Выражение векторного произведения через координаты векторов

Упражнение 3.14

Найти векторное произведение векторов и с помощью определителя третьего порядка см формулу (8) и проверить решение стандартной функцией cross(a,b)

>> a=[1,2,0];b=[2,1,0];

syms i j k

[i,j,k;a;b]

ans =

[ i, j, k]

[ 1, 2, 0]

[ 2, 1, 0]

 

>> axb = det([i,j,k;a;b])

axb =

(-3)*k

>> A=[i,j,k;a;b]

A =

[ i, j, k]

[ 1, 2, 0]

[ 2, 1, 0]

>> detA=A(1,1)*A(2,2)*A(3,3)+A(1,2)*A(2,3)*A(3,1)+A(2,1)*A(3,2)*A(1,3)-A(1,3)*A(2,2)*A(3,1)-A(2,3)*A(3,2)*A(1,1)-A(2,1)*A(1,2)*A(3,3)

 

detA =

(-3)*k

>> detA=A(1,1)*(A(2,2)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,2))-A(1,2)*(A(2,1)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,1))+A(1,3)*(A(2,1)*A(3,2)-A(2,2)*A(3,1))

detA =

(-3)*k

>> detA=det(a)

??? Error using ==> det

Matrix must be square.

>> detA=det(A)

detA =

(-3)*k

>> cross(a,b)

ans

0 0 -3

>> VECTab=det([i,j,k;a;b])

VECTab =

(-3)*k

Упражнение 3.15.

Найти все векторы, перпендикулярные векторам и

>> a=[-1,3,2];

>>b=[3,-2,2];

>>det([i,j,k;a;b])

ans =

10*i + 8*j - 7*k

>> ans*(-1)

ans =

7*k - 8*j - 10*i

>> cross(a,b)

ans =

10 8 -7

 

Упражнение 3.16.Упростить выражение Затем найти скалярное произведение тех же векторов.

>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3

>> a=[a1 a2 a3];b=[b1 b2 b3];

>> ans1= cross(a,b)

ans1 =

[ a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1]

>> ans2=cross(a+2*b,a-2*b)

ans2 =

 

[ (a2 + 2*b2)*(a3 - 2*b3) - (a2 - 2*b2)*(a3 + 2*b3), (a1 - 2*b1)*(a3 + 2*b3) - (a1 + 2*b1)*(a3 - 2*b3), (a1 + 2*b1)*(a2 - 2*b2) - (a1 - 2*b1)*(a2 + 2*b2)]

>> simplify(ans2)

ans =

[ 4*a3*b2 - 4*a2*b3, 4*a1*b3 - 4*a3*b1, 4*a2*b1 - 4*a1*b2]

>> ans2./ans1

ans =

[ -((a2 - 2*b2)*(a3 + 2*b3) - (a2 + 2*b2)*(a3 - 2*b3))/(a2*b3 - a3*b2), -((a1 - 2*b1)*(a3 + 2*b3) - (a1 + 2*b1)*(a3 - 2*b3))/(a1*b3 - a3*b1), -((a1 - 2*b1)*(a2 + 2*b2) - (a1 + 2*b1)*(a2 - 2*b2))/(a1*b2 - a2*b1)]

>> simplify(ans)

ans =

[ -4, -4, -4]

 

Вывод

Вывод. Скалярное произведение тех же векторов преобразуется к совершенно иному виду, а именно,

 

Упражнение 3.17.

Найти векторное произведение векторов и . Изобразить все данные и результат. Первый вектор изобразить синим, второй зеленым, результат красным. Сделать выводы: как связаны определение векторного произведения и то, что мы получили на рисунке.

>> a=[1,2,0];b=[2,1,0];

>> c=cross(a,b)

 

c =

 

0 0 -3

 

>> grid on, hold on

>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

>> axis square

>> line([-5 0 0;5 0 0], [0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','black')

>> line([0 1],[0,2],'LineWidth',2)

>> plot3(1,2,0,'>','LineWidth',2)

>> line([0 2],[0,1],'Color','green','LineWidth',2)

>> plot3(2,1,0,'>g','LineWidth',2)

>> line([0 0],[0,0],[0 -3],'Color','red','LineWidth',2)

>> plot3(0,0,-3,'>r','LineWidth',2)

>> plot3(5,0,0,'<k','LineWidth',2)

>> plot3(0,5,0,'<k','LineWidth',2)

>> plot3(0,0,5,'<k','LineWidth',2)

>> text(4.5,-0.5,0.8,'X')

>> text(-0.5,4.5,0.8,'Y')

>> text(-0.5,-1,4.5,'Z')

Выводы: Синий вектор , зеленый вектор и красный вектор образуют правую тройку. Вектор перпендикулярен плоскости векторов и .

Изобразим плоскость желтого параллелограмма:

>> x1=0:0.1:1.9;y1=0:0.05:0.95;x2=1:0.1:2.9;y2=2:0.05:2.95;

>> line([x1; x2],[y1; y2],'Color','yellow','LineWit')

Упражнение 3.18

Вычислить площадь треугольника с вершинами и Изобразить плоскость треугольника. Как соотносятся площадь треугольника и векторное произведение. Изобразить это соответствие по аналогии с предыдущим упражнением.

