Переменные рабочего пространства.

Модуль 1 Векторная алгебра

Арифметические вычисления.

Упражение 1

Постановка задачи

Знакомство с MATLAB. Изучение команд

Упражнение 1.1

>> 1+2

ans =

>> ans/4.5

ans =

0.6667

Упражнение 1.2

>> 1/2+2/3

ans =

1.1667

 

>> format rat

1/2+2/3

ans =

7/6

Упражнение 1.3

>> syms x

>> f=(x+1)*(x-1)

f =

(x - 1)*(x + 1)

 

>> collect(f)

ans =

x^2 - 1

>> f=collect(f)

f =

x^2 – 1

 

Переменные рабочего пространства.

>> x=1, y=2, z=3, t=4

x =

 

y =

 

z =

 

t =

 

>> whos x y z t

Name Size Bytes Class Attributes

 

t 1x1 8 double

x 1x1 8 double

y 1x1 8 double

z 1x1 8 double

>> clear x

>> whos y z t

Name Size Bytes Class Attributes

t 1x1 8 double

y 1x1 8 double

z 1x1 8 double

 

>> clear y z

>> whos

Name Size Bytes Class Attributes

t 1x1 8 double

Представление данных матрицами. Работа с массивами в MATLAB

Упражнение 1.4

>> B=[1 3 -1]

 

B =

1 3 -1

>> B=[1, 3, -1]

B =

1 3 -1

>> C=[-1;2.1]

C =

-1.0000

2.1000

>> A=[1 2 3 4;0 -1 -3 -2]

A =

1 2 3 4

0 -1 -3 -2

 

>> n=3

n =

>> m=[3]

m =

>> whos A B C n m

Name Size Bytes Class Attributes

 

A 2x4 64 double

B 1x3 24 double

C 2x1 16 double

m 1x1 8 double

n 1x1 8 double

 

Упражнение 1.5.

>> A(1,3)

ans =

>> A(5)

ans =

 

Упражнение 1.6

Выполнить задания

№1. Задать вектор-строку а. выполнить задания под буквами.

А) a=[1 2 3 4 5]

a =

1 2 3 4 5

B) >> a=[1,2,3,4,5]

 

a =

1 2 3 4 5

C) >> a=horzcat(1,2,3,4,5,6)

a =

 

1 2 3 4 5 6

D) >> a=[1:2:3:4:5:6]

a =

 

1 2 3 4 5 6

№2. Задать вектор-столбец b. Выполнить задание под буквами

a) >> b ={ 1; 1.9; 2.8; 3.7}

 

b =

 

[ 1]

[1.9000]

[2.8000]

[3.7000]

b) >> b =[1: 1.9: 2.8: 3.7]'

b =

c) >> a1=a'

a1 =

 

d) >> b2=b'

b2 =

1 2 3

e) >> b3=vertcat(1,2,3,4,5,6)

b3 =

 

 

Построение прямых на плоскости.

Знакомство с функциями plot и line. Эти функции необходимы нам для построения векторов как в плоскости так и в пространстве

Упражнение 1.7. Функция line

>>line([0;-2],[0;-1])

>> grid on

>> line([-2;0],[4;0])

Упражнение 1.8.

>> line([0;0],[2;1]);

 

>> line([0;2],[2;0]);

 

>> line([0;2],[3;0]);

 

>> grid on

 

Упражнение 1. 10.

>> line([0,0,-2;2,-2,0],[0,0,4;1,-1,0])

 

>> line([0,0,-2;2,-2,0],[0,0,4;1,-1,0])

 

>> grid on

 

Упражнение 1.11.

>> line([0,0,0;2,2,3],[0,2,2;1,0,0])

 

>> grid on

 

Упражение 1.12.

 

>> subplot (2,2,1);

 

>>line([0;2],[0;1]);

 

>>subplot (2,2,2);

 

>>line([0;2],[2;0]);

 

>>subplot (2,2,3);

 

>>line([0;3],[2;0]);

 

>>subplot (2,2,4);

 

>>line([0,0,0;2,2,3],[0,2,2;1,0,0]);

 

Упражение 1.13.

