Оцінка щільності та перевірка істотності кореляційного зв’язку

Поряд з визначенням характеру зв’язку важливе значення має оцінка щільності зв’язку, тобто оцінка узгодженості варіації взаємозв’язаних показників. Якщо вплив факторного показника на результативний значний, то це виявиться в закономірній зміні значень результативного показника зі зміною значень факторного, тобто фактор своїм впливом формує варіацію . За відсутності зв’язку варіація не залежить від варіації .

Для оцінювання щільності зв’язку використовують низку коефіцієнтів з такими спільними властивостями:

1. За відсутності будь-якого зв’язку значення коефіцієнта наближається до нуля; при функціональному зв’язку – до одиниці.

2. За наявності кореляційного зв’язку коефіцієнт виражається дробом, який за абсолютною величиною тим більший, чим щільніший зв’язок.

Серед мір щільності зв’язку найпоширенішим є коефіцієнт кореляції Пірсона. Сфера його використання обмежується лінійною залежністю. Обчислення лінійного коефіцієнта кореляції ґрунтується на аналізі відхилень значень взаємозв’язаних ознак та від середніх.

За наявності прямого кореляційного зв’язку будь-якому значенню > відповідає значення > , а < відповідає < . Узгодженість варіації х та у схематично покажемо на схемі:

 

	у

 

Рис. Узгодженість варіації взаємозв’язаних ознак.

 

Точка, координатами якої є середні і , поділяє кореляційне поле на чотири квадранти, в яких по-різному поєднуються знаки відхилень від середніх:

 

Квадранти
I	+	+
II	-	+
III	-	-
IV	+	-

 

Для точок, розміщених у I та III квадрантах, добуток додатний, а для точок з квадрантів II та IV – від’ємний. Чим щільніший зв’язок між ознаками х та у, тим більшого значення набуває алгебраїчна сума добутків відхилень . Гранична сума цих добутків дорівнює .

Коефіцієнт кореляції визначається відношенням зазначених сум:

В разі функціонального зв’язку фактична сума відхилень дорівнює граничній, а коефіцієнт кореляції При кореляційному зв’язку абсолютне його значення буде тим більшим, чим щільніший зв’язок. Якщо значення лінійного коефіцієнта кореляції близьке до 1 і >0, то можна зробити висновок про досить тісний прямий зв’язок між та . І навпаки. Якщо <0, то зв’язок між ознаками зворотній.

Коефіцієнт детермінації

Вимірювання щільності нелінійного зв’язку ґрунтується на співвідношенні варіацій теоретичних та емпіричних значень результативної ознаки. Відхилення індивідуального значення ознаки від середньої можна розкласти на дві складові. У регресійному аналізі це відхилення від лінії регресії та відхилення лінії регресії від середньої .

Відхилення є наслідком дії фактора , відхилення – наслідком дії інших факторів. Взаємозв’язок факторної та залишкової варіації описується правилом декомпозиції варіацій: загальну дисперсію результативної ознаки можна розкласти на дві частини - дисперсію, що пояснює регресію, та дисперсію помилок:

де – загальна дисперсія; – факторна дисперсія; – залишкова дисперсія, або дисперсія помилок.

Очевидно, значення факторної дисперсії буде тим більшим, чим сильніший вплив фактора та .

Поділивши обидві частини на загальну дисперсію, отримаємо:

Перша частина цього виразу являє собою частину дисперсії, яку не можна пояснити через регресійний зв’язок, друга - частину дисперсії, яку можна пояснити, виходячи з регресії. Вона називається коефіцієнтом детермінації і використовується як критерій адекватності моделі, бо є мірою пояснювальної сили незалежної змінної:

Для лінійного зв’язку: .

Якщо значення коефіцієнта детермінації близьке до одиниці, то можна вважати, що побудована модель адекватна (). Варіація на залежить від варіації , і на від варіації інших факторів, які не враховуються в моделі.