією E₀, чому відповідає амплітуда коливань r₀, причому

(6)

З часом такий класичний осцилятор передає енергію полю згідно із законом (3). Цьому відповідає зменшення амплітуди коливань r_m.

При t > 0 (7)

Порівнюючі цей вираз з (5), отримуємо

< Р >= - . (8)

Вводячи позначення

(9)

отримуємо рівняння для енергії випромінювача

.

Звідси

(10) !Е₀ із (6)!

Зміна амплітуди коливань класичного осцилятора в часі:

графік цієї залежності

 

 

З (10) знаходимо, що середня за період потужність випромінювання електричного диполя змінюється в часі по експоненціальному закону:

де (13)

Миттєва потужність випромінювання диполя пропорційна r²(t). Очевидно, така система випромінює немонохроматичну хвилю (див. рис. 2).

Для визначення спектру випромінювання г(t) слід представити у вигляді інтеграла Фурье, тобто функцію (12), зображену на мал. 2., представити у вигляді суми (інтеграла) гармонійних складових.

(14)

де

(15)

Залежність (12) можна записати в експоненціальній формі:

І підставивши в цей вираз в (15), отримуємо

Тоді

|r (ω) |² = r* (ω) r (ω) = , (16)

де ω₀ – власна (резонансна) частота осцилятора,

r_o - початкова амплітуда коливань при t=0.

 

Залежність

(17)

де А - множник нормування, називається кривою Лоренца, А=γ/2π

Вона визначає розподіл енергії після частотному спектру.

Функція Лоренца представлена на рис. 3.

Вона має максимум при ω = ω₀, який з умови нормування рівний g((ω₀)=2/πγ. На відстанях ω₀- ω=± γ/2 спектральна щільність убуває в два рази.

Величина 2 (ω₀- ω₀) = Δω₀ =γ, називається напівшириною лінії, представляє собою природню ширину спектральної Рис.3 лінії.

Так як γ = 1/τ, де τ – час релаксації,то Δω τ ≈ 1.

Розглянемо тепер квантовий осцилятор. Його до енергія на відміну від класичного осцилятора може приймати тільки певні дискретні значення. Тут не може бути плавної зміни амплітуди коливань, а присутній стрибкоподібний перехід з одного дозволеного стану в інший.

Частота випромінювання квантового осцилятора визначається через енергію переходу:

ω_mn = (E_m-E_n)/ħ

Такому переходу відповідає виникнення осцилюючого електричного моменту атома.

Середнє значення електричного дипольного моменту

(18)

а його проекції:

r - радіус-вектор, проведений з початку координат, в якому поміщено ядро атома.

Під час переходу атома із стану т в стан п розподіл заряду визначається хвильовими функціями обох станів:

Об'ємна щільність заряду при переході з одного квантового стану в інше осцилює з характерною частотою ω_mn = (E_m-E_n)/ħ.

Такий розподіл заряду можна характеризувати інтегральним дипольним моментом

Для стаціонарного стану дипольний момент постійний в часі. При переході з одного стану в інше виникають осциляції дипольного моменту

(19)

Таким чином, квантовий перехід із стану m в стан n можна порівняти з появою осцилюючого диполя з власною частотою коливання ω_mn.

Амплітуда дипольного моменту

(20)

Ця величина кількісно характеризує вірогідність переходу і називається дипольним матричним елементом переходу т→п.

Сукупність квантових переходів в квантовій системі характеризується двомірною сукупністю чисел Dmn.

Цю сукупність прийнято записувати у вигляді нескінченної матриці

D11, D12,….…D1n…….

(21)   D21, D22,….…D2n…….

………………………….

Dn1, Dn2,….…Dnn…….

…………………………

Числа, складові матриці, називаються матричнимі елементами.

Потужність випромінюючу при спонтанному переході m→n можна обчислити за допомогою отриманого для класичного осцилятора виразу

,

якщо замість амплітуди класичного дипольного моменту D₀ підставити подвоєний матричний елемент D (множник 2 виникає пій переході від показової форми запису до тригонометричної).

Вважаючи, що в одиниці об'єму є N_m диполів отримуємо

(22)

Величина N_m - населеність верхнього енергетичного рівня. Враховуючи зв'язок між випромінюваною потужністю і вірогідністю спонтанного переходу

маємо

Цей вираз відповідає випромінюванню осцилятора з дипольним моментом

D_mn = 2er_mncosω_mnt

де

.

