ТЕМА 11 «Эпюр № 3. Пересечение поверхностей»

 

Выдается на тринадцатой неделе после проведения практического занятия 15 и лекции 8 [1, 2, 11].

Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал:

а) построение линии пересечения поверхностей вращения и многогранников с помощью вспомогательных секущих плоскостей;

б) построение линии пересечения поверхностей вращения методом вспомогательных секущих сфер.

 

11.1 Способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения

 

Основное требование при выборе положения вспомогательных секущих плоскостей: плоскости должны пересекать каждую поверхность по простым для построения фигурам. Желательно по прямоугольникам, треугольникам, окружностям.

Задача 1. Построить линию пересечения конуса и призмы (рисунок 67). Вспомогательные секущие плоскости пересекают призму по прямоугольникам, конус – по окружностям.

Призма является фронтально-проецирующей поверхностью, состоящей из трех проецирующих плоскостей. Горизонтальная грань рассекает конус по окружности. Две других дают в сечении эллипсы.

Для построения точек выбраны несколько секущих плоскостей: Q₁, Q₂ и Q₃.

Плоскость Q₁ рассекает конус по окружности, радиус которой определяется по чертежу, и дает точку 1 и две точки 2. Плоскости Q₂ и Q₃ выбраны случайным образом для более точного построения участков эллипса. Эти плоскости пересекают призму по прямоугольникам, а конус по окружностям.

 

Рисунок 67 ‑ Пересечение призмы с конусом

Задача 2. Построить линию пересечения конуса и цилиндра вращения (рисунок 68). Вспомогательные секущие плоскости пересекают цилиндр по прямоугольникам, конус – по окружностям.

В первую очередь найдены характерные точки линии пересечения: высшая и низшая точки 1 и 3 и точки 2 и 2, разделяющие горизонтальную проекцию кривой на видимую и невидимую части.

Точки 1 и 3 определены при помощи вспомогательных фронтальных плоскостей Q₁ и Q₃, которые пересекают поверхность цилиндра по крайним (верхней и нижней) образующим, а поверхность конуса по окружностям, радиус которых измеряют прямо по чертежу на фронтальной проекции. Горизонтальные проекции точек находятся на горизонтальной проекции в точках пересечения окружности от конуса с образующими цилиндра.

Точки 2 и 2 найдены при помощи фронтальной плоскости Q₂, проведенной через ось цилиндра. Плоскость Q₂ пересекает поверхность цилиндра по крайним образующим (левой и правой), а поверхность конуса ‑ по окружности. Пересечения горизонтальных проекций крайних образующих и окружности дают точки 2₁ и 2₁. Промежуточные точки 4 и 5 линии пересечения найдены при помощи фронтальных плоскостей Q₄ и Q₅.

 

 

 

Рисунок 68 – Пересечение цилиндра с конусом

 

Задача 3. Построить линию пересечения конуса и сферы (рисунок 69). Для конуса и сферы подходят в качестве вспомогательных секущих плоскостей горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают обе поверхности по окружностям Q₂, Q₃ и Q₄.

Первую секущую плоскость Q₁ (для определения высшей и низшей точек сечения 1 и 2) проведем на горизонтальной проекции. Эта плоскость рассечет конус по треугольнику, а сферу по окружности, диаметр которой равен диаметру сферы. Их пересечение дает на фронтальной плоскости проекции точек 1₂ и 2₂. По линиям связи перенесем их на горизонтальную плоскость проекций.

Плоскость Q₂ нужна для построения крайней левой точки сечения 3 на фронтальной плоскости проекций. Она является также крайней точкой видимости для горизонтальной проекции. При сечении вспомогательной плоскостью Q₂ конус и сфера рассекаются по окружностям, радиус которых измеряют прямо по чертежу на фронтальной проекции. Строим на горизонтальной проекции эти окружности. Они пересекаются по точкам 3₁ и 3₁. По линиям связи строим проекцию точек 3₂ на фронтальной плоскости. Секущие плоскости Q₃ и Q₄ являются промежуточными (случайными), т.е. их можно проводить в удобном для построения кривой месте.