 

>> subplot (2,2,1);

 

>>line([0;0],[2;1]);

 

>>subplot (2,2,2);

 

>>line([0;2],[2;0]);

 

>>subplot (2,2,3);

 

>>line([0;2],[3;0]);

 

>>subplot (2,2,4);

 

>> subplot (2,2,4);

 

>>line([0,0,0;2,2,3],[0,2,2;1,0,0]);

 

>>grid on;hold on;

 

>>plot(2,1,'>b','lineWidth',4);

 

>>plot(2,0,'<g','lineWidth',4);

 

>>plot(3,0,'vr','lineWidth',4);

 

Упражнение 1.14

>>line([0,0,-2;2,-2,0],[0,0,4;1,-1,0])

 

>> grid on,hold on

 

>> plot(2,1,'>b','lineWidth',4)

 

>> plot(-2,-1,'<g','lineWidth',4)

 

>> plot(0,0,'vr','lineWidth',4)

 

Упражнение 1.15

 

>> line([0,0,0;2,2,3],[0,2,2;1,0,0])

grid on,hold on

plot(2,1,'>b','lineWidth',4)

>> plot(2,0,'<g','lineWidth',4)

>> plot(3,0,'<g','lineWidth',4)

>> plot(3,0,'<r','lineWidth',4)

 

Занятие 2. Определители II и III порядков. Формулы Крамера.

Определитель второго порядка

На семинарных занятиях по линейной алгебре и начертательной геометрии мы знакомились с определителями ll и lll порядка. В данных упражнениях мы закрепим знания формул.

Приложение определителя 2го

Порядка к решению систем по формулам Крамера.

 

Проверка

>>3*x1-5*x2

ans=

13 верно

>>2*x1+7*x2

ans=

81 верно

>> B=[3 -4; 3 4]

B =

3 -4

3 4

>> c=[-6; 18]

c =

 

-6

 

>> d=B(1,1)*B(2,2)-B(2,1)*B(1,2)

d =

 

>> d1=c(1)*B(2,2)-B(1,2)*c(2)

d1 =

 

>> d2=B(1,1)*c(2)-B(2,1)*c(1)

d2 =

 

>> x1=d1/d

x1 =

>> x2=d2/d

x2 =

Проверка

>>3*x1-4*x2

ans=

-6 Верно

>>3*x1+4*x2

ans=

18 Верно

 

 

Упражнение 2.4

В данном упражнении мы должны вычислить определитель матрицы В по правилу Саррюса, а также разложить по первой строке, предварительно выполнив решение в тетради; выполнить проверку.

 

 

1.

 

>> A=[1,2,3; 4,5,6; 7,8,1]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 1

 

>> detA=A(1,1)*A(2,2)*A(3,3)+A(1,2)*A(2,3)*A(3,1)+A(2,1)*A(3,2)*A(1,3)-A(1,3)*A(2,2)*A(3,1)-A(2,3)*A(3,2)*A(1,1)-A(2,1)*A(1,2)*A(3,3)

detA =

>> detA=A(1,1)*(A(2,2)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,2))-A(1,2)*(A(2,1)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,1))+A(1,3)*(A(2,1)*A(3,2)-A(2,2)*A(3,1))

detA =

>> detA=det(A)

detA =

24.0000

2.

>> A=[3,4,-5; 8,7,-2; 2,-1,8]

A =

3 4 -5

8 7 -2

2 -1 8

>> detA=A(1,1)*A(2,2)*A(3,3)+A(1,2)*A(2,3)*A(3,1)+A(2,1)*A(3,2)*A(1,3)-A(1,3)*A(2,2)*A(3,1)-A(2,3)*A(3,2)*A(1,1)-A(2,1)*A(1,2)*A(3,3)

detA =

>> detA=A(1,1)*(A(2,2)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,2))-A(1,2)*(A(2,1)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,1))+A(1,3)*(A(2,1)*A(3,2)-A(2,2)*A(3,1))

 

detA =

>> detA=det(A)

detA =

3.

>> syms a b c x

>> A=[a+x,x,x; x,b+x,x; x,x,c+x]

A =

[ a + x, x, x]

[ x, b + x, x]

[ x, x, c + x]

>> detA=A(1,1)*A(2,2)*A(3,3)+A(1,2)*A(2,3)*A(3,1)+A(2,1)*A(3,2)*A(1,3)-A(1,3)*A(2,2)*A(3,1)-A(2,3)*A(3,2)*A(1,1)-A(2,1)*A(1,2)*A(3,3)

detA =

2*x^3 - x^2*(b + x) - x^2*(c + x) - x^2*(a + x) + (a + x)*(b + x)*(c + x)

Упростим

>> simplify(detA)

ans =

a*b*c + a*b*x + a*c*x + b*c*x

 