Тоді коефіцієнт Ейнштейна при випромінюванні

(23)

Співвідношення (22) і (23) дозволяють розрахувати коефіцієнти Ейнштейна, якщо відомі характеристики (хвильові функції і енергії) станів, між якими відбувається оптичний перехід.

Таким чином, коефіцієнти Ейнштейна, вірогідність спонтанних і вимушених переходів визначається через відповідні дипольні матричні елементи, які є недіагональними елементами матриці (21).

Деякі з цих матричних елементів можуть дорівнювати нулю. Це означає, що такий перехід не може відбуватися в дипольному наближенні, тому його називають забороненим. Переходи, для яких D_mn ≠ 0 називаються дозволеними.

Приналежність переходу до заборонених або дозволених визначається правилами відбору.

Для атомних рівнів, що характеризуються квантовими числами n, l і m_l, правила відбору для дипольних переходів наступні.

1. Зміна головного квантового числа може бути будь-яким:

Δn = 0, 1, 2, ………….

2. Орбітальне квантове число l може змінюватися тільки на ±1:

Δ l = ± 1.

Це правило по суті відображає закон збереження моменту кількості руху для системи електрон+фотон, оскільки момент кількості руху фотона рівний ħ.

3. Магнітне квантове число m_l може змінюватися тільки на 0 або ±1:

Δ m_l=0; ±1.

Аналогічні правила існують і для квантових чисел L (сумарне орбітальне квантове число), S (сумарне спінове число) і J (повний момент системи , квантове сило змінюються від L+S до L-S через 1).

Перехід буде дозволений, якщо виконуються всі правила відбору. Якщо переходи дозволені в дипольному наближенні, то для них А_mn має порядок величини, 10⁸ с^-1. Відповідно час життя системи в такому стані ~ 10⁸ с^-1, якщо релаксація із збудженого стану визначається тільки спонтанними випромінювальними переходами, або < 10⁸ с^-1, якщо є інші (наприклад, безвипромінюючі) процеси спустошення рівня. Такі рівні з малими часом, життя називаються лабільними.

Якщо переходи заборонені в дипольному наближенні, тобто D_mn=0, це не означає, що вони взагалі не можуть відбутися. Окрім електричного дипольного моменту і пов'язаного з ним дипольного випромінювання атому можна приписати електричний квадрупольний (октупольний) або магнітний дипольний (квадрупольний) момент.

Матричні елементи і відповідно вірогідності електричного квадрупольного і магнітного дипольного переходів приблизно в 10⁶ разів менше, ніж для електричного дипольного наближення (якщо і ті та інші дозволені, правилами відбору). Вірогідність октупольних переходів, тобто переходів із зміною моменту третього порядку, ще менше. Збуджений енергетичний стан системи, для якого всі переходи в нижчі стани заборонені при електричних дипольних взаємодіях, називається метастабільним рівнем.

Час життя атомів в цьому стані близько 10^-3 с і більше.

Для повного визначення стаціонарного стану електрона в атомі необхідно стільки квантових чисел, скільки має електрон ступенів вільності, т.б. необхідно чотири квантових числа.

Для атомів з одним валентним електроном стан електрона однозначно визначає і стан самого атома. У багатоелектроних атомах і іонах стан описується сумарними квантовими числами, які залежать від типу взаємодії між електронами.

У таблиці наведені квантові числа електрона й атома, їхнє значення й фізичний зміст.

Квантове число	Дозволені значення	Фізичний зміст
n	0,1,2,3 …...,n	Головне квантове число, енергія.
	0,1,2,3....,n-1	Орбітальний момент кількості руху електрона.
ml	l,l-1,…...,-l	z -компонента орбітального моменту кількості руху.
	1/2, 1, 3/2	Власний момент кількості руху електрона – спин.
ms	S, S-1, … -(+1/2, -1/2) для окремого електрона	z -компонента спінового моменту кількості руху.
	l+S, l+S-1,…,/l-S/... (l±1/2 для електрона)	Повний момент кількості руху для електрона.
mj	j,j-1, …,-j	z -компонента повного моменту кількості руху електрона.
	L+S, L+S-1, …, /L-S/ (L=åml , S=åSi)	Повний електронний момент кількості руху електрона.
	1/2, 1, 3/2…	Спіновий момент кількості руху ядра.
	I+J, I+J-1,…,/I-J/	Повний момент кількості руху.
m	F, F-1, …, -F	Проекція повного моменту кількості руху на виділений напрямок.

 

Такі класичні класифікації атомних рівнів заснована на поданні того, що орбітальні моменти електронів складаються в повний орбітальний момент L атома, а їхні спінові моменти - у повний спин S. Відповідний тип взаємодії при якому дана класифікація виявляється справедливої, називають нормальною або LS -зв'язком. Енергія атома визначається в основному його сумарним орбітальним і спіновим моментами.

Енергетичний стан атома із заданими квантовими числами L і S називають спектральним термом. Кожний терм вырожден відповідно різними можливими напрямками векторів L і S у просторі.

Кратність виродження дорівнює .

 

 

Природне розширення.

Це розширення пов'язане з кінцівкою часу перебування атомів і молекул у збудженому стані, що, приводить до «розмиття» енергетичного рівня на величину порядку δЕ ≈ ħ/τ. Форма спектральної лінії, описується функцією Лоренца або, іншими словами» спектральна лінія має лоренцеву форму:

(1)

де Δω = γ = А_mn- ширина лінії на рівні 0,5 від максимума,

ω₀ - резонансна частота.

Кінцівка часу життя частинки на рівні Е_m формально можна врахувати, ввівши загасання в хвильові функції незбуреного стану:

φ _m (r,t)= Ψ _m (r) (2)

Множник е^-t/2τ враховує кінцівка часу життя частинки на рівні Еm.

Розкладання по монохроматичних хвилях (розкладання Фур’є) дає спектр вигляду (1), тобто функцію Лоренца.

Чим більше вірогідність спонтанного випускання Amn тим більше природна ширина спектральної лінії. Типове значення природної ширини лінії для дозволених в дипольному наближенні переходів у видимій області спектру Δω = А_mn ≈ 10 с^-1, тобто Δυ близько 20 МГц при υ₀ ≈ 5-10¹⁴ Гц.

Для переходів з метастабільних рівнів природна ширина лінії істотно менше і за тих же умов має порядок сотень герц. Оскільки коефіцієнт Ейнштейна Аmn пропорційний кубу частоти, то в радіодіапазоні природна ширина лінії істотно менша, ніж в оптичному діапазоні.

Т.я. ω = 2πс/λ, то ширина спектральної лінії Δλ= .

Допплерівське розширення.

Ефект Допплера є зміна частоти (довжини хвилі), яка спостерігається при русі джерела хвиль відносно приймача. Цей ефект витікає з теорії відносності і характерний для різних хвиль - для звукових, електромагнітних і т.д.

Якщо, джерело випромінює електромагнітні хвилі з власною частотою ω₀, то для спостерігача, відносно якого він рухається із швидкістю υ, сприймана частота випромінювання

 

(3)

При << с (с - швидкість світла)

(4)

Частота випромінювання збільшується, якщо джерело наближається до спостерігача, і зменшується, якщо він віддаляється від нього. Хаотичність теплового руху атомів і молекул в газі призводить до того, що замість однієї резонансної лінії з частотою ω₀ приймач сприймає сукупність щільно розташованих ліній, огинаюча яких дає спостережуваний контур спектральної лінії.

Ширина цього спектру пропорційна найбільш вірогідній швидкості частинок в газі (тобто залежить від температури) і власній частоті переходу ω₀.

Згідно розподілу Максвела за швидкостями:

(5)

де υ₀= найбільш вірогідна швидкість руху частинок в газі.

Тоді форма спектральної лінії, обумовлену допплерівськім розширенням:

(6)

де - ширина допплерівської лінії на рівні 0,5 від максимального значення при ω = ω₀.

Функція (6) є функція Гауса, тому вважають, що лінія, розширена за рахунок ефекту Допплера, має гауссову форму.

В умовах газового розряду для легких атомів величина ≈ 10³ м/с, що для видимої області спектру при υ₀ ≈ 5∙10¹⁴ Гц дає Δυ_D = Δω_D/2π ≈ 3 ГГц.

3. Розширення унаслідок зіткнень.

Зіткнення атомів з іншими атомами, іонами, вільними електронами або стінками посуду в газі, а також взаємодія атомів з гратками в твердих тілах (яке можна розглядати як зіткнення з фононом) приводять до збільшення швидкості обміну енергією між частинками і відповідно до зменшення часу життя атома у збудженому стані. Форма спектральної лінії, розширеною за рахунок зіткнень, описується функцією Лоренца, як і при природному розширенні, де Δω = 1/τ_р, де τ_р - час релаксації, який визначається процесами зіткнень.

(7)