Напоминаем: положение секущих плоскостей Q₁ и Q₂ является строго определенным, так как выявляет положение опорных точек кривой пересечения данных поверхностей.

 

Рисунок 69 ‑ Пересечение конуса и сферы

 

11.2 Способ вспомогательных концентрических сфер

 

Выдается на четырнадцатой неделе после проведения практического занятия 14 [1, 2, 11].

Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал:

а) пересечение поверхностей;

б) построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер, концентрических сфер и качающихся плоскостей.

При построении линии пересечения двух поверхностей вращения часто целесообразно применять в качестве вспомогательных секущих поверхностей концентрические сферы, т.е. построенные из одного центра.

Это обусловлено тем, что всякая сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает любую поверхность вращения по окружности, т.е. по линии, построение которой не вызывает затруднений (рисунок 70). Если при этом оси двух пересекающихся поверхностей вращения пересекаются и параллельны одной из плоскостей проекций, то всякая сфера с центром в точке пересечения осей пересечет каждую из поверхностей по окружностям, которые проецируются на одну из плоскостей проекций в виде отрезков прямых.

 

Рисунок 70 – Пересечение сферы с цилиндром и конусом

 

Задача 1. Построить линию пересечения двух цилиндров вращения (рисунок 71).

Оси заданных поверхностей вращения пересекаются и параллельны плоскости проекций V, следовательно, необходимые для применения способа сфер условия имеются. Точки 1₂ и 2₂ ‑ фронтальные проекции точек пересечения крайних образующих двух цилиндров – отмечаются на эпюре непосредственно, без каких бы то ни было построений. Для нахождения опорных точек 3 из точки О описана сферическая поверхность Сф.I наименьшего диаметра. Она касается поверхности вертикального стоящего цилиндра, т.е. пересекает его по одной горизонтальной прямой ав. А второй (горизонтальный) цилиндр Сф.I пересекает по окружностям, фронтальная проекция которых ‑ вертикальные прямые сd. Пересечение прямых ав и сd определяют положение опорных точек 3. Это крайние левая и правая точки. Аналогично при помощи вспомогательной Сф.II построена фронтальная проекция точек 4 и 5, принадлежащих линии пересечения цилиндров. Размер сферы Сф.II и полученные точки являются случайными, т.е. строятся для более точного определения положения линии пересечения. Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены по линиям связи, и они все лежат на окружности, т.к. цилиндр является горизонтально проецирующим образом.

 

 

Рисунок 71 ‑ Пересечение двух цилиндров вращения

 

Задача 2. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения (рисунок 73).

При таком положении поверхностей точки 1₂ и 2₂ ‑ фронтальные проекции точек пересечения крайних образующих конуса и цилиндра – отмечаются на эпюре непосредственно, без каких бы то ни было построений. Для нахождения промежуточных точек из точки О описана сферическая поверхность Сф.I наименьшего диаметра. Она только касается поверхности конуса в точках а и b и, следовательно, пересекает ее по окружности, фронтальная проекция которой ‑ прямая аb. Поверхность цилиндра Сф.I пересекает также по окружностям, фронтальная проекция которых ‑ прямая сd. Пересечение этих прямых ‑ точки 3₂ ‑ есть фронтальная проекция крайних левой и правой точек искомой линии пересечения (рисунок 72). Аналогично при помощи Сф.II построена фронтальная проекция 4₂ еще двух точек, принадлежащих линии пересечения. Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены как проекции точек, лежащих на поверхности конуса (рисунок 73).

 

 

Рисунок 72 ‑ Построение касательной к конусу сферы Сф.I

 

 

Рисунок 73 ‑ Пересечения конуса и цилиндра вращения

Задача 3. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения (рисунок 75). От предыдущей эта задача отличается размерами цилиндра.

При увеличении диаметра цилиндра вид линии пересечения полностью меняется.

