С плоскостью общего положения

 

Порядок выполнения задач темы 3.2:

а) перечертите каждую задачу на отдельный формат;

б) введите поочередно две вспомогательные секущие плоскости (см. рисунки 16 и 17);

в) постройте общие для плоскостей точки.

 

ТЕМА 4 «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

 

Задачи по теме 4 выдаются на четвертой неделе, после проведения практического занятия 4, с учетом знаний, полученных на лекциях [1, 2, 5, 6, 12, 13].

Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал:

а) теорема о проецировании прямого угла;

б) проекции перпендикуляра к плоскостям общего и частного положения;

в) взаимно-перпендикулярные плоскости и прямые.

4.1 Теория к выполнению индивидуального задания

 

Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали той же плоскости.

На рисунке 19 показано построение проекций перпендикуляра, опущенного из данной точки А на плоскость Δ ВСD. Направление проекций перпендикуляра определялось главными линиями DЕ и DF плоскости треугольника. Так, горизонтальная проекция перпендикуляра проведена под прямым углом к одноименной проекции горизонтали DЕ, а вторая проекция перпендикуляра расположена под прямым углом к фронтальной проекции фронтали DF.

 

 

Рисунок 19 ‑ Построение проекций перпендикуляра,

опущенного из данной точки А на плоскость Δ ВСD

 

Перпендикуляр к плоскостям частного положения также является прямой частного положения (рисунок 20). Рассмотрим несколько вариантов частного положения плоскостей:

а) если плоскость фронтально проецирующая, то перпендикуляр к ней является фронталью. Точка врезания сразу определяется на фронтальной плоскости (рисунок 20а);

б) если плоскость является горизонтально проецирующей, то перпендикуляр является горизонталью. Точка врезания видна на горизонтальной плоскости проекций (рисунок 20б);

в) если плоскость является плоскостью уровня, то перпендикуляр является проецирующей прямой (рисунок 20в).

 

 

Рисунок 20 ‑ Перпендикуляр к плоскостям частного положения

 

Примеры выполнения задач по теме 4

4.2.1 Определение расстояний от точки до плоскости

Задача 4.1. Определить расстояние от точки D до плоскости АBC.

Дано: координаты точек А, В, С, D.

Расстояние от точки до плоскости определяется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки D на эту плоскость – DК.

План решения:

этап 1 – через точку D проведите прямую, перпендикулярную к плоскости А ВС (рисунок 21а,б);

этап 2 – постройте точку К – точку пересечения перпендикуляра с плоскостью А BС (рисунок 22а);

этап 3 – определите натуральную величину отрезка DК (рисунок 22б).

Построения:

Этап 1. Известно, что горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости общего положения перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали h₁ этой плоскости, его фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали – f₂.

Строим в плоскости АBC горизонталь h₂ // Ох и фронталь f₁ // Ох и проводим из горизонтальной проекции точки D₁ перпендикуляр к h₁, а из фронтальной проекции точки D₂ проводим перпендикуляр к f₂ (рисунок 21б)

а б

 

Рисунок 21 – Построение проекций перпендикуляра

к плоскости АВС из точки D

 

Этап 2. Находим К ‑ точку пересечения перпендикуляра с плоскостью АBС, для чего через фронтальную проекцию перпендикуляра проводим вспомогательную фронтально проецирующую плоскость Р (на эпюре показан ее фронтальный след Р_V), построим линию пересечения плоскости Р_V с плоскостью треугольника ABС → 1-2 (1₁2₁; 1₂2₂), отмечаем горизонтальную проекцию точки K → K₁ на пересечении 1₁2₁ с горизонтальной проекцией перпендикуляра, а затем находим фронтальную проекцию точки K → K₂ (рисунок 22а) по линиям связи.

 

а б

 

Рисунок 22– Определение точки врезания перпендикуляра (а)

и натуральной величины отрезка DК (б)

Этап 3. Для определения натуральной величины отрезка DK воспользуемся методом прямоугольного треугольника. Строим прямоугольный треугольник, одним из катетов которого является D₁K₁, второй катет равен разности расстояний от точек D и K до горизонтальной плоскости проекций П₁ – ΔΖ.

Гипотенуза треугольника равна искомому расстоянию от точки D до плоскости ABС (рисунок 22б). Полностью решение и оформление задачи 1 (все три этапа) показано на рисунке 23.

Рисунок 23 – Определение расстояния от точки D до плоскости ABC – полное решение задачи

 

4.2.2 Определение расстояний от точки до прямой

Задача 4. 2. Определить расстояние от точки С до прямой АВ (рисунок 24).

План решения:

а) через точку С строим плоскость, задав ее фронталью f и горизонталью h (h ₁ I А ₁ В ₁, f ₂ I А ₂ В ₂). Ориентируем эту плоскость перпендикулярно отрезку АВ, т.к. перпендикуляр из точки С на отрезок АВ обязательно лежит в этой плоскости;

б) задача свелась к нахождению точки пересечения отрезка АВ с построенной через точку С плоскостью (f ∩ h):

‑ через фронтальную проекцию А ₂ В ₂ проводим вспомогательную секущую плоскость Р_V;

‑ построим горизонтальную проекцию линии пересечения 1₁ – 2₁;

‑ там, где проекция прямой 1₁ – 2₁ пересекает проекцию отрезка А₁В₁ находится проекция точки К ₁, точка К общая и для прямой АВ, и для плоскости, заданной фронталью и горизонталью. По линии связи отмечаем положение точки К₂ на фронтальной проекции;

в) отрезок СК расположен перпендикулярно отрезку АВ (т.к. лежит в плоскости (f ∩ h)) и определяет расстояние от точки С до прямой АВ. Натуральную величину отрезка находим методом прямоугольного треугольника.

 

 

Рисунок 24 ‑ Определение расстояний от точки С до прямой АВ

 

Подготовка к контрольной работе № 1. Контрольная работа № 1 включает задачи, объединяющие темы 1, 2, 3, 4.

 

ТЕМА 5 «Преобразование чертежа методом замены плоскостей проекций»

 

Задачи по теме 5 выдаются на пятой неделе, после проведения лекции 4 [1, 2, 7].

Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал: способ преобразования комплексного чертежа с помощью замены плоскостей проекций, а именно, решение четырех основных задач преобразования чертежа:

- превращение отрезка общего положения в прямую уровня;

- превращение отрезка общего положения в проецирующий;

- превращение плоскости общего положения в проецирующую;

- превращение плоскости общего положения в плоскость уровня.

5.1 Теория к выполнению индивидуального задания

 

Решение задач методами замены плоскостей проекций сводится к выполнению четырех основных задач:

а) преобразование прямой общего положения в прямую уровня (определение углов наклона прямой к плоскостям проекций и натуральной величины отрезка прямой);

б) преобразование прямой общего положения в проецирующую (определение величины двугранного угла, расстояния между прямыми);

в) преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость (определение углов наклона плоскости общего положения к плоскостям проекций, расстояния от точки до плоскости);

г) преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня (определяется натуральная величина плоскости).

Рассмотрим вопрос «Преобразование прямой общего положения в прямую уровня» на примере определения истинной величины отрезка АВ (рисунок 25). В заданной системе плоскостей проекции V/H отрезок занимает общее положение.

Заменим плоскость проекций V новой плоскостью V₁,параллельной заданному отрезку АВ. Новая ось проекций х₁ при этом, очевидно, должна быть параллельна горизонтальной проекции ab отрезка. Для нахождения новой фронтальной проекции отрезка построены новые фронтальные проекции его концов (точек А и В ) в системе V₁/H. Новая фронтальная проекция а'₁b'₁ отрезка – истинная величина отрезка АВ. Кроме истинной величины отрезка получаем натуральную величину угла наклона отрезка АВ к плоскости проекций Н – это угол a, образованный истинной величиной отрезка АВ и осью х₁.

На рисунке 26 эта же задача решена путем замены плоскости проекций H новой плоскостью H₁. В этом случае новая ось должна быть расположена параллельно а'b'. Новая горизонтальная проекция (а₁b₁) отрезка – его истинная величина. Кроме истинной величины отрезка получаем натуральную величину угла наклона отрезка АВ к плоскости проекций V – это угол b, образованный истинной величиной отрезка АВ и осью х₁.

 

 

Рисунок 25 – Определение истинной величины отрезка АВ и угла наклона егок плоскости проекций Н

Рисунок 26 – Определение истинной величины отрезка АВ и угла наклона его к плоскости проекций V

 

Чтобы прямую общего положения АВ преобразовать в проецирующую (а₄b₄), необходимо произвести две последовательные замены плоскостей проекций. С помощью первой замены плоскости V на плоскость V₁ преобразовать прямую общего положения АВ в прямую уровня а₃b₃. С помощью второй замены плоскости H на плоскость H₁ преобразовать прямую уровня а₃b₃ в прямую проецирующую (а₄b₄)(рисунок 27).

 

 

Рисунок 27 – Преобразование отрезка общего положения АВ

в проецирующую прямую

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость. Заменим плоскость проекций V на плоскость проекций V₁ (рисунок 28а). Плоскость проекций V₁ выберем перпендикулярно плоскости треугольника АВС – новая ось проекций x₁ должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости h₁ треугольника АВС. Переносим на новую фронтальную плоскость проекций V₁ расстояния от а₂, в₂, с₂ до оси Х. На новую фронтальную плоскость проекций треугольник проецируется в виде прямой линии c₃a₃b₃. Угол a – натуральная величина угла наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций H.

 

а б

Рисунок 28 – Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость, определение угла наклона плоскости АВС к плоскостям проекций H и V

При определении угла наклона к фронтальной плоскости проекций заменим плоскость проекций H на плоскость проекций H₁ (рисунок 28б). Плоскость проекций H₁ выберем перпендикулярно плоскости треугольника АВС – новая ось проекций x₁ должна быть перпендикулярна фронтальной проекции фронтали треугольника АВС – f₂. Переносим на новую горизонтальную плоскость проекций H₁ расстояния от горизонтальных проекций точек плоскости треугольника ‑ a₁b₁c₁ до оси Х. На новую фронтальную плоскость проекций треугольник проецируется в виде прямой линии c₃a₃b₃. Угол b – натуральная величина угла наклона плоскости АВС к фронтальной плоскости проекций V.

Чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо произвести две последовательные замены плоскостей проекций. С помощью первой замены плоскости V на плоскость V₁ преобразовываютплоскость общего положения ABC в проецирующую плоскость a₃b₃c₃, с помощью второй замены плоскости H на плоскость H₁ преобразовывают проецирующую плоскость a₃b₃c₃ в плоскость уровня а₄b₄с₄ (рисунок 29).

 

Рисунок 29 – Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня, определение истинной величины плоскости треугольника АВС

 

5.2 Решение задач по теме 5

 

Рассмотрим несколько примеров, в которых применяется метод замены плоскостей проекций.

Задача 5.1. Определить расстояние от точки S до плоскости треугольника ABC (рисунок 30).

Расстояние от точки до плоскости может быть определено непосредственно на эпюре, если плоскость будет проецирующей.

Заменим плоскость V на новую плоскость проекций V₁. Плоскость V₁ выберем так, чтобы она оказалась перпендикулярной плоскости треугольника АВС. Новая ось проекции х₁ при этом должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали.

Рисунок 30 – Определение расстояния от точки S до плоскости треугольника

 

Проекция отрезка s'₁k'₁ перпендикулярна проецирующей плоскости a¢₁b¢₁c¢₁ и проецируется в натуральную величину на плоскости V₁. Поэтому для переноса проекции основанияперпендикуляра k'₁ на горизонтальную плоскость проекций H проекцию sk проводим параллельно оси x₁.

Задача 5.2. Определить углы наклона плоскостей ab // cd и Р к горизонтальной плоскости проекций (рисунок 31).

 

Рисунок 31 – Определение угла наклона плоскостей ab // cd и Р к горизонтальной плоскости проекций Н

 

Чтобыопределить угол наклона плоскостей ab // cd и Р к горизонтальной плоскости проекций, их следует превратить во фронтально проецирующие.

Заменим систему плоскостей V / H новой системой H / V₁. Новую ось X₁ проведем перпендикулярно h₁ и Р_H. Положение следа Р_H не изменяется. Он спроецируется в точку прямо на ось X₁. Для того чтобы найти направление нового фронтального следа (Р_V1) плоскости, берем на следе Р_V произвольную точку (е) и находим ее новую фронтальную проекцию (е₃). Через точки на осии e₃ проводим новый фронтальный след (Р_V1 ) плоскости. Найденный угол α и будет искомым.

 

ТЕМА 6 «Преобразование чертежа методами вращения»

 

Задачи по теме 6 выдаются на шестой неделе, после практического занятия 9 [1, 2, 7].

Для преобразования чертежа существует несколько методов вращения: вращение с указанием оси, плоско-параллельный перенос, вращение вокруг прямой уровня, вращение вокруг следа плоскости.

6.1 Теория к выполнению индивидуального задания. Четыре основные задачи

6.1.1 Первая задача: преобразование прямой общего положения в прямую уровня

а) Метод вращения с указанием положения оси вращения рассмотрим на примере определения истинной величины отрезка АВ (рисунок 32).

 

Рисунок 32 – Определение истинной величины отрезка АВ и угла наклона егок плоскости проекций V	Рисунок 33 – Определение истинной величины отрезка АВ и угла наклона егок плоскости проекций Н

 

Проекции отрезка АВ (ав и а¢в¢) занимают общее положение в пространстве, преобразуем их в положение отрезков прямой уровня. Для этого используем ось вращения i¢, перпендикулярную фронтальной плоскости проекций и проходящую через точку В отрезка. Повернём фронтальную проекцию отрезка без изменения величины проекции отрезка до положения параллельного оси x, т.е. в положение горизонтали a¢₁b₁. Горизонтальная проекция отрезка принимает новое положение: проекция точки а перемещается по перпендикуляру к оси вращения i в положение a₁. На горизонтальной плоскости проекций a₁b – истинная величина отрезка АВ и угол b – угол наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций V.