>> detA=det(A)

detA =

 

a*b*c + a*b*x + a*c*x + b*c*x

>> detA=A(1,1)*(A(2,2)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,2))-A(1,2)*(A(2,1)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,1))+A(1,3)*(A(2,1)*A(3,2)-A(2,2)*A(3,1)

detA =

(a + x)*((b + x)*(c + x) - x^2) - x*(x*(b + x) - x^2) - x*(x*(c + x) - x^2)

УПРОСТИМ

>> simplify(detA)

ans =

a*b*c + a*b*x + a*c*x + b*c*x

 

>> detA=det(A)

detA =

a*b*c + a*b*x + a*c*x + b*c*x

 

4.

>> A=[sin(a),cos(a),1; sin(b),cos(b),1; sin(c),cos(c),1

A =

[ sin(a), cos(a), 1]

[ sin(b), cos(b), 1]

[ sin(c), cos(c), 1]

 

>> detA=A(1,1)*A(2,2)*A(3,3)+A(1,2)*A(2,3)*A(3,1)+A(2,1)*A(3,2)*A(1,3)-A(1,3)*A(2,2)*A(3,1)-A(2,3)*A(3,2)*A(1,1)-A(2,1)*A(1,2)*A(3,3)

detA =

cos(b)*sin(a) - cos(a)*sin(b) + cos(a)*sin(c) - cos(c)*sin(a) - cos(b)*sin(c) + cos(c)*sin(b)

УПРОСТИМ

>> simplify(detA)

ans =

sin(a - b) - sin(a - c) + sin(b - c)

 

>> detA=A(1,1)*(A(2,2)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,2))-A(1,2)*(A(2,1)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,1))+A(1,3)*(A(2,1)*A(3,2)-A(2,2)*A(3,1))

detA =

sin(a)*(cos(b) - cos(c)) - cos(a)*(sin(b) - sin(c)) - cos(b)*sin(c) + cos(c)*sin(b)

УПРОСТИМ

>> simplify(detA)

ans =

sin(a - b) - sin(a - c) + sin(b - c)

 

>> detA=det(A)

detA =

cos(b)*sin(a) - cos(a)*sin(b) + cos(a)*sin(c) - cos(c)*sin(a) - cos(b)*sin(c) + cos(c)*sin(b)

УПРОСТИМ

>> simplify(detA)

ans =

sin(a - b) - sin(a - c) + sin(b - c)

 

 

Выполнив данное упражнение в тетради и затем рассчитав матрицы в программе MATLAB, я сверила и убедилась в том, что все решения сделанные мною в тетради верны.

Упражнение 2.5

Номера из данного упражнение следует решить по формуле Крамера, затем выполнить проверку.

Формула Крамера:

Пусть дана система ур-ний с тремя неизвестными

Где коэффициенты , i= 1,2,3; j =1,2,3 пр неизвестных , i=1,2,3 и свободные члены , i=1,2,3

, , ,

Для записи решения можно использовать формулу Крамера (если ).

№2.190.

>> A=[7,2,3; 5,-3,2;10,-11,5]

A =

7 2 3

5 -3 2

10 -11 5

 

>> B=[15;15;36]

B =

 

>> d=A(1,1)*A(2,2)*A(3,3)+A(1,2)*A(2,3)*A(3,1)+A(2,1)*A(3,2)*A(1,3)-A(1,3)*A(2,2)*A(3,1)-A(2,3)*A(3,2)*A(1,1)-A(2,1)*A(1,2)*A(3,3)

d =

-36

 

>> d1=B(1)*A(2,2)*A(3,3)+A(1,2)*A(2,3)*B(3)+B(2)*A(3,2)*A(1,3)-A(1,3)*A(2,2)*B(3)-A(2,3)*A(3,2)*B(1)-B(2)*A(1,2)*A(3,3)

d1 =

-72

>> d2=A(1,1)*B(2)*A(3,3)+B(1)*A(2,3)*A(3,1)+A(2,1)*B(3)*A(1,3)-A(1,3)*B(2)*A(3,1)-B(3)*A(2,3)*A(1,1)-A(2,1)*B(1)*A(3,3)

d2 =

>> d3=A(1,1)*A(2,2)*B(3)+A(2,1)*A(3,2)*B(1)+A(1,2)*B(2)*A(3,1)-B(1)*A(2,2)*A(3,1)-B(2)*A(3,2)*A(1,1)-A(2,1)*A(1,2)*B(3)

d3 =

-36

>> x1=d1/d

x1 =

>> x2=d2/d

x2 =

-1

>> x3=d3/d

x3 =

Проверка:

