Дифференциальные уравнения (векторно-матричная форма, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения состояния).

Наиболее часто в качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные ДУ, которые могут быть записаны в различной форме.

Линейные многоканальные объекты обычно описывают системой дифференциальных уравнений первого порядка, представленной в векторно-матричном виде:

x - дифференциальное уравнение состояния (2.1)

y=Cx, y , u , m - уравнение выхода (2.2)

Здесь x –вектор состояния, n – порядок объекта; u – вектор управляющих воздействий, m ; A – квадратная матрица действительных коэффициентов; B – прямоугольная матрица действительных коэффициентов, y – вектор выхода, C – прямоугольная матрица действительных коэффициентов.

Форма скалярного дифференциального уравнения: (n которое также может быть приведено к виду (2.1) и (2.2) после соответствующего выбора линейно-независимых переменных состояния. Их число всегда равно порядку объекта (n), а u и y . Наиболее простое каноническое описание получается, когда в качестве переменных состояния выбираются выходная переменная y и ее производные до (n-1) включительно: =

При этом вместо (2.3) имеем систему уравнений (2.4)

которая соответствует векторно-матричным уравнениям (2.1) и (2.2). Здесь матрицы A, B и C имеют вид:

причем их размерности следующие: dimA = n n, dimВ = n , dimС = 1 n.

Переходная характеристика, импульсная функция, передаточная функция.

Переходная характеристика

Эта динамическая характеристика используется для описания одноканальных объектов с нулевыми начальными условиями

Переходной характеристикой (переходной функцией) h (t) называется реакция системы на единичное ступенчатое входное воздействие u(t- ) = 1(t- ) при нулевых начальных условиях. Отметим, что единичная ступенчатая функция – это функция, которая обладает свойством

Здесь – момент возникновения входного воздействия.

Зная переходную характеристику, можно вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла свертки

где – переменная интегрирования.

Импульсная переходная функция g(t) представляет собой реакцию на входное воздействие типа единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях. Такое входное воздействие математически отражает дельта-функция, которая обладает следующими свойствами:

Импульсная переходная функция позволяет вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях по выражению:

Переходная характеристика и импульсная переходная функция однозначно связаны между собой соотношениями: Эти уравнения позволяют при одной известной характеристике определить вторую.

Передаточная функция

Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем дифференциальные уравнения удобно представлять в символической форме с применением оператора дифференцирования: p = , что позволяет записывать дифференциальные уравнения как алгебраические и вводить новую динамическую характеристику – передаточную функцию.

Для многоканальных систем общего вида:

x y=Cx, y , u , m передаточная функция вычисляется по следующему выражению: W(p) = C(pI - A)^-1B - матричная передаточная функция.

Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида

С использованием оператора дифференцирования p запишем это уравнение в символической форме и найдем передаточную функцию как отношение изображений выходной величины ко входной:

где – характеристический полином. Его корни называются полюсами, а корни полинома числителя передаточной функции - нулями системы.

Передаточные функции динамических систем: