Упражнение 3.1. Ввод сложение и вычитание векторов

>> a = [1.3; 5.4; 6.9]

a =

1.3000

5.4000

6.9000

>> b = [7.1; 3.5; 8.2];

>> c = a + b

c =

8.4000

8.9000

15.1000

 

>> ndims(a)

ans =

>> size(a)

ans =

3 1

>> ndims(b)

ans =

>> size(b)

ans =

3 1

>> ndims(c)

ans =

>> size(c)

ans =

3 1

 

Упражнение 3.2

>> s1 = [3 4 9 2]

s1 =

3 4 9 2

>> s2 = [5 3 3 2]

s2 =

5 3 3 2

>> s3 = s1 + s2

s3 =

8 7 12 4

>> v1 = [2 -3 4 1];

>> v2 = [7 5 -6 9];

 

Упражнение 3.3

>> u=v1.*v2

u =

14 -15 -24 9

>> p = v1.^2

p =

4 9 16 1

>> v = [4 6 8 10];

>> p=v*2

 

p =

8 12 16 20

>> pi=2*v

pi =

8 12 16 20

>> p=v/2

p =

2 3 4 5

>> length(s1)

ans =

 

Упражнение 3.4

>> v1 = [1; 2]

v1 =

>> v2 = [3; 4; 5];

>> v = [v1; v2]

v =

>> v1 = [1 2]; v2 = [3 4 5]; v = [v1 v2]

v =

1 2 3 4 5

Упражнение. 3.5. Работа с элементами векторов.

>> v = [1.3 3.6 7.4 8.2 0.9];

>> v(4)

ans =

8.2000

>> v(2) = 555

v =

1.3000 555.0000 7.4000 8.2000 0.9000

>> u = [v(3); v(2); v(1)]

u =

7.4000

555.0000

1.3000

 

>> ind = [4 2 5]

ind =

4 2 5

>> w = v(ind)

w =

8.2000 555.0000 0.9000

>> w = [0.1 2.9 3.3 5.1 2.6 7.1 9.8]

w =

0.1000 2.9000 3.3000 5.1000 2.6000 7.1000 9.8000

>> w(2:6) = 0

w =

0.1000 0 0 0 0 0 9.8000

>> w = [0.1 2.9 3.3 5.1 2.6 7.1 9.8]

w =

0.1000 2.9000 3.3000 5.1000 2.6000 7.1000 9.8000

 

>> wl = w(3:5)

wl =

3.3000 5.1000 2.6000

>> w2 = [w(1:3) w(5:7)]

w2 =

0.1000 2.9000 3.3000 2.6000 7.1000 9.8000

>> gm = (u(1)*u(2)*u(3))^(1/3)

gm =

17.4779

 

Упражнение 3.6.

В данном задании нужно с помощью спец.символов задать вектор-строку a и вектор-столбец b

>> a=[2 4 6]

a =

2 4 6

>> b=[1; 8; -2]

b =

-2

Изменим значение координаты ay на ‐5

>> a(2)=-5

a =

2 -5 6

Найдем значение координаты bz (сумма первой и второй координаты вектора b)

>> b(3)=b(1)+b(2)

b =

Линейные операции над векторами и их свойства.

сумма двух векторов может быть найдена: а) по правилу треугольника; б) по правилу параллелограмм

Упражнение 3.7. Правило треугольника.

>> A=[-2 0];

B=[1 2];

C=[1 -1];

>> line([A(1),B(1)],[A(2),B(2)])

>>grid on, hold on

>>xlabel('X'),ylabel('Y')

>>line([-5 0;5 0],[0 -5;0 5],'color','black')

>>line([A(1) B(1)],[A(2) B(2)],'LineWidth',4)

>>line([B(1) C(1)],[B(2) C(2)],'LineWidth',4)

>>line([C(1) A(1)],[C(2) A(2)],'LineWidth',4,'Color','red')

>>text(-2,0.8,'A(-2;0)','Color','blue')

>>text(1.2,1.5,'B(1;2)','Color','blue')

>>text(-0.5,1.8,'{\bfAB}','Color','blue')

>>text(1.2,-1,'C(1;-1)','Color','blue')

>>text(-2,-0.5,'A(-2;0)','Color','red')

>> text(1.5,0.5,'{\bfBC}','Color','blue')

>>text(-1,-1,'{\bfAC}','Color','red')

>>title('Правило треугольника {\bfAB+BC=AC}')

>> plot(C(1),C(2),'>r','LineWidth',4)

>> plot(B(1),B(2),'>r','LineWidth',4)

>> plot(B(1),B(2),'>b','LineWidth',4)

>> plot(1,-0.8,'vb','LineWidth',4)

 

Упражнение 3.9

правило параллелограмма.