>> 7*x1+2*x2+3*x3

ans =

15 верно

>> 5*x1-3*x2+2*x3

ans =

15 верно

>> 10*x1-11*x2+5*x3

ans =

36 верно

 

№ 2.187

>> C=[3 -5; 2 7]

C =

3 -5

2 7

>> B=[13;81]

B =

>> d=C(1,1)*C(2,2)-C(1,2)*C(2,1)

d =

>> d1=B(1)*C(2,2)-C(1,2)*B(2)

d1 =

>> d2=C(1,1)*B(2)-B(1)*C(2,1)

d2 =

>> x1=d1/d

x1 =

>> x2=d2/d

x2 =

Проверка:

>> 3*x1-5*x2

ans =

13 верно

 

>> 2*x1+7*x2

ans =

81 верно

 

№2.188

>> C=[3 -4; 3 4];

>> B=[-6;18];

>> d=C(1,1)*C(2,2)-C(1,2)*C(2,1)

d =

>> d1=B(1)*C(2,2)-C(1,2)*B(2)

d1 =

>> d2=C(1,1)*B(2)-B(1)*C(2,1)

d2 =

>> x1=d1/d

x1 =

>> x2=d2/d

x2 =

>> 3*x1-4*x2

ans =

-6 верно

>> 3*x1+4*x2

ans =

18 верно
№ 2.191

>> A=[2,1,0; 1,0,3; 0,5,-1]

A =

2 1 0

1 0 3

0 5 -1

 

>> B=[5;16;10]

B =

>> d=A(1,1)*A(2,2)*A(3,3)+A(1,2)*A(2,3)*A(3,1)+A(2,1)*A(3,2)*A(1,3)-A(1,3)*A(2,2)*A(3,1)-A(2,3)*A(3,2)*A(1,1)-A(2,1)*A(1,2)*A(3,3)

d =

-29

>> d1=B(1)*A(2,2)*A(3,3)+A(1,2)*A(2,3)*B(3)+B(2)*A(3,2)*A(1,3)-A(1,3)*A(2,2)*B(3)-A(2,3)*A(3,2)*B(1)-B(2)*A(1,2)*A(3,3)

d1 =

-29

 

>> d2=A(1,1)*B(2)*A(3,3)+B(1)*A(2,3)*A(3,1)+A(2,1)*B(3)*A(1,3)-A(1,3)*B(2)*A(3,1)-B(3)*A(2,3)*A(1,1)-A(2,1)*B(1)*A(3,3)

d2=

-87

>> d3=A(1,1)*A(2,2)*B(3)+A(2,1)*A(3,2)*B(1)+A(1,2)*B(2)*A(3,1)-B(1)*A(2,2)*A(3,1)-B(2)*A(3,2)*A(1,1)-A(2,1)*A(1,2)*B(3)

d3 =

-145

>> x1=d1/d

x1 =

>> x2=d2/d

x2 =

>> x3=d3/d

x3 =

Проверка:

>> 2*x1+x2

ans =

5 верно

>> x1+3*x3

ans =

16 верно

>> 5*x2-x3

ans =

10 верно

Данный номер я проделала сначала в тетради, затем в программе, я выявила, что вычислительных ошибок у меня нет

 

В лабораторной работе №2 по лин.алгебре я научилась пользоваться в программе MATLAB формулами для вычисления определителя 2 и 3 порядка.

Занятие 3 Векторная алгебра

Задание вектора и обращение к элементам вектора в системе MATLAB

Упражнение 3.2

>> s1 = [3 4 9 2]

s1 =

3 4 9 2

>> s2 = [5 3 3 2]

s2 =

5 3 3 2

>> s3 = s1 + s2

s3 =

8 7 12 4

>> v1 = [2 -3 4 1];

>> v2 = [7 5 -6 9];

 

Упражнение 3.3

>> u=v1.*v2

u =

14 -15 -24 9

>> p = v1.^2

p =

4 9 16 1

>> v = [4 6 8 10];

>> p=v*2

 

p =

8 12 16 20

>> pi=2*v

pi =

8 12 16 20

>> p=v/2

p =

2 3 4 5

>> length(s1)

ans =

 

Упражнение 3.4

>> v1 = [1; 2]

v1 =

>> v2 = [3; 4; 5];

>> v = [v1; v2]

v =

>> v1 = [1 2]; v2 = [3 4 5]; v = [v1 v2]

v =

1 2 3 4 5

Упражнение 3.6.

