ТЕМА 9 «Пересечение прямой с поверхностью»

 

Задачи по теме 9 выдаются на десятой неделе, после практического занятия 14 и лекции 7 [1, 2, 10].

Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал:

а) пересечение прямых общего и частного положения с поверхностями. Общий способ нахождения точек входа и выхода;

б) частные случаи пересечения прямой с конусом, наклонным цилиндром и сферой.

9.1 Теория к выполнению индивидуального задания

Для нахождения точки встречи прямой линии с поверхностью в общем случае производятся построения, аналогичные построениям, выполняемым при нахождении точки встречи прямой с плоскостью, с небольшой разницей. Эти построения состоят в следующем: через заданную прямую проводят удачно выбранную вспомогательную плоскость, которая пересекала бы поверхность по элементарным линиям (прямая или окружность), строят линию пересечения этой плоскости с поверхностью и в пересечении соответствующей проекции этой линии с проекцией прямой отмечают искомые точки.

В тех случаях, когда ребра или образующие данной поверхности перпендикулярны к одной из плоскостей проекций или сама прямая перпендикулярна к какой-либо из них, точки пересечения находятся без дополнительных построений.

Рассмотрим несколько конкретных случаев (рисунки 58, 59).

 

 

Рисунок 58 – Пересечение Рисунок 59 – Пересечение

прямой с призмой прямой с цилиндром

 

На рисунке 58 грани призмы перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций П₁, т.е. призма прямая, поэтому точки входа и выхода прямой АВ видим без дополнительного построения. Это точки М и N.

На рисунке 59 цилиндр является прямым круговым и точки встречи М и N прямой АВ с цилиндром видно из чертежа.

В случаях, когда ребра или образующие поверхности не являются проецирующими и сама прямая есть прямая общего положения, для нахождения точек входа и выхода через прямую АВ проводят проецирующую плоскость Q, которая при пересечении призмы или пирамиды (рисунок 60) образует треугольник (1, 2, 3). На второй проекции пересечения прямой АВ с фигурой плоского сечения находят проекции искомых точек М и N.

 

 

Рисунок 60 – Пересечение прямой с пирамидой

 

Нахождение точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра общего положения рассмотрено в методических рекомендациях [10].

При выборе вспомогательной секущей плоскости в примере на рисунке 61 нужно, чтобы плоскость пересекла конус по образующим. Такой плоскостью будет плоскость общего положения, заданная прямой АВ и точкой S. Секущая плоскость, проходящая через вершину конуса, пересечет его по двум образующим.

Пересечение секущей плоскости с плоскостью основания конуса определят точки 1 и 2. Через эти точки и пройдут образующие, по которым пересечется конус с плоскостью. Секущую плоскость зададим двумя пересекающими прямыми АВ х СS. Точку С на прямой АВ принимаем из условия удобного построения линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания конуса. Это прямая МN. Прямая МN пересечет основание конуса в точках 1 и 2 – это будут основания образующих S-1 и S-2, по которым пересечется конус с плоскостью. Точки входа и выхода К и Е – это точки пересечения образующих S-1 и S-2 с прямой АВ.

 

 

Рисунок 61 – Пересечение прямой с конусом

 

Если прямая АВ общего положения, не проходящая через центр сферы, пересекает сферу, то задачу можно решить с применением преобразования – параллельным перемещением (рисунок 62). Для этого прямую АВ преобразуем в прямую уровня (горизонталь). Проведя через прямую горизонтальную плоскость Q, которая пересечет сферу по окружности, построим на горизонтальной проекции эту окружность и точки ее пересечения с прямой АВ. Эти точки К и Е – искомые точки.

 

 

Рисунок 62 – Пересечение прямой со сферой