Властивості оцінок параметрів, їх характеристика.

Оцінки параметрів В є вибірковими характеристиками і повинні
мати такі властивості: незміщеності; ефективності; обґрунтованості; інваріантності.

Означення. Вибіркова оцінка параметра В називається незміщеною, якщо вона задовольняє рівність

Незміщеність - це мінімальна вимога, яка ставиться до оцінок па­раметрів В. Якщо оцінка незміщена, то при багаторазовому повторен­ні випадкової вибірки попри те, що для окремих вибірок, можливо, бу­ли помилки оцінки, середнє значення цих помилок дорівнює нулю.

Різниця між математичним сподіванням оцінки і значенням оці­неного параметра називається зміщенням оцінки.

Не можна плутати помилку оцінки з її зміщенням. По­милка дорівнює і є випадковою величиною, а змі­щення - величина стала.

Дуже важливою властивістю оцінки є її обґрунтованість.

Означення. Вибіркова оцінка параметрів В називається обґрунтованою, якщо при довільному ε > 0 справджується співвід­ношення

Іншими словами, оцінка обґрунтована, коли вона задовольняє за­кон великих чисел. Обґрунтованість помилки означає, що чим біль­ші будуються вибірки, тим більша ймовірність того, що помилка оцінки не перевищуватиме достатньо малої величини ε.

Для обґрунтованості оцінок, здобутих на основі 1МНК за умови, що Х детермінована, має виконуватися умова: де Q - додатньо визначена матриця.

Третя властивість оцінок В - ефективність - пов’язана з вели­чиною дисперсії оцінок.

Тут доречно сформулювати важливу теорему Гаусса - Маркова, що стосується ефективності оцінки 1МНК.

Теорема Гаусса — Маркова. Функція оцінювання за методом 1МНК покомпонентно мінімізує дисперсію всіх лінійних незміщених функцій вектора оцінок В: для де - дисперсія оцінок В, визначених згідно з 1МНК, а - дисперсія оцінок В, визначених іншими методами.

Отже, функція оцінювання 1МНК В у класичній лінійній моделі є найкращою (мінімально дисперсійною) лінійною незміщеною функцією оцінювання. (Цю властивість називають BLUE).

Означення. Вибіркова оцінка параметрів В називається ефективною, коли дисперсія цієї оцінки є найменшою в класі незміщених оцінок.

Нехай ефективна оцінка параметрів В, а В ^/ - деяка інша оцінка цих параметрів. Тоді

тобто це відношення називається ефективністю оцінки. Очевидно, що 0 < k ≤1; чим ближче k до одиниці, тим ефективнішою є оцінка. Цікаво, що відношення може бути функцією сукупності спостере­жень n, причому зі збільшенням п може швидко змінюватися.

Означення. Незміщена оцінка , дисперсія якої при п задовольняє умову для всіх В ^/, називається асимпто тично ефективною оцінкою.

Ще одна важливість оцінок - їх інваріантність.

Означення. Оцінка параметрів В називається інваріант­ною, якщо для довільно заданої функції f оцінка параметрів функції f (B) подається у вигляді f ().

Іншими словами, інваріантність оцінки базується на тому, що в разі перетворення параметрів B за допомогою деякої функції f таке саме перетворення, виконане щодо , дає оцінку f () нового параметра.

Інваріантність оцінок має велике практичне значення. Наприк­лад, якщо відома оцінка дисперсії генеральної сукупності й вона ін­варіантна, то оцінку середньоквадратичного відхилення можна діс­тати, добувши квадратний корінь із оцінки дисперсії. Коефіцієнт кореляції R є інваріантною оцінкою до коефіцієнта детермінації.

Тема 4. Побудова й аналіз однофакторної лінійної моделі

1. Коректність побудови економетричної моделі та перевірка значимості оцінок параметрів і моделі в цілому.

2. Стандартні похибки та надійність прогнозу.

3. Довірчі інтервали регресії.

4. Декілька простих методів обчислення невідомих параметрів лінійних моделей з двома змінними.