На рисунке 33 приведено аналогичное построение, но ось вращения j перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Вращая горизонтальную проекцию отрезка ab на фронтальной плоскости проекций, получаем истинную величину a ¢₁b¢ отрезка АВ и угол α –угол наклона отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекций H.

Это же решение задачи можно получить способом без указания положения осей вращения ‑ плоскопараллельным перемещением.

б) Метод вращения без указания оси вращения (плоско-параллельный перенос) приведен на рисунках 34, 35.

 

Рисунок 34 – Определение истинной величины отрезка АВ и угла наклона егок плоскости проекций V	Рисунок 35 – Определение истинной величины отрезка АВ и угла наклона егок плоскости проекций Н

6.1.2 Вторая задача: преобразование прямой уровня в проецирующую прямую

Чтобы прямую общего положения АВ преобразовать в проецирующую (а₁b₁), необходимо произвести два последовательных вращения – с помощью первого преобразоватьпрямую общего положения АВ в прямую уровня а₁b₁, с помощью второго ‑ преобразовать прямую уровня а₁b₁ в проецирующую прямую а₂b₂ (рисунок 36).

 

Рисунок 36 – Преобразование отрезка прямой общего положения АВ в проецирующую прямую плоскопараллельным перемещением

 

6.1.3 Третья задача: преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость

Для преобразования необходимо построить в плоскости общего положения горизонталь h, т.к. при вращении плоскости АВС вокруг оси i горизонтальная проекция горизонтали h должна быть расположена перпендикулярно оси x, тогда плоскость треугольника АВС проецируется в виде прямой линии a¢₁b¢₁c¢₁.

При вращении горизонтальная проекция плоскости не изменяется abс=a₁b₁c₁. Фронтальные проекции точек a¢b¢c¢ плоскости перемещаются по перпендикуляру к оси вращения i¢ в положение a¢₁b¢₁c¢₁ (рисунок 37). Угол a – натуральная величина угла наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций H.

Это же решение задачи можно получить способом без указания положения осей вращения (плоскопараллельным перемещением) (рисунок 38).

Для этого горизонтальную проекцию горизонтали h перемещаем перпендикулярно оси x, тогда плоскость треугольника АВС проецируется в виде прямой линии a¢₁b¢₁c¢₁.

 

Рисунок 37 – Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость, определение угла наклона плоскости АВС к плоскости проекций H, ось вращения i	Рисунок 38 – Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость, определение угла наклона плоскости АВС к плоскости проекций H, ось вращения не указана

 

6.1.4 Четвертая задача: преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня

Чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня необходимо произвести два последовательных вращения проекций – с помощью первого вращения преобразоватьплоскость общего положения ABC в плоскость проецирующую a¢₁b¢₁c¢₁; с помощью второго вращения преобразовать проецирующую плоскость a ¢₁b¢₁c¢₁ в плоскость уровня а₂b₂с₂ (рисунок 39).

Рисунок 39 – Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня, определение истинной величины плоскости плоскопараллельным перемещением

Четвертую задачу преобразования удобно решать методом вращения вокруг прямой уровня.

Истинную величину плоской фигуры можно определить путем одного вращения ее вокруг оси, параллельной плоскости проекций, т.е. вокруг горизонтали или фронтали.

На рисунке 40 определена истинная величина треугольника abc вращением его вокруг горизонтали ch до положения, параллельного плоскости H. Точки c и h находятся на оси вращения. Они при вращении треугольника своего положения не изменяют. Точки b и a в пространстве перемещаются по окружностям с центрами, расположенными на оси вращения c₁h₁, т.е. на горизонтали h. Дуга окружности, которую описывает при вращении точка b₁,проецируется на плоскость H в виде прямой, перпендикулярной к c₁h₁. Точкапересечения o₁ этой прямой с c₁h₁ будет являться горизонтальной проекцией центра вращения точки b,фронтальная проекция его — точка о₂.

Истинная величина радиуса R вращения точки b (о₁b₀)определена способом прямоугольного треугольника. На пересечении дуги этого радиуса, описанной из точки о₁ с продолжением перпендикуляра o₁b₁,получена проекция b₀ повернутой точки b. Затем точка b₀ соединена с точкой h₁ ‑ получено новое направление стороны ab. Положение точки a₀ найдено на пересечении перпендикуляра, проведенного из точки a к прямой c₁h₁,и прямой b₀h₁,определяющей новое направление стороны ab.

 

Рисунок 40 ‑ Нахождение натуральной величины треугольника

вращением вокруг горизонтали