В данном задании нужно с помощью спец.символов задать вектор-строку a и вектор-столбец b

>> a=[2 4 6]

a =

2 4 6

>> b=[1; 8; -2]

b =

-2

Изменим значение координаты ay на ‐5

>> a(2)=-5

a =

2 -5 6

Найдем значение координаты bz (сумма первой и второй координаты вектора b)

>> b(3)=b(1)+b(2)

b =

Упражнение 3.9

правило параллелограмма.

Дан параллелограмм ABCD, известны координаты трех его точек

A(‐2 0), B(1 2), C(1 ‐1).

Найти координаты четвертой вершины D параллелограмма.

Показать на рисунке, что AB+ =AC, здесь AB, AD и AC – векторы.

Изобразить векторы АВ и AD синим и АС красным,

остальные стороны параллелограмма ВС и CD ‐черным.

>> A=[-2 0];

B=[1 2];

C=[1 -1];

>>

>> grid on, hold on

>> xlabel('X'),ylabel('Y')

>> line([-5 0;5 0],[0 -5;0 5],'color','black')

>> line([A(1) B(1)],[A(2) B(2)],'LineWidth',4)

>> text(-0.5,1.8,'{\bfAB}','Color','blue')

>> text(-2,0.8,'A(-2;0)','Color','blue')

>> text(1.2,1.5,'B(1;2)','Color','blue')

>> line([A(1) C(1)],[A(2) C(2)],'LineWidth',4,'Color','red')

>> text(1.2,-1,'C(1;-1)','Color','red')

Найдем координаты точки D

>> BA=A-B

BA =

-3 -2

>> BC=C-B

BC =

0 -3

>> BD=BA+BC

BD =

-3 -5

>> D=BD+B

D =

-2 -3

>> line([A(1) D(1)],[A(2) D(2)],'LineWidth',4)

>> text(-2.3,-3,'D(-2;-3)','Color','blue')

>> text(-2.5,-2,'{\bfAB}','Color','blue')

>> text(-1,-1,'{\bfAC}','Color','red')

>> line([B(1) C(1)],[B(2) C(2)],'LineWidth',4, 'Color','black')

>> line([C(1) D(1)],[C(2) D(2)],'LineWidth',4, 'Color','black')

>> plot(B(1),B(2),'>b','LineWidth',4)

>> plot(C(1),C(2),'>r','LineWidth',4)

>> plot(D(1),D(2),'vb','LineWidth',4)

Упражнение 3.10.

grid on,

xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

axis square

box on

line([0 1],[0 -2],[0 0])

line([0 0],[0 1],[0 1])

line([0 1],[0 2],[0 2])

line([0 1],[0 0],[0 0],'LineWidth',4,'color','black')

>> line([0 0],[0 1],[0 0],'LineWidth',4,'color','black')

line([0 0],[0 0],[0 1],'LineWidth',4,'color','black')

 

Упражнение 3.12

Вычислить скалярное произведение двух векторов a= {x1,y1,z1}, b= {x2,y2,z2}

>> b = [x2,y2,z2];

>> a = [x1,y1,z1];

1 способ

>> axb = a(1)*b(1)+a(2)*b(2)+a(3)*b(3)

axb =

x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

 

2 способ

>> ab = a.*b

ab =

[ x1*x2, y1*y2, z1*z2]

 

>> ab = sum(ab)

ab =

x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

 

3 способ

>> axb = sum(a.*b)

axb =

x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

 

 

Упражнение 3.13

Выразить скалярное произведение векторов ,

A) в декартовом базисе , и

>> p = [x1,y1,z1];

>> q = [x2,y2,z2];

>> a = [1,0,0];

>> b = [0,1,0];

>> c = [0,0,1];

>> p = x1*a + y1*b + z1*c;

>> q = x2*a+y2*b+z2*c;

>> pq = sum(p.*q)

pq =

x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

 

B) косоугольном базисе , и . Пользуясь геометрическим свойством скалярного произведения, убедиться, что векторы a,b,c образуют косоугольный базис.

>> a=[1,-2,0];b=[0,1,1];c=[1,2,2];

>> p=x1*a+y1*b+z1*c;q=x2*a+y2*b+z2*c;

>> sum(p.*q)

ans =

(x1+z1)*(x2+z2)+(-2*x1+y1+2*z1)*(-2*x2+y2+2*z2)+(y1+2*z1)*(y2+2*z2)

>>simplify(ans)

ans =

5*x1*x2-3*x1*z2-2*x1*y2-3*z1*x2+9*z1*z2-2*y1*x2+2*y1*y2+4*y1*z2+4*z1*y2

 

C) в прямоугольном, но не в ортонормированном базисе , и

>> a=[3,0,0];b=[0,4,0];c=[0,0,5];

>> p=x1*a+y1*b+z1*c;q=x2*a+y2*b+z2*c;

>> pq=sum(p.*q)

pq =

9*x1*x2+16*y1*y2+25*z1*z2

 

Вывод: выражение скалярного произведения в координатной форме существенно зависит от базиса, в котором заданы координаты векторов.

 

 

Векторное произведение

Упражнение 3.14

Найти векторное произведение векторов и с помощью определителя третьего порядка см формулу (8) и проверить решение стандартной функцией cross(a,b)

>> a=[1,2,0];b=[2,1,0];

syms i j k

[i,j,k;a;b]

ans =

[ i, j, k]

[ 1, 2, 0]

[ 2, 1, 0]

 

>> axb = det([i,j,k;a;b])

axb =

(-3)*k

>> A=[i,j,k;a;b]

A =

[ i, j, k]

[ 1, 2, 0]

[ 2, 1, 0]

>> detA=A(1,1)*A(2,2)*A(3,3)+A(1,2)*A(2,3)*A(3,1)+A(2,1)*A(3,2)*A(1,3)-A(1,3)*A(2,2)*A(3,1)-A(2,3)*A(3,2)*A(1,1)-A(2,1)*A(1,2)*A(3,3)

 

detA =

(-3)*k

>> detA=A(1,1)*(A(2,2)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,2))-A(1,2)*(A(2,1)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,1))+A(1,3)*(A(2,1)*A(3,2)-A(2,2)*A(3,1))

detA =

(-3)*k

>> detA=det(a)

??? Error using ==> det

Matrix must be square.

>> detA=det(A)

detA =

(-3)*k

>> cross(a,b)

ans

0 0 -3

>> VECTab=det([i,j,k;a;b])

VECTab =

(-3)*k

Упражнение 3.15.

Найти все векторы, перпендикулярные векторам и

>> a=[-1,3,2];

>>b=[3,-2,2];

>>det([i,j,k;a;b])

ans =

10*i + 8*j - 7*k

>> ans*(-1)

ans =

7*k - 8*j - 10*i

>> cross(a,b)

ans =

10 8 -7

 

Упражнение 3.16.Упростить выражение Затем найти скалярное произведение тех же векторов.

>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3

>> a=[a1 a2 a3];b=[b1 b2 b3];

>> ans1= cross(a,b)

ans1 =

[ a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1]

>> ans2=cross(a+2*b,a-2*b)

ans2 =

 

[ (a2 + 2*b2)*(a3 - 2*b3) - (a2 - 2*b2)*(a3 + 2*b3), (a1 - 2*b1)*(a3 + 2*b3) - (a1 + 2*b1)*(a3 - 2*b3), (a1 + 2*b1)*(a2 - 2*b2) - (a1 - 2*b1)*(a2 + 2*b2)]

>> simplify(ans2)

ans =

[ 4*a3*b2 - 4*a2*b3, 4*a1*b3 - 4*a3*b1, 4*a2*b1 - 4*a1*b2]

>> ans2./ans1

ans =

[ -((a2 - 2*b2)*(a3 + 2*b3) - (a2 + 2*b2)*(a3 - 2*b3))/(a2*b3 - a3*b2), -((a1 - 2*b1)*(a3 + 2*b3) - (a1 + 2*b1)*(a3 - 2*b3))/(a1*b3 - a3*b1), -((a1 - 2*b1)*(a2 + 2*b2) - (a1 + 2*b1)*(a2 - 2*b2))/(a1*b2 - a2*b1)]

>> simplify(ans)

ans =

[ -4, -4, -4]

 

Вывод

Вывод. Скалярное произведение тех же векторов преобразуется к совершенно иному виду, а именно,

 

Упражнение 3.17.

Найти векторное произведение векторов и . Изобразить все данные и результат. Первый вектор изобразить синим, второй зеленым, результат красным. Сделать выводы: как связаны определение векторного произведения и то, что мы получили на рисунке.