Дан параллелограмм ABCD, известны координаты трех его точек

A(‐2 0), B(1 2), C(1 ‐1).

Найти координаты четвертой вершины D параллелограмма.

Показать на рисунке, что AB+ =AC, здесь AB, AD и AC – векторы.

Изобразить векторы АВ и AD синим и АС красным,

остальные стороны параллелограмма ВС и CD ‐черным.

>> A=[-2 0];

B=[1 2];

C=[1 -1];

>>

>> grid on, hold on

>> xlabel('X'),ylabel('Y')

>> line([-5 0;5 0],[0 -5;0 5],'color','black')

>> line([A(1) B(1)],[A(2) B(2)],'LineWidth',4)

>> text(-0.5,1.8,'{\bfAB}','Color','blue')

>> text(-2,0.8,'A(-2;0)','Color','blue')

>> text(1.2,1.5,'B(1;2)','Color','blue')

>> line([A(1) C(1)],[A(2) C(2)],'LineWidth',4,'Color','red')

>> text(1.2,-1,'C(1;-1)','Color','red')

Найдем координаты точки D

>> BA=A-B

BA =

-3 -2

>> BC=C-B

BC =

0 -3

>> BD=BA+BC

BD =

-3 -5

>> D=BD+B

D =

-2 -3

>> line([A(1) D(1)],[A(2) D(2)],'LineWidth',4)

>> text(-2.3,-3,'D(-2;-3)','Color','blue')

>> text(-2.5,-2,'{\bfAB}','Color','blue')

>> text(-1,-1,'{\bfAC}','Color','red')

>> line([B(1) C(1)],[B(2) C(2)],'LineWidth',4, 'Color','black')

>> line([C(1) D(1)],[C(2) D(2)],'LineWidth',4, 'Color','black')

>> plot(B(1),B(2),'>b','LineWidth',4)

>> plot(C(1),C(2),'>r','LineWidth',4)

>> plot(D(1),D(2),'vb','LineWidth',4)

Линейная зависимость векторов

Линейной комбинацией векторов с коэффициентами будем называть конечную сумму вида

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из ее коэффициентов отличен от нуля.

Упражнение 3.10.

grid on,

xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

axis square

box on

line([0 1],[0 -2],[0 0])

line([0 0],[0 1],[0 1])

line([0 1],[0 2],[0 2])

line([0 1],[0 0],[0 0],'LineWidth',4,'color','black')

>> line([0 0],[0 1],[0 0],'LineWidth',4,'color','black')

line([0 0],[0 0],[0 1],'LineWidth',4,'color','black')

 

Упражнение 3.12

Вычислить скалярное произведение двух векторов a= {x1,y1,z1}, b= {x2,y2,z2}

>> b = [x2,y2,z2];

>> a = [x1,y1,z1];

1 способ

>> axb = a(1)*b(1)+a(2)*b(2)+a(3)*b(3)

axb =

x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

 

2 способ

>> ab = a.*b

ab =

[ x1*x2, y1*y2, z1*z2]

 

>> ab = sum(ab)

ab =

x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

 

3 способ

>> axb = sum(a.*b)

axb =

x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

 

 

Упражнение 3.13

Выразить скалярное произведение векторов ,

A) в декартовом базисе , и

>> p = [x1,y1,z1];

>> q = [x2,y2,z2];

>> a = [1,0,0];

>> b = [0,1,0];

>> c = [0,0,1];

>> p = x1*a + y1*b + z1*c;

>> q = x2*a+y2*b+z2*c;

>> pq = sum(p.*q)

pq =

x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

 

B) косоугольном базисе , и . Пользуясь геометрическим свойством скалярного произведения, убедиться, что векторы a,b,c образуют косоугольный базис.

>> a=[1,-2,0];b=[0,1,1];c=[1,2,2];

>> p=x1*a+y1*b+z1*c;q=x2*a+y2*b+z2*c;

>> sum(p.*q)

ans =

(x1+z1)*(x2+z2)+(-2*x1+y1+2*z1)*(-2*x2+y2+2*z2)+(y1+2*z1)*(y2+2*z2)

>>simplify(ans)

ans =

5*x1*x2-3*x1*z2-2*x1*y2-3*z1*x2+9*z1*z2-2*y1*x2+2*y1*y2+4*y1*z2+4*z1*y2

 

C) в прямоугольном, но не в ортонормированном базисе , и

>> a=[3,0,0];b=[0,4,0];c=[0,0,5];

>> p=x1*a+y1*b+z1*c;q=x2*a+y2*b+z2*c;

>> pq=sum(p.*q)

pq =

9*x1*x2+16*y1*y2+25*z1*z2

 

Вывод: выражение скалярного произведения в координатной форме существенно зависит от базиса, в котором заданы координаты векторов.

 

 

Векторное произведение