Корневые оценки переходного процесса

Рассмотрим характеристическое уравнение системы

с корнями λ_1..λ_n, которые изобразим на комплексной плоскости (рис)

Наиболее удаленные от мнимой оси корни (имеющие max |Re λ_i |) определяют моды, затухающие быстрее всего. Корни характеристического уравнения, расположенные ближе всего к мнимой оси (с min |Re λ_i |), дают особенно медленно затухающие моды, которые и определяют длительность переходного процесса.

Таким образом, корневой оценкой быстродействия может служить расстояние до мнимой оси от ближайшего к ней корня, т. е.

Приближенно оценить время переходного процесса можно по соотношению

где - относительная статическая ошибка.

В случае, когда статическая ошибка можно пользоваться оценкой

Колебательные процессы в системе будут наблюдаться только в том случае, когда характеристическое уравнение содержит комплексно-сопряженные корни

Склонность системы к колебаниям характеризует оценка

которую называют колебательностью.

Эмпирическим путем установлена взаимосвязь между колебательностью и перерегулированием в виде соотношения

Отметим, что при μ =1,57, значение перерегулирования σ в системе составит 30 %.

 

Система первого порядка

 

 

Система второго порядка

 

 

 

Система третьего порядка

 

 

Установившееся значение для выходной переменной соответствует выражению (5.31) и зависит только от коэффициента усиления k, инерционность процессов зависит от T, а колебательные свойства системы определяются параметрами A и B. Для исследования этой зависимости используется диаграмма И.А. Вышнеградского [6], полученная им в 1876 г. на основе характеристического уравнения

 

Параметры A и B, которые используются для описания системы третьего порядка, носят название параметров Вышнеградского. Кроме колебательности они определяют устойчивость системы, которая будет иметь место при выполнении условия AB 1, что соответствует критерию Гурвица.

Введем в рассмотрение область значений параметров А и В (рис. 5.26) и нанесем границу устойчивости, AB=1. Разобьем ее на подобласти с различным распределением корней характеристического уравнения (5.36), а, следовательно, и видом процессов.

 

 

Так как при всех значениях параметров A и B из области 1 корни характеристического уравнения (5.36) будут вещественными, то и процесс будет иметь апериодический характер (рис. 5.27, а).

Если параметры A и B выбраны в области 2, где ближайшей к мнимой оси будет пара комплексно-сопряженных корней, то им соответствуют колебательные процессы (рис. 5.27, б). В случае, когда вещественный корень располагается ближе к мнимой оси, чем пара комплексно-сопряженных (область 3), колебательная составляющая затухает быстрее и процессы будут иметь вид, представленный на рис. 5.27, в.

 

 

Статические и астатические системы. Оценки точности установившихся процессов. Свойства статических систем. Понятие астатизма. Свойства астатических систем. Следящие системы (системы позиционирования). Неединичная обратная связь.

Статическим (установившимся) называют такой режим работы линейной системы, при котором переменные с течением времени не изменяются.

Статическая такая система управления (рис. 5.6), функционирование которой всегда предполагает наличие статической ошибки .

W1(p) и W2(p) –не содержат в своем составе интеграторов, поэтому в статике они вырождаются в коэффициенты усиления W1(0)= k1; W2(0)=k2. Первый блок системы представляет собой регулятор (с передаточной функцией W1(p)), а второй – объект управления (с передаточной функцией W2(p)).

Выражение для ошибки:

,

или после преобразований:

(5.14)

Полная ошибка регулирования складывается из двух составляющих: одна из них порождена входным воздействием, вторая – возмущением. Этот факт соответствует принципу суперпозиции: реакция системы на несколько внешних воздействий представляет собой сумму реакций на каждое воздействие отдельно.

Полную статическую ошибку получим, полагая p=0 в (5.14):

(5.15), где k=k 1 k 2 – общий коэффициент усиления, характеризующий глубину обратной связи.

С целью уменьшения полной статической ошибкинеобходимо увеличивать общий коэффициент усиления системы прежде всего за счет коэффициента k 1. Однако его чрезмерное увеличение может привести к неустойчивости системы управления.

Астатическими называют системы, в которых отсутствует составляющая статической ошибки, порожденная постоянным входным воздействием. Астатизм обычно достигается введением в состав регулятора интегрирующего звена (рис. 5.8).