>> a=[1,2,0];b=[2,1,0];

>> c=cross(a,b)

 

c =

 

0 0 -3

 

>> grid on, hold on

>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

>> axis square

>> line([-5 0 0;5 0 0], [0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','black')

>> line([0 1],[0,2],'LineWidth',2)

>> plot3(1,2,0,'>','LineWidth',2)

>> line([0 2],[0,1],'Color','green','LineWidth',2)

>> plot3(2,1,0,'>g','LineWidth',2)

>> line([0 0],[0,0],[0 -3],'Color','red','LineWidth',2)

>> plot3(0,0,-3,'>r','LineWidth',2)

>> plot3(5,0,0,'<k','LineWidth',2)

>> plot3(0,5,0,'<k','LineWidth',2)

>> plot3(0,0,5,'<k','LineWidth',2)

>> text(4.5,-0.5,0.8,'X')

>> text(-0.5,4.5,0.8,'Y')

>> text(-0.5,-1,4.5,'Z')

Выводы: Синий вектор , зеленый вектор и красный вектор образуют правую тройку. Вектор перпендикулярен плоскости векторов и .

Изобразим плоскость желтого параллелограмма:

>> x1=0:0.1:1.9;y1=0:0.05:0.95;x2=1:0.1:2.9;y2=2:0.05:2.95;

>> line([x1; x2],[y1; y2],'Color','yellow','LineWit')

Упражнение 3.18

Вычислить площадь треугольника с вершинами и Изобразить плоскость треугольника. Как соотносятся площадь треугольника и векторное произведение. Изобразить это соответствие по аналогии с предыдущим упражнением.

>> A=[1,3,-1]

A =

1 3 -1

>> B=[2,-1,4]

B =

2 -1 4

>> C=[5,0,3]

C =

5 0 3

>> AB = B-A

AB =

1 -4 5

>> AC = C-A

AC =

4 -3 4

>> modAB = sqrt(1+4^2+5^2)

modAB =

6.4807

>> modAC = sqrt(4^2+3^2+4^2)

modAC =

6.4031

>> cosA = sum(AB.*AC)/(modAC*modAB)

cosA =

 

0.8675

>> sinA = sqrt(1 - cosA^2)

sinA =

0.4974

>> axb = cross(AB,AC)

axb =

-1 16 13

>> modaxb = sqrt(1^2+16^2+13^2)

modaxb =

20.6398

>> S = modAB*modAC*sinA/2

S =

10.3199

>> modaxb/S

ans =

Значит, модуль векторного произведения в 2 раза больше площади треугольника, построенного на этих векторах.

>> hold on

>> grid on

>> box on

>> axis square

>> plot3(5,0,3,'.')

>> plot3(2,-1,4,'.')

>> plot3(1,3,-1,'.')

>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

>> line([-5 0 0;5 0 0],[0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','k')

>> line([1:0.04:5;2:0.00002:2.002],[3:-0.03:0;-1:-0.00002:-1.002],[-1:0.04:3;4:0.00002:4.002],'Color','b','LineWidth',2)

Упражнение 3.19

Найти смешанное произведение векторов , где векторы и перемножаются векторно, а их результат на вектор скалярно.

>> a = [a1,a2,a3];

>> c = [c1,c2,c3];

>> b = [b1,b2,b3];

>> abc = sum(cross(a,b).*c)

 

abc =

 

a1*b2*c3 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1

 

>> abc1 = det([a;b;c])

 

abc1 =

 

a1*b2*c3 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1

 

>> bac = sum(cross(b,a).*c)

 

bac =

 

a1*b3*c2 - a1*b2*c3 + a2*b1*c3 - a2*b3*c1 - a3*b1*c2 + a3*b2*c1

 

>> bac/abc

 

ans =

 

-1

Упражнение 3.20

>> a = [1,-2,0];

>> b = [0,1,1];

>> c = [1,2,2];

>> det([a;b;c])

 

ans =

 

-2

Смешанное произведение <0, значит a,b,c – левая тройка, И векторы a,b,c – некомпланарные.

Компланарные векторы не могут линейно независимы и не могут образовать базис.

>> box on

>> grid on

>> hold on

>> line([0;a(1)],[0;a(2)],[0;a(3)])

>> line([0;b(1)],[0;b(2)],[0;b(3)],'Color','g')

>> line([0;c(1)],[0;c(2)],[0;c(3)],'Color','r')

>> line([-5 0 0;5 0 0],[0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','k')

Упражнение 3.21

Исследовать с помощью смешанного произведения векторы на компланарность, векторы -некомпланарны, их смешанное произведение равно +1.