При таком положении поверхностей точки 1₂ и 3₂ ‑ фронтальные проекции точек пересечения крайних образующих конуса и цилиндра – отмечаются на эпюре непосредственно, без каких бы то ни было построений.

Решение начинаем с построения Сф.I, касательной к цилиндру. Она касается поверхности цилиндра в точках с и d и, следовательно, пересекает ее по окружности, фронтальная проекция которой ‑ прямая сd. Поверхность конуса Сф.I пересекает также по окружностям, фронтальные проекции которых ‑ прямые аb. В пересечении этих прямых находятся точки 2₂ и 4₂. Это фронтальные проекции опорных точек искомой линии пересечения (рисунок 69). Точка 2₂ – это нижняя точка для верхней линии пересечения, а 4₂ – верхняя для нижней линии пересечения (рисунок 74). Аналогично при помощи Сф.II построена фронтальная проекция точек 5₂ (еще двух точек, принадлежащих линии пересечения). Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены как проекции точек, лежащих на поверхности конуса (рисунок 75).

 

 

Рисунок 74 ‑ Построение касательной Сф.I для нахождения точек 2 и 4

 

Рисунок 75 ‑ Пересечение конуса вращения и цилиндра вращения

Подготовка к контрольной работе № 2.

Контрольная работа № 2 проводится на пятнадцатой неделе. Для подготовки к контрольной работе следует повторить задачи из тем 5, 6, 7, 8.

 

 

Приложение А

 

Таблица А1 – Содержание лекций по начертательной геометрии

№ лекции	№ темы	Содержание	Объем в часах
лекции	СРС по изучению теоретичес-кой части
I		Введение. Проекции точки Содержание и цель курса. Метод проекций (понятие о центральных проекциях, параллельных проекциях и ее свойстве, понятие о методе Г. Монжа). Система прямоугольных координат. Эпюры точки, расположенной в четвертях пространства. Построение 3-ей проекции точки по двум данным. [1, 2, 4, 5]
	Проекции прямой Проекции отрезка прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Деление отрезка в данном отношении. Нахождение точек профильной прямой. Определение натуральной величины отрезка и его углы наклона к плоскостям проекций. Следы прямой линии. [1, 2, 4, 5]
II		Проекции плоскости Взаимное положение двух прямых. Способы задания плоскости. Положение плоскости относительно плоскостей проекций. Прямая и точка в плоскости. Следы плоскости. О проекциях плоских углов. Особые прямые плоскости. [1, 2, 4, 5]
	Взаимное положение точки, прямой, плоскости Взаимное положение двух плоскостей. Построение линии пересечения двух плоскостей. Взаимное положение прямой и плоскости. Построение линии пересечения двух плоскостей. Построение прямой и плоскости, параллельных между собой. Построение взаимно параллельных плоскостей. Перпендикулярность прямых и плоскостей [1, 2, 4, 5, 6, 12, 13]
III		Преобразование проекций Наивыгоднейшие положения геометрических элементов. Сущность способа преобразования проекций. Способ замены плоскостей проекций. Решение четырех методических задач. На дом: задачи [1, 2, 7]
	Способ вращения Сущность способа вращения. Плоскопараллельное перемещение. Решение четырех методических задач. Вращение вокруг линии уровня. Основные методические задачи. [1, 2, 7]
Продолжение таблицы А1
IV		Кривые линии и поверхности Плоские кривые линии. Особые точки кривых линий. Некоторые свойства кривых линий. Проецирование окружности. Пространственные кривые линии (винтовые линии). Поверхности. Способы задания поверхности (определитель поверхности). Образование поверхности вращения. Винтовые поверхности. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма. Поверхности второго порядка. Каркасные поверхности. Цилиндрические поверхности. Топографические поверхности. Многогранные поверхности (правильные многогранники). [1, 2]
V		Сечение тел плоскостью Плоское сечение призмы и пирамиды плоскостью. Плоское сечение цилиндра, конуса, сферы. Плоское сечение наклонного цилиндра, поверхности вращения с криволинейной образующей. [1, 2, 8, 9]
VI		Развертки поверхностей Общий признак развертываемости поверхности. Построение разверток прямого и наклонного цилиндра, прямой и наклонной призмы, прямого и наклонного конуса, пирамиды. Развертки комбинированных поверхностей. Приближенная развертка поверхности вращения с криволинейной образующей. [1, 2, 8, 9]
VII		Взаимное пересечение поверхностей Общая классификация построения линии пересечения поверхностей. Метод секущих сфер в построении линии пересечения поверхностей вращения. Эксцентричный метод секущих сфер. Метод секущих плоскостей. Частные случаи пересечения поверхностей. [1, 2, 11]
		ИТОГО:

