Математическое моделирование с использованием эвм

 

В настоящее время, в связи с интенсивным развитием персональных ЭВМ, в науке, производстве, образовании как метод исследования и прогнозирования поведения различных объектов и систем широко используется компьютерное моделирование. Основой компьютерного моделирования является математическое моделирование, теоретической базой – прикладная математика, технической базой – персональные ЭВМ.

В общем случае при математическом моделировании изучаемого объекта с использованием ЭВМ выполняются следующие взаимосвязанные этапы:

1. Постановка задачи исследования;

2. Создание математической модели;

3. Компиляция математической модели

4. Проведение расчетов на ЭВМ:

- проверка адекватности модели;

- идентификация;

- вычислительный эксперимент;

5. Анализ результатов, принятие решений.

 

 

 

Рассмотрим содержание каждого из этапов.

 

1. На данном этапе осуществляется формулирование задачи, которую нужно решить, и задаются параметры рассматриваемой системы. Успешное выполнение этого этапа требует проведения поиска и всестороннего рассмотрения имеющейся информации об изучаемом объекте. Это дает возможность на начальном этапе обосновать целесообразность и наметить конкретные пути проведения исследования.

 

2. Для успешного выполнения этого этапа необходимо глубокое понимание сущности поведения изучаемого объекта. При составлении математической модели следует учитывать, что сложный объект невозможно всесторонне изучить в одном исследовании. Поэтому математическую модель следует создавать исходя из задач конкретного исследования.

Построенная модель должна одновременно удовлетворять требованиям достоверности и простоты. Сложность модели определяется сложностью исследуемого объекта и степенью точности, предъявляемой к результатам расчета. Необходимо чтобы эта сложность не превосходила некоторого предела, определяемого существующими вычислительными возможностями.

Для создания достоверной и простой модели производят анализ всех факторов, влияющих на поведение изучаемого объекта. В результате выявленные факторы разделяют на главные, которые играют определяющую роль в поведении изучаемого объекта при решении поставленной задачи, и второстепенные, которыми можно пренебречь.

Создание математической модели начинается с составления математического описания исследуемого объекта, в которое на основе проведенного предварительного анализа включаются только определяющие факторы. Результаты разделения факторов также должны быть записаны в строго математической форме, фиксирующей условия допустимости введенных упрощений. Тем самым четко формулируются принятые допущения и очерчиваются границы применимости модели.

Таким образом, математическая модель – это система уравнений математического описания, включая дополнительные условия, устанавливающие границы ее применимости, и известные данные, необходимые для ее решения (начальные и граничные условия, значения различных коэффициентов, констант и т.п.).

 

3. В данном случае под компиляцией математической модели понимается оформление модели в виде, "понятным" для ЭВМ. Одним из возможных способов является составление машинной программы на каком-либо языке. В этом случае сначала выбирают численный метод, позволяющий получить решение уравнений математической модели с необходимой точностью и при минимальных затратах машинного времени, т.е. с максимальным быстродействием. При выборе численного метода необходимо проанализировать ограничения, связанные с его использованием, и учесть погрешность округления чисел в ЭВМ, которое при большом числе итераций может привести к неверному результату. Затем строят вычислительный алгоритм, т.е. составляют четкое описания последовательности вычислительных и логических действий, обеспечивающих решение, выбирают язык программирования и в завершение в соответствии с составленным алгоритмом пишется программа.

Другой возможный способ заключается в использовании стандартных программных продуктов, в состав которых уже включены необходимые численные методы. В этом случае уравнения математической модели записываются по правилам конкретного программного продукта. Следует отметить, что последний способ является менее универсальным по сравнению с первым, поскольку стандартный программный продукт обладает конечным набором встроенных функций и методов.

 

4. Вначале этапа выполняются тестовые расчеты, необходимые для тестирования математической модели и проверки ее адекватности.

Проверка адекватности – это оценка достигнутого соответствия модели изучаемому объекту. Проверка адекватности осуществляется путем сравнения результатов расчета на модели с надежными результатами, полученными в ходе эксперимента на изучаемом объекте при одинаковых условиях. При проверке адекватности уточняются также границы применимости построенной модели.

В случае недостаточной степени адекватности созданной модели проводят идентификацию, под которой понимают приведение в соответствие модели и объекта. В общем случае задачей идентификации является определение вида и параметров математической модели. В случае, когда вид математической модели установлен, решается частная задача нахождения неизвестных значений параметров (различных коэффициентов, констант и т.п.). В этом случае такая идентификация называется параметрической. Проведение идентификации возможно только при наличии экспериментальной информации о реальном изучаемом объекте. В этом случае поиск параметров осуществляется исходя из заданного критерия соответствия экспериментальных и рассчитанных по модели данных.

В случае если параметрическая идентификация не приводит к желаемой степени адекватности, приходится возвращаться к этапу составления математической модели.

В случае если желаемая степень адекватности достигнута, переходят к вычислительному эксперименту