>> syms a b c p q r

>> p = [a -b c]

 

p =

 

[ a, -b, c]

 

>> q = [-a b -c]

 

q =

 

[ -a, b, -c]

 

>> r = [0 b -c]

 

r =

 

[ 0, b, -c]

 

>> sum(cross(p,q).*r)

 

ans =

 

Векторы p,q,r – компланарные.

>> p = [2*a b c]

 

p =

 

[ 2*a, b, c]

 

>> q = [ a b 0]

 

q =

 

[ a, b, 0]

 

>> r = [0 b -c]

 

r =

 

[ 0, b, -c]

 

>> sum(cross(p,q).*r)

 

ans =

 

Векторы компланарные.

 

>> p = [a -b c]

 

p =

 

[ a, -b, c]

 

>> q = [a b 0]

 

q =

 

[ a, b, 0]

 

>> r = [0 b -c]

 

r =

 

[ 0, b, -c]

 

>> sum(cross(p,q).*r)

 

ans =

 

-a*b*c

Векторы некомпланарные.

 

Упражнение 3.22

Вычислить если = А.

>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

>> a = [a1,a2,a3];

>> b = [b1,b2,b3];

>> c = [c1,c2,c3];

>> sum(cross(a+2*b-c,3*a-b).*(2*a+2*b+c))

 

ans =

 

15*a1*b3*c2 - 15*a1*b2*c3 + 15*a2*b1*c3 - 15*a2*b3*c1 - 15*a3*b1*c2 + 15*a3*b2*c1

>> A = det([a;b;c])

 

A =

 

a1*b2*c3 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1

 

>> res = sum(cross(a+2*b-c,3*a-b).*(2*a+2*b+c))

 

res =

 

15*a1*b3*c2 - 15*a1*b2*c3 + 15*a2*b1*c3 - 15*a2*b3*c1 - 15*a3*b1*c2 + 15*a3*b2*c1

 

>> res/A

 

ans =

 

-(15*a1*b2*c3 - 15*a1*b3*c2 - 15*a2*b1*c3 + 15*a2*b3*c1 + 15*a3*b1*c2 - 15*a3*b2*c1)/(a1*b2*c3 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1)

 

>> simplify(ans)

 

ans =

 

-15

Значит [a+2b-c,3a-b],(2a+2b+c) = -15A.

 

Упражнение 3.23

Пусть – некомпланарные векторы. Найти значение при котором следующие векторы компланарны:

>> syms a b c p q r l

>> q = [3*a b -c]

 

q =

 

[ 3*a, b, -c]

 

>> p = [a -2*b l*c]

 

p =

 

[ a, -2*b, c*l]

 

>> r = [a 0 -1*l*c]

 

r =

 

[ a, 0, -c*l]

 

>> det([p;q;r])

 

ans =

 

2*a*b*c - 8*a*b*c*l

 

>> simplify(ans)

 

ans =

 

(-2)*a*b*c*(4*l - 1)

Значит, при l = ¼, векторное произведение будет равно нулю, и векторы p,q,r будут компланарны

 

Модуль 1 Векторная алгебра

Арифметические вычисления.

Упражение 1

Постановка задачи

Знакомство с MATLAB. Изучение команд

Упражнение 1.1

>> 1+2

ans =

>> ans/4.5

ans =

0.6667

Упражнение 1.2

>> 1/2+2/3

ans =

1.1667

 

>> format rat

1/2+2/3

ans =

7/6

Упражнение 1.3

>> syms x

>> f=(x+1)*(x-1)

f =

(x - 1)*(x + 1)

 

>> collect(f)

ans =

x^2 - 1

>> f=collect(f)

f =

x^2 – 1

 

Переменные рабочего пространства.

>> x=1, y=2, z=3, t=4

x =

 

y =

 

z =

 

t =

 

>> whos x y z t

Name Size Bytes Class Attributes

 

t 1x1 8 double

x 1x1 8 double

y 1x1 8 double

z 1x1 8 double

>> clear x

>> whos y z t

Name Size Bytes Class Attributes

t 1x1 8 double

y 1x1 8 double

z 1x1 8 double

 

>> clear y z

>> whos

Name Size Bytes Class Attributes

t 1x1 8 double