 

Таблица А.2 – Практические занятия (I семестр)

№ недели	Содержание практических занятий	Объем в часах
Практи-ческие занятия	СРС Выполнение графической части
	Проекции точки и прямой Координатные оси. Построение проекции точки по координатам. Построение 3-й проекции точки. Проекции прямой общего положения, проекции прямых уровня, проецирующих прямых, деление отрезка в данном отношении. Нахождение точек, принадлежащих профильной прямой. Взаимное положение прямых. Определение натуральной величины отрезка. На дом: задачи 1.1 и 1.2 [1, 3, 4, 5]	(3*)	0,5
Продолжение таблицы А2
	Проекции плоскости Проекции плоскости. Точка и прямая в плоскости. Проведение проецирующей плоскости через прямую. Главные линии плоскости. На дом: задачи 2.1 и 2.2. Контроль по заданию № 1. [1, 3, 4, 5, 8]	(3*)	0,5
	Взаимное положение двух плоскостей Построение взаимно параллельных плоскостей. Построение линий пересечения двух плоскостей. Выдача задания № 3 на дом. Контроль за выполнением задания № 2 [1, 3, 4, 5, 8, 9, 11]	(3*)	0,5
	Взаимное положение прямой и плоскости Параллельность прямой и плоскости. Определение точки встречи прямой и плоскости. Решение позиционных задач. Контроль за выполнением задания № 3 [1, 3, 4, 5]	(3*)
	Перпендикулярность прямых, плоскостей Построение прямой, перпендикулярной к плоскости. Построение плоскости, перпендикулярной к прямой. Построение взаимно перпендикулярных прямых. Выдача задания № 4 [1, 3, 4, 5, 6, 12, 13]	(3*)	0,5
6	Решение задач. Пояснение к предстоящей контрольной работе. Выдача на дом задания № 4 [1, 3, 4, 5, 12, 13]	(3*)
	Контрольная работа	(3*)
	Замена плоскостей проекций Решение задач на определение угла наклона прямой и плоскости к плоскостям проекций, на определение натуральных величин, расстояний и углов. Выдача задания № 5 на дом. [1, 2, 7]	(3*)
	Плоскопараллельное перемещение Решение 4-х методических задач. Выдача эпюра № 1. Контроль выполнения задания № 5[1, 2, 7]	(3*)
	Вращение вокруг линии уровня Определение угла наклона между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Совмещение. Проецирование окружности. Выдача задания № 6 [1, 2, 7]	(3*)
	Кривые линии и поверхности Решение задач на построение проекций поверхности. Контроль за заданием № 6 [1, 2, 11]	(3*)
	Сечение тел плоскостью Плоское сечение многогранников. Определение натуральной величины плоского сечения. Выдача задания № 7. Контроль за выполнением задания № 6. [1, 2, 8, 9]	(3*)
	Плоское сечение цилиндра, конуса с применением преобразования эпюра. Выдача задания на эпюр № 2. Выдача задания № 8 на дом [1, 2, 8, 9]	(3*)
	Пересечение прямой с поверхностью (решение задач). Выдача задания № 8. Контроль за выполнением задания № 9 [1, 2, 10]	(3*)
Продолжение таблицы А2
	Развертки поверхностей Построение развертки наклонного конуса, цилиндра, поверхности вращения с криволинейной образующей. Построение развертки способом триангуляции. Выдача задания № 10 на дом [1, 2, 9, 10]	(3*)
	Пересечение поверхностей Решение задач на пересечение поверхностей вращения методом центричных и эксцентричных секущих сфер. Пересечение поверхностей с применением вспомогательных секущих плоскостей. Выдача эпюра № 3 [1, 2, 11]	(3*)
	Классная контрольная работа № 2	(3*)
ИТОГО:	(51*)