Будем полагать, что передаточные функции W1(p) и W2(p) не содержат в своем составе интегрирующих звеньев, и определим ошибку в системе

В статике при p=0 обе составляющие ошибки будут равны нулю (ошибка по входному воздействию и ошибка по возмущению), т. е.

(5.17)

Р ежимом линейной заводки, когда входной сигнал v представляет собой линейное нарастающее воздействие,

или в операторной форме

где .

Подставим входной сигнал (5.18) в выражение для ошибки (5.16):

В статике получим так называемую скоростную ошибку,

уменьшить которую можно увеличением общего коэффициента усиления системы.

 

 

Следящие системы

Класс систем, в которых выходная переменная является положением какого-либо технического объекта и должна отслеживать изменения входной величины. Структурным признаком таких систем является наличие на ее выходе интегрирующего звена

 

В статике первая составляющая ошибки обращается в нуль. Вторая составляющая ошибки, порожденная возмущением, отлична от нуля:

 

 

и зависит от коэффициента усиления k1.

В следящих системах режим «линейной заводки». В этом случае статическая ошибка представляет собой сумму двух составляющих

 

 

Используется для оценки точности следящих систем, для которых он является характерным режимом работы.

Неединичная обратная связь

До сих пор рассматривали структурные схемы с единичной обратной связью

 

В реальных системах подобная ситуация встречается очень редко. Как правило, выходной сигнал не является электрическим, это может быть угол поворота, скорость вращения, сила и т. д. Он измеряется с помощью датчика и преобразуется в электрический сигнал обратной связи, для которой имеет место неединичный коэффициент передачи (рис. 5.12).

 

Здесь y – реальный выходной сигнал объекта управления; y – выходной сигнал с датчика; v – входной сигнал, который в реальной системе всегда имеет ту же размерность, что и выходной сигнал датчика; Kд – коэффициент передачи датчика. Обычно инерционность датчика намного меньше, чем у объекта, поэтому его модель можно представить просто в виде коэффициента усиления.

Часто Кд относят к объекту и рассматривают преобразованную структурную схему:

 

 

При использовании в системе датчика возникает помеха измерения, поэтому используется следующая схема:

 

Н(t) – помеха измерения, есть случайная функция времени, диапазон изменения и частотный спектр которой можно оценить.

В реальной системе удается стабилизировать не выходную переменную у, а сигнал с волной.

 

Синтез систем автоматического управления. Основные понятия. Классификация режимов работы системы. Постановка задачи синтеза для одноканального объекта.

Под синтезом будем понимать проектирование регулятора для системы автоматического управления по заданным требованиям к ее динамическим и статическим свойствам.

Выбор метода синтеза определяется технической ситуацией, поэтому целесообразно предварительно классифицировать режимы работы системы, модель которой имеет вид

Процессы в ней описываются соотношением

определяются: ненулевыми начальными условиями, входными воздействиями и возмущениями.

Режимом отработки начальных условий будем называть процесс перехода из произвольных начальных состояний x(0) в равновесные при отсутствии внешних воздействий на систему(ν=0.M=0) (рис. 6.1, а). Первую составляющую выражения (6.2), которая определяет этот режим работы, часто называют свободной составляющей процесса.

Режимом отработки входа будем называть процесс отработки входного воздействия, когда ν=const. Такому режиму работы соответствует вторая составляющая выражения (6.2).

Режимом слежения за входом будем называть процесс отработки изменяющегося входного воздействия ν(t) при нулевых начальных условиях и отсутствии возмущений (y(t) ). Данному процессу также будет соответствовать вторая составляющая (6.2).

Режимом отработки возмущений будем называть процессы, вызванные в системе возмущением M(t) при фиксированных начальных условиях и ν=const. Третья составляющая (6.2) отражает процесс отработки возмущения.

Выбор метода синтеза обусловлен режимом работы системы, при чем требования к качеству процессов задаются в определенной форме на основе стандартных оценок: быстродействия, перерегулирования и статической ошибки.

При отработке входа для описания процессов обычно используются следующие динамические характеристики: h(t), g(t), W(p), W() которым соответствуют определенные методы синтеза. К настоящему времени наиболее полно разработан частотный метод, основанный на логарифмических частотных характеристиках L() и . Если рассматривается режим отработки начальных условий и возмущений, то лучше применять модальный метод синтеза.