Способи побудови нелінійних моделей.

Прогнозування за нелінійними моделями.

За формулами, приведеними в попередній лекції, знаходимо межі інтервальних прогнозів для лінійної регресії, а потім шляхом зворотних перетворень (потенціювання) меж довірчих інтервалів прогнозу для лінійної регресії знаходять межі надійних інтервалів показникової регресії:

Тема 6. Криві зростання, їх властивості та методи побудови

1. Експоненційна функція.

2. Степенева функція.

3. Зворотні перетворення.

4. Квадратичні функції.

5. Логістична крива.

6. Крива Філіпа.

7. Крива Лафера.

 

Поняття про криві зростання

Криві зростання описують різні тенденції економічних процесів, наприклад, життєвий цикл товару, процес нагромадження капіталу, маркетингові зусилля фірми тощо. Економічна практика вже накопичила певний досвід і певні типи кривих, які найчастіше використовуються в макро- та мікроекономічних дослідженнях. До таких кривих відносяться:

 

Експоненційна функція
Степенева(мультиплікативна)
Зворотна
Квадратична
Модифікована експонента
Крива Гомперця
Логістична крива

 

У загальному випадку однофакторну економетричну модель можна подати у вигляді y = f (x) + u, де f (x) - одна з функцій зростання, а u - випадкова величина.

Як і у випадку з простою лінійною регресією, основне завдання полягає у розрахунку невідомих параметрів кривих зростання і подальшому аналізі обраної моделі. Оцінку невідомих параметрів проводять по-різному: експоненційні функції шляхом логарифмічних перетворень зводять до лінійної регресії, квадратичні функції зводять до багатофакторної регресії, для інших використовують ітеративні методи, метод трьох точок, метод Тейла тощо. Для тих функцій, які зводять до лінійної регресії, збігається вся методологія дослідження як і у випадку простої лінійної регресії.

Експоненційна функція.

Експоненційна функція може набирати різних чисельних еквівалентних форм:

, основна форма >0; (1)

, замінюємо на , де b₁ = ; (2)

замінюємо на 1- r, де ; (3)

замінюємо на та на , де і ; (4)

, замінюємо на і на 10 ^b, де , . (5)

Усі ці форми використовуються на практиці для опису різних економічних процесів. Наприклад, форму (3) найчастіше використовують у фінансах. В цьому разі r інтерпретується як норма річного відсотка. Розглянемо декілька прикладів застосування експоненційної функції у бізнесі та фінансах.

Приклад 1. Припустимо, що капітал С₀ знаходиться у банку протягом t років із річним відсотком r. Він змінюється відповідно до функції (3), тобто через t років капітал дорівнюватиме:

З експоненційної форми легко отримати так зване правило 70, поширене в фінансових розрахунках. Правило 70 дає значення часу t, через яке змінна подвоїть своє значення відносно часу 0. Припустимо, що у початковий період часу ми маємо капітал С₀, а в період часу t – капітал С _t. Тоді подвоєння капіталу можна записати, переходячи від форми (3) до форми (2):

Отже, капітал подвоїться через років.

Приклад 2. Приведення витрат до поточного часу.

Порівнюючи різні інвестиційні проекти, ми повинні порівняти в першу чергу кошти, які на них витрачаються, та майбутні прибутки, які вони приноситимуть. Найпростіше це зробити, оцінюючи майбутні витрати та прибутки у вартості поточного року. Для ілюстрації розглянемо приклад. Заощаджуючи в банку А гривень у поточному році при ставці процента r, через t років ми отримаємо:

Відповідно В гривень, отриманих у t році при ставці відсотка r, у поточному році коштуватимуть:

Величина називається приведеними витратами В гривень через t років до поточного часу (при нормі відсотка r).

Дискретною версією виразу є відома формула яку ми розглядали у першому прикладі, а зворотною до неї відповідно:

З дискретною версією легше працювати, коли t – є цілим числом. Якщо t набуває неперервних значень, перевагу слід віддати виразам або

Приведені витрати можуть також визначатись для потоку платежів. При нормі відсотка r приведені витрати платежу В₁, який ми мали б через t₁ років, платежу В₂ через t₂ років,..., платежу В_n через t_n років мають вигляд:

Приклад 3. Довічна рента.

Довічна рента – це послідовність однакових платежів у рівновіддалені інтервали для певного проміжку часу. Приведені витрати ренти А, яка виплачується наприкінці кожного з N років при постійній нормі відсотка r, що нараховується неперервно, дорівнює:

де PV – приведені витрати.

Враховуючи, що вираз його легко переписати у вигляді:

Якщо у виразі припустити, що тоді приведені витрати довічної ренти можна записати у вигляді:

За припущення, що ми будемо отримувати ренту довічно, тобто нескінченну кількість років , цей вираз набуде вигляду:

за припущення, що

Якщо ж відсоток нараховується щорічно, приведену довічну ренту до поточного часу краще подавати у відомому вигляді:

Якщо ми скористаємось формулою і припустимо, що то отримаємо:

Якщо , то останній вираз остаточно набуде вигляду:

Взагалі експоненційні функції використовуються для опису швидко зростаючих або спадаючих економічних процесів. При цьому, якщо >0 (b₁ >0) – функція зростає до нескінченості, якщо <0 (b₁ <0) – функція спадає до 0.

