Построение структурных схем по дифференциальным уравнениям.

Способ составления структурной схемы, основанный на использовании дифференциальных уравнений. Рассмотрим его сначала для объекта, поведение которого описывают векторно-матричные уравнения

Проинтегрируем уравнение состояния в по времени и определим переменные состояния и выхода:

Структурную схему, соответствующую данным уравнениям, удобнее изображать, начиная с выходных переменных y, причем входные и выходные переменные объекта желательно располагать на одной горизонтальной прямой. Для одноканального объекта структурную схему можно составить по уравнению

разрешив его относительно старшей производной

Проинтегрировав n раз, получим

Этой системе уравнений соответствует структурная схема, приведенная на рисунке

Как видим, одноканальный объект управления, поведение которого описывает уравнение, структурно всегда можно представить в виде цепочки из n последовательно соединенных интеграторов с обратными связями.

 

 

Первая каноническая

Рассмотрим преобразование математической модели системы с передаточной функцией (3.64). Ее структурную схему можно представить в виде двух последовательно соединенных звеньев (рис. 3.39).

 

 

Для каждого звена системы запишем соответствующее операторное уравнение:

 

Определим из первого уравнения (3.66) старшую производную переменной z, что соответствует значению pⁿz в операторной форме

 

Полученное выражение позволяет представить первое уравнение (3.66) в виде цепочки из n интеграторов с обратными связями, а выходная переменная y формируется в соответствии со вторым уравнением (3.66) как сумма переменной z и ее m производных (рис. 3.40).

 

 

Переменные состояния введем

 

Вторая каноническая

Рассмотрим второй способ перехода от передаточной функции (3.63) к описанию в переменных состояния, для чего структуру системы (3.65) схематично представим на рис. 3.42. Ее операторные уравнения имеют вид

 

Представим первое уравнение (3.68) в виде цепочки из n интеграторов с обратными связями, а входное воздействие z1 сформируем в соответствии со вторым уравнением (3.68) в виде суммы управления u и m его производных (рис. 3.43).

 

 

В результате структурных преобразований получим структурную схему системы, приведенную на рис. 3.44. Как видим, и в этом случае структурная схема, соответствующая передаточной функции (3.65), состоит из цепочки n интеграторов. В обратной связи также располагаются коэффициенты характеристического полинома, а в прямой связи – коэффициенты полинома ее числителя.

 

Снова в качестве переменных состояния используем выходные величины интеграторов и запишем относительно их дифференциальные уравнения состояния и уравнение выхода

 

 

Устойчивость динамических систем. Методы анализа устойчивости линейных систем. Основные понятия и определения. Общее условие устойчивости линейных систем. Алгебраические и частотные критерии устойчивости: Гурвица, Михайлова, Найквиста. Области и запасы устойчивости.

Основные понятия и определения.

Физически устойчивость означает, что при ограниченном входном сигнале выходной сигнал также является ограниченным и процессы в системе стремятся к определенному значению при любых начальных условиях. Для переходной характеристики устойчивой системы справедливо условие

1 – сходящийся процесс, система устойчива; 2 – расходящийся процесс, система неустойчива

Об устойчивости можно судить также по импульсным переходным функциям, которые в случае устойчивой системы удовлетворяют условию

Рассмотрим, как можно оценить это свойство для систем, поведение которых описывают уравнения

Определим зависимость переменных состояния от времени как решение векторно-матричного уравнения состояния в виде

Первое слагаемое соответствует свободной составляющей движения (из произвольных начальных условий), второе – вынужденной (движение под действием управления). Запишем уравнение статики, полагая в (4.1)

откуда при det A≠0 определим равновесное значение переменных состояния

Введем новые координаты, равные отклонениям от точки равновесия,

и запишем для них ДУ так как x⁰=0.

После подстановки в (4.6) вместо его значения из (4.1) с учетом (4.5) получим

Учитывая (4.4), уравнение в отклонениях принимает вид

Как видим, уравнение (4.7) не содержит u, и поэтому переходный процесс по Δ порождается только ненулевыми начальными условиями согласно уравнению

Линейная система (4.1) называется устойчивой, если для ее процессов выполняется условие