Алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Критерий Гурвица

Он является алгебраическим и связывает расположение корней характеристического уравнения с определенными условиями, которые накладываются на его коэффициенты.

по следующему правилу составляется матрица Гурвица: на главной диагонали сверху вниз выписываются по порядку коэффициенты характеристического уравнения от до включительно. В каждом столбце вниз от диагонали записывают коэффициенты при возрастающих степенях оператора p, вверх – при убывающих степенях p. Недостающие элементы в столбце дополняются нулями.

Формулировка. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров, полученных из матрицы Гурвица H, были положительны:

Здесь Δi– определители Гурвица, которые составляются следующим образом:

Поскольку определитель n-1 –го порядка должен быть положительным, последнее условие соответствует требованию a₁>0.

Следствием критерия является условие границы устойчивости, когда последний определитель Гурвица обращается в нуль:

Критерий Найквиста

Позволяет определить устойчивость системы с отрицательной обратной связью (так называемой замкнутой системы) по экспериментально снятой или полученной на основе передаточной функции амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы.

Рассмотрим этот критерий для системы с единичной обратной связью Здесь W0(p)– передаточная функция устойчивой разомкнутой системы, которая в общем случае имеет вид:

где ее характеристический полином .

Определим передаточную функцию системы, изображенной на рис.

где характеристический полином замкнутой системы.

Формулировка: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ не охватывала точку с координатами -1; j0.

Разомкнутая система может быть неустойчива, однако это не означает, что неустойчивой будет и замкнутая система. В этой ситуации следует использовать видоизмененную формулировку критерия Найквиста: замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая характеристика неустойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ охватывает точку с координатами -1; j0 в положительном направлении r/2 раз, где r– число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

Сформулируем теперь условие границы устойчивости. Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если при некоторой частоте ω = ω0 АФХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами -1; j0.

Аналитически это условие можно записать в виде:

Предварительно необходимо получить передаточную функцию разомкнутой системы, для чего можно размыкать связь произвольным образом, а вход и выход системы следует рассматривать в месте разрыва. В результате искомая передаточная функция будет иметь вид:

Критерий Михайлова

Он базируется на принципе аргумента теории функций комплексной переменной. Для анализа устойчивости системы предлагается исследовать характеристический комплекс F(jω), который получается из характеристического полинома:

заменой p на jω

Выделим в (4.14) вещественную и мнимую части, а также модуль и фазу:

При конкретном численном значении частоты (ω=ω₁) характеристический комплекс (4.19) представляет собой комплексное числоF(j ) которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой R_F(), jI_F().

При изменении ω от 0 до ∞ конец вектора F(jω)выписывает на

комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом Михайлова (см. рис.). Причем начинается годограф, как следует из соотношения (4.18), в точке с координатами a₁, j0.

Формулировка. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении от ω от 0 до ∞ начинался на вещественной оси в точке и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не обращаясь в нуль и стремясь к в n-м квадранте в ∞.

Условием границы устойчивости является обращение в нуль годографа Михайлова при некотором значении частоты ω = ω0. Аналитически это условие можно записать в виде:

Здесь ω0 – частота незатухающих колебаний, возникающих в системе, которая находится на границе устойчивости.