Общая теория относительности и атомные часы

 

В настоящее время в качестве фундамента для построения различных космологических моделей используется общая теория относительности. И вместо того чтобы рассматривать общую теорию относительности как самостоятельную теорию, её, как правило, объединяют со специальной теорией относительности и называют такое объединение «теорией относительности». При этом говорят о теории относительности как об одном из двух столпов (второй столп – квантовая механика) современной физики.

Такое объединение двух разных теорий в одно целое выглядит, по крайней мере, странным. Специальная теория относительности – это теория, проверенная с высокой степенью точности в многочисленных экспериментах, и, кроме того, её уравнения используются в инженерных расчётах. Но экспериментальная база, лежащая в основе общей теории относительности, чрезвычайно скудна. Это три небольших теста, проверенные с точностью около 0,1%. Вот они: смещение перигелия Меркурия; отклонение луча света, проходящего вблизи Солнца; гравитационное смещение спектральных линий.

При этом гравитационное смещение спектральных линий нельзя всерьёз рассматривать как подтверждение общей теории относительности, так как этот эффект вытекает из любой теории гравитации, в которой выполняется закон сохранения энергии (см., например, [52,165,195]). Что касается смещения перигелия Меркурия, то этот эффект не был предсказан общей теорией относительности, а был объяснён, что называется, «задним числом» (может, объяснить, что такое «задним числом»?). И остаётся только один эффект – отклонение световых лучей в гравитационном поле. Согласно общей теории относительности луч света, проходя вблизи Солнца (или другого массивного тела) отклоняется на угол в два раза больший, чем следует из ньютоновской теории гравитации. Но в два раза большее отклонение луча можно объяснить и тем, что кинетическая энергия фотона равна mc ², а не mc ²/2 [194,с.71]. Получается, что общая теория относительности до сих пор не проверена экспериментально.

В книге «Тайны гравитации» [195] был представлен развёрнутый критический анализ общей теории относительности, а также предложен простой эксперимент, который смог бы опровергнуть эту теорию (см. также [194]). Поэтому здесь мы разберём этот вопрос вкратце.

Основной идеей общей теории относительности является связь между материей и геометрией. Материя (вещество и излучение) движется в пространстве-времени и влияет на его геометрию. Это, безусловно, красивая и интересная идея, но она нуждается в дальнейшей доработке. Потому что масса или энергия – это наблюдаемые физические величины, которые можно непосредственно измерить. А искривление пространства-времени – это геометрическая абстракция. И именно поэтому необходимо раскрыть её физический смысл.

Например, мы помещаем стандартные (эталонные) часы и стандартную метровую линейку в гравитационном поле – на поверхность огромной массы. При этом согласно общей теории относительности длина метровой линейки уменьшается, и скорость хода часов также уменьшается. Уменьшение метровой линейки означает следующее. Если мы измерим при помощи этой линейки радиус r окружности, в центре которой находится большая масса, и её длину , то вместо того чтобы получить , мы получим (рис. 10). Это произойдёт потому, что при измерении радиуса, по мере приближения к большой массе, длина метровой линейки будет уменьшаться. И в результате мы получим для радиуса большее число метров, чем намерили бы в отсутствии большой массы (см., например, [88,с.389] или [194,с.64]).

А что означает понижение скорости хода стандартных часов? Предположим, что первая лаборатория находится на поверхности большой массы, а вторая – вдали от неё. В этом случае наблюдатель в первой лаборатории, глядя через телескоп на вторую лабораторию, обнаружит, что все процессы протекают в ней несколько быстрее, чем у него. И наоборот, наблюдатель второй лаборатории увидит, что все процессы в первой замедлились.

 

Длина стандартной линейки

 

 

Большая масса

 

Рис. 10. Длина стандартной линейки уменьшается вблизи большой массы. Поэтому, измеряя этой линейкой расстояния, мы обнаружим, что длина окружности, в центре которой находится большая масса, меньше, чем 2p´радиус.

 

Таким образом, согласно общей теории относительности эталоны времени и длины изменяются вблизи большой массы. Но ведь любые часы и линейки состоят из атомов. Поэтому вместо того чтобы рассматривать некие абстрактные часы и линейки, нужно рассмотреть, как изменятся в гравитационном поле реальные часы и линейки, которые используются в настоящее время как наиболее точные.

Наиболее точные современные часы основаны на квантовых стандартах частоты. Скорость хода таких часов определяется частотой электромагнитной волны, испускаемой при определённом атомном переходе. Чем выше частота электромагнитной волны, тем быстрее идут часы.

А частота электромагнитной волны w определяется, в свою очередь, разностью энергетических уровней в атоме D Е и величиной постоянной Планка ħ:

(3.1)

Если скорость хода атомных часов изменяется в гравитационном поле, то это означает, что изменяется частота квантового генератора, лежащего в их основе, то есть изменяется атомная частота. Следовательно, изменяется либо разность энергетических уровней в атоме D Е, либо величина постоянной Планка ħ, либо и то и другое.

А почему частота излучения атома должна измениться в гравитационном поле, то есть вблизи большой массы? Иначе говоря, какие изменения должны произойти в атоме, который находится вблизи большой массы?

Рассмотрим два атома водорода: первый находится на земной поверхности, второй – на высоте Н (рис. 11).