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии: Учеб. пособие / В.О. Гордон, М.А. Семинцов-Огиевский; под ред. Ю.Б. Иванова.-23-е изд., перераб. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 2000.

2. Чекмарев, А.А. Начертательная геометрия и черчение: учебное пособие для вузов / А.А. Чекмарев; 2-е изд. перераб. и доп. ‑ М.: ВААДОС. 1999.

3. Алексеева, Э.А. Комплексный чертеж точки и прямой: методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для студентов специальностей 230100, 171500, 340100, 130400, 120100 всех форм обучения / Э.А. Алексеева, С.В. Левин; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. ‑ 28 с.

4. Алексеева, Э.А. Взаимное положение прямой и плоскости: методические указания по изучению курса начертательной геометрии для студентов специальностей 230100, 171500, 340100, 130400, 120100 всех форм обучения / Э.А. Алексеева, С.В. Левин; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. – 26 с.

5. Куничан, Г.И. Способы задания плоскости. Положение прямой относительно плоскости. Взаимное положение плоскостей: методические рекомендации по изучению курса начертательной геометрии для студентов специальностей 190603, 170104, 220501, 160302, 151001 дневной, вечерней и заочной форм обучения / Г.И. Куничан; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. тех. ун-та, 2007. – 30 с.

6. Куничан, Г.И. Перпендикуляр к плоскости. Взаимно перпендикулярные плоскости. Перпендикуляр к прямой: методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей 171200, 120100, 171500, 170600 / Г.И. Куничан, Л.И. Идт; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2008. ‑ 16 с.

7. Светлова, О.Р. Способы преобразования чертежа: способ замены плоскостей проекций, способы вращения: методические рекомендации по начертательной геометрии для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика» / О.Р. Светлова, Э.А. Алексеева, Г.Д. Леонова, Г.И. Куничан; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2008. – 36 с.

8. Куничан, Г.И. Сечение поверхностей плоскостями общего положения: методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей 171200, 120100, 171500, 170600 / Г.И. Куничан, Л.И. Идт; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. – 28 с.

9. Куничан, Г.И. Построение разверток поверхностей: методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей 171200, 120100, 171500, 170600 / Г.И. Куничан, Л.И. Идт; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. – 22 с.

10. Столлер, А.В. Пересечение прямой с поверхностью: методические рекомендации по изучению курса начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов специальностей 230100, 171500, 130400, 120100, 171200, 170600 всех форм обучения / А.В. Столлер; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. – 15 с.

11. Леонова, Г.Д. Взаимное пересечение поверхностей. Взаимное пересечение кривой поверхности с поверхностью многогранника. Взаимное пересечение многогранников: методические рекомендации по изучению курса начертательной геометрии для студентов специальностей 230100, 171500, 340100, 130400, 120100 дневной, вечерней и заочной форм обучения / Г.Д. Леонова, Н.Ю. Афанасьева; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2003. – 29 с.

12. Светлова, О.Р. Определение углов наклона прямых и плоскостей общего положения к плоскостям проекций: методические рекомендации к решению задач по начертательной геометрии для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика» / О.Р. Светлова, Н.С. Левина; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2010. – 14 с.

13. Светлова, О.Р. Перпендикулярность. Контрольная работа № 1: методические рекомендации по начертательной геометрии для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика» / О.Р. Светлова, Г.И. Куничан, Н.С. Левина, Э.А. Алексеева; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2010. – 24 с.