>> A=[1,3,-1]

A =

1 3 -1

>> B=[2,-1,4]

B =

2 -1 4

>> C=[5,0,3]

C =

5 0 3

>> AB = B-A

AB =

1 -4 5

>> AC = C-A

AC =

4 -3 4

>> modAB = sqrt(1+4^2+5^2)

modAB =

6.4807

>> modAC = sqrt(4^2+3^2+4^2)

modAC =

6.4031

>> cosA = sum(AB.*AC)/(modAC*modAB)

cosA =

 

0.8675

>> sinA = sqrt(1 - cosA^2)

sinA =

0.4974

>> axb = cross(AB,AC)

axb =

-1 16 13

>> modaxb = sqrt(1^2+16^2+13^2)

modaxb =

20.6398

>> S = modAB*modAC*sinA/2

S =

10.3199

>> modaxb/S

ans =

Значит, модуль векторного произведения в 2 раза больше площади треугольника, построенного на этих векторах.

>> hold on

>> grid on

>> box on

>> axis square

>> plot3(5,0,3,'.')

>> plot3(2,-1,4,'.')

>> plot3(1,3,-1,'.')

>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

>> line([-5 0 0;5 0 0],[0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','k')

>> line([1:0.04:5;2:0.00002:2.002],[3:-0.03:0;-1:-0.00002:-1.002],[-1:0.04:3;4:0.00002:4.002],'Color','b','LineWidth',2)

Упражнение 3.19

Найти смешанное произведение векторов , где векторы и перемножаются векторно, а их результат на вектор скалярно.

>> a = [a1,a2,a3];

>> c = [c1,c2,c3];

>> b = [b1,b2,b3];

>> abc = sum(cross(a,b).*c)

 

abc =

 

a1*b2*c3 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1

 

>> abc1 = det([a;b;c])

 

abc1 =

 

a1*b2*c3 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1

 

>> bac = sum(cross(b,a).*c)

 

bac =

 

a1*b3*c2 - a1*b2*c3 + a2*b1*c3 - a2*b3*c1 - a3*b1*c2 + a3*b2*c1

 

>> bac/abc

 

ans =

 

-1

Упражнение 3.20

>> a = [1,-2,0];

>> b = [0,1,1];

>> c = [1,2,2];

>> det([a;b;c])

 

ans =

 

-2

Смешанное произведение <0, значит a,b,c – левая тройка, И векторы a,b,c – некомпланарные.

Компланарные векторы не могут линейно независимы и не могут образовать базис.

>> box on

>> grid on

>> hold on

>> line([0;a(1)],[0;a(2)],[0;a(3)])

>> line([0;b(1)],[0;b(2)],[0;b(3)],'Color','g')

>> line([0;c(1)],[0;c(2)],[0;c(3)],'Color','r')

>> line([-5 0 0;5 0 0],[0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','k')

Упражнение 3.21

Исследовать с помощью смешанного произведения векторы на компланарность, векторы -некомпланарны, их смешанное произведение равно +1.

>> syms a b c p q r

>> p = [a -b c]

 

p =

 

[ a, -b, c]

 

>> q = [-a b -c]

 

q =

 

[ -a, b, -c]

 

>> r = [0 b -c]

 

r =

 

[ 0, b, -c]

 

>> sum(cross(p,q).*r)

 

ans =

 

Векторы p,q,r – компланарные.

>> p = [2*a b c]

 

p =

 

[ 2*a, b, c]

 

>> q = [ a b 0]

 

q =

 

[ a, b, 0]

 

>> r = [0 b -c]

 

r =

 

[ 0, b, -c]

 

>> sum(cross(p,q).*r)

 

ans =

 

Векторы компланарные.

 

>> p = [a -b c]

 

p =

 

[ a, -b, c]

 

>> q = [a b 0]

 

q =

 

[ a, b, 0]

 

>> r = [0 b -c]

 

r =

 

[ 0, b, -c]

 

>> sum(cross(p,q).*r)

 

ans =

 

-a*b*c

Векторы некомпланарные.

 

Упражнение 3.22

Вычислить если = А.

>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

>> a = [a1,a2,a3];

>> b = [b1,b2,b3];

>> c = [c1,c2,c3];

>> sum(cross(a+2*b-c,3*a-b).*(2*a+2*b+c))

 

ans =

 

15*a1*b3*c2 - 15*a1*b2*c3 + 15*a2*b1*c3 - 15*a2*b3*c1 - 15*a3*b1*c2 + 15*a3*b2*c1

>> A = det([a;b;c])

 

A =

 

a1*b2*c3 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1

 

>> res = sum(cross(a+2*b-c,3*a-b).*(2*a+2*b+c))

 

res =

 

15*a1*b3*c2 - 15*a1*b2*c3 + 15*a2*b1*c3 - 15*a2*b3*c1 - 15*a3*b1*c2 + 15*a3*b2*c1

 

>> res/A

 

ans =

 

-(15*a1*b2*c3 - 15*a1*b3*c2 - 15*a2*b1*c3 + 15*a2*b3*c1 + 15*a3*b1*c2 - 15*a3*b2*c1)/(a1*b2*c3 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1)

 

>> simplify(ans)

 

ans =

 

-15

Значит [a+2b-c,3a-b],(2a+2b+c) = -15A.

 

Упражнение 3.23

Пусть – некомпланарные векторы. Найти значение при котором следующие векторы компланарны:

>> syms a b c p q r l

>> q = [3*a b -c]

 

q =

 

[ 3*a, b, -c]

 

>> p = [a -2*b l*c]

 

p =

 

[ a, -2*b, c*l]

 

>> r = [a 0 -1*l*c]

 

r =

 

[ a, 0, -c*l]

 

>> det([p;q;r])

 

ans =

 

2*a*b*c - 8*a*b*c*l

 

>> simplify(ans)

 

ans =

 

(-2)*a*b*c*(4*l - 1)

Значит, при l = ¼, векторное произведение будет равно нулю, и векторы p,q,r будут компланарны