 

 

 

Из-за того, что гравитационная энергия связи с Землёй первого атома больше, его масса будет меньше. Это так называемый дефект массы, равный гравитационной энергии связи, делённой на квадрат скорости света. Для того чтобы поднять первый атом на высоту Н, ему необходимо сообщить энергию E = mgH. А вместе с энергией он, соответственно, получит дополнительную массу:

(3.2)

Мысль о том, что масса покоя какого-либо тела должна уменьшиться в гравитационном поле (вблизи большой массы), была высказана Эйнштейном ещё в 1912 году [190] (см. также [67] и [195]).

Итак, масса покоя протонов, нейтронов и электронов в нижнем атоме меньше, чем в верхнем на относительную величину gH / c ². К чему это приведёт?

Рассмотрим самый простой атом – атом водорода, состоящий из одного протона и одного электрона. В общем случае движение электрона в атоме описывается волновым уравнением Шрёдингера. Но для описания движения электрона в атоме водорода можно воспользоваться более простой теорией – теорией Бора, которая в данном случае также даёт правильный ответ.

 

Напомним постулаты теории Бора.

1) Электрон вращается вокруг протона в атоме водорода по круговой орбите под действием кулоновской силы F_e и в соответствии с законами Ньютона (система СГСЭ):

(3.3)

Здесь m – масса электрона, V – скорость с которой он движется по орбите, a – центростремительное ускорение, а R – радиус орбиты (рис. 12).

2) Электрон может двигаться только по такой орбите, на которой момент импульса электрона L равен целому числу, умноженному на постоянную Планка:

L = m V r = n ћ, n = 1, 2, 3, 4 … (3.4)

3) Двигаясь по такой орбите, электрон не излучает.

4) При переходе электрона с орбиты с порядковым номером k на орбиту с номером (k > ) излучается фотон с частотой w:

w = (3.5)

Здесь E_k - энергия электрона на орбите k, а - его энергия на орбите .

Давайте теперь, исходя из боровской модели атома, посмотрим, что произойдёт с атомом водорода, если его масса немного уменьшится. То есть уменьшится масса протона и электрона. Кулоновская сила притяжения электрона к протону не зависит ни от массы электрона, ни от массы протона, и поэтому эта сила не изменится. Но так как масса электрона уменьшится, то в атоме нарушится равновесие сил, выраженное в уравнении (3.3). А именно будет:

или

Здесь m * - новая масса электрона: m * < m.

Из-за нарушения баланса сил электрон получит дополнительное ускорение в направлении ядра и перейдёт на более низкую орбиту R *. Скорость электрона при этом возрастёт и станет равной V*. И в результате равновесие сил восстановится:

А как при этом изменится момент импульса электрона?

Если масса электрона уменьшится, то в той же самой пропорции, соответственно, уменьшатся импульс электрона p = mV и момент импульса электрона L = mVR. Электрон получит дополнительное центростремительное ускорение (это следует из уравнения (3.3)) и перейдёт на более низкую орбиту. При переходе на более низкую орбиту скорость и импульс электрона возрастут, но момент импульса не изменится, потому что момент импульса частицы сохраняется при её движении в центрально симметричном поле [86,§9].

Таким образом, момент импульса электрона, во-первых, уменьшится пропорционально уменьшению массы электрона, а, во-вторых, при последующем переходе электрона на более низкую орбиту, не изменится. В результате момент импульса электрона L уменьшится пропорционально уменьшению массы электрона m:

L ~ m (3.6)

Момент импульса электрона равен постоянной Планка, умноженной на целое число (3.4), и если атом находится в основном состоянии, то момент импульса электрона равен постоянной Планка. Поэтому постоянная Планка уменьшится в гравитационном поле точно так же, как и момент импульса электрона, то есть пропорционально уменьшению массы электрона:

ħ ~ m (3.7)

С учётом (3.2) получаем:

(3.8)

(3.9)

Здесь m ₀, m_H – массы покоя электрона на поверхности Земли и на высоте Н; ħ ₀, ħ_H – величины постоянной Планка на поверхности Земли и на высоте Н.

Теперь, используя уравнения квантовой механики, мы сможем рассчитать, как изменится частота излучения атома водорода, поднятого на высоту Н над земной поверхностью.

Уровни энергии E_n атома водорода определяются формулой Бора [85,§68]:

(3.10)

Здесь n – порядковый номер уровня, m – масса электрона, а m_P – масса протона. При переходе электрона с уровня Е_n на уровень Е_k (n > k) излучается фотон с энергией:

e = ћ w= Е_n – Е_k

и частотой:

w = (Е_n – Е_k)/ ћ

Учитывая, что заряд в гравитационном поле не изменяется, и то, что массы протона и электрона изменяются в одинаковой пропорции, получаем:

w ~ (3.11)

С учётом (3.8) и (3.9), получаем:

(3.12)

Здесь w₀, w _Н – соответственно, частоты излучения атома водорода на земной поверхности и на высоте Н. При выводе уравнения учитывалось, что gH «c ².

Итак, основываясь на простом уравнении для энергетических уровней в атоме (3.10), мы пришли к выводу, что частота атома понижается при его подъёме над земной поверхностью. И, следовательно, скорость хода атомных часов должна также понижаться с увеличением высоты. Поэтому мы приходим к выводу об ошибочности общей теории относительности, согласно которой скорость хода атомных часов должна возрастать с увеличением высоты.

Эта тема подробно обсуждается в [195], там же разобраны основные ошибки, которые совершил Эйнштейн при построении своей теории гравитации.