Параметр b можна інтерпретувати як коефіцієнт зростання у часі.

Шляхом логарифмічного перетворення можна легко звести експоненційну криву у будь-якій формі до лінійної функції, що дає змогу розрахувати параметри МНК та використовувати подальший аналіз моделі, як і в разі простої лінійної регресії. Отже, маємо:

 

Степенева функція.

Степенева функція є одною з найпоширеніших у практиці кривих зростання і описує дуже широкий спектр економічних процесів. Вона має такий вигляд:

Розглядатимемо випадок, коли , що є типовим для економічних процесів. Якщо значення параметра - не ціле число, то розглядають випадок, коли . При цьому залежно від знака параметру степенева функція описуватиме різні економічні процеси: прискорення зростання, уповільнення зростання та спад. Якщо =1, то степенева функція перетвориться на лінійну (рис.).

 

 

 

 

Рис. Вигляд степеневої функції, коли β – не ціле число, х ≥ 0.

 

 

Рис. Вигляд степеневої функції, коли β – ціле число.

 

Якщо параметр степеневої функції – ціле число, то залежно від того, парне чи непарне його значення, графік функції має певний вигляд. Якщо - парне число, тобто його можна подати у вигляді =2 k , тоді , а графік функції симетричний відносно осі ординат (рис. а). Якщо - непарне число, тобто його можна подати у вигляді =2 k -1 , тоді , а графік функції симетричний відносно початку координат (рис. б).

При побудові моделі основне питання полягає в тому, щоб розрахувати невідомі параметри мультиплікативної кривої. Степеневу криву, так само як і експоненційну, шляхом логарифмічного перетворення можна легко звести до лінійної функції, що дає змогу розраховувати параметри МНК.

Зведення до лінійної:

,

Степенева функція використовується для опису різних економічних процесів: виробничої функції Кобба-Дугласа, кривих байдужості, а також попиту на товари різних категорій, як так звана крива Торнквіста та ін.

Зворотні перетворення.

Узагальнена обернена модель має вигляд:

.

Вона нелінійна за х, але лінійна за параметрами , і тому є лінійною регресійною моделлю. Позначивши

, отримаємо .

Вибіркова обернена модель: , де b₀, b₁ -невідомі параметри, які необхідно знайти, u – помилка.

Особливість моделі: коли х прямує до нескінченності, величина прямує до граничного значення.

Вигляд даної моделі значною мірою залежить від знака параметрів b₀ та b₁ (рис.). Нахил моделі: . Він є додатнім, коли b₁ <0, і відємним b₁ >0.

 

 

 

Рис. Обернена функція.

 

 

Рис. Крива Енгеля.

 

Інший, не менш важливий випадок використання зворотної кривої (рис.) – крива витрат Енгеля, яка пов’язує споживчі витрати на товари із загальними витратами або доходом.

Критичний рівень доходу, нижчий від якого товар не буде куплено, «стелю» насичення, яку не можна збільшити (на рис. дорівнює ), як би не зростав доход (на рис. це значення b₀).

Квадратичні функції.

У загальному випадку квадратична функція має вигляд: .

Якщо фактор х інтегрувати як змінну часу t, то . Виходячи із значень b₀, b₁, b₂ крива може відображати еволюцію – дуже різну на інтервалах часу .

Якщо b₂ > 0, b₁ > 0 квадратична функція описує поліпшене зростання. Вершина розташована перед часом 0 (рис. а).

Якщо b₂ > 0, b₁ < -2 tb₂ Квадратична функція описує уповільнений спад (рис. б).

Якщо b₂ > 0, -2 tb₂ < b₁ < 0 маємо класичний випадок параболи на мінімум (рис. в).

Якщо b₂ < 0, b₁ < 0 квадратична функція описує прискорений спад (рис. г).

Якщо b₂ < 0, b₁ > -2 tb₂ квадратична функція описує уповільнене зростання (рис. д).

Якщо b₂ < 0, 0 < b₁ < -2 tb₂ маємо класичний випадок параболи на максимум (рис. е).

 

 

Рис. Квадратична функція.

 

Шляхом елементарної заміни змінних, а саме: квадратичну функцію зводять до багатофакторної регресії, тому невідомі параметри розраховуються як для випадку багатофакторної регресії.

 

Логістична крива.

Ця функція є зворотною до модифікованої експоненти:

.

Логістична крива є типовою S – подібною кривою, у якої точка перетину припадає на середину стелі (рис.).

 

 

 

Рис. Логістична крива.

 

Властивості:

1. Асимптоти функції дорівнюють: ; .

2. Перша похідна: коли функція зростає.

3. Друга похідна: .

Знак другої похідної збігається зі знаком виразу: . Логістична крива має точку перетину, коли відповідно . У цій точці , тобто ордината точки перетину є серединою «стелі».

Таким чином, логістична крива – S - подібна крива з «підлогою» 0 на початку і «стелею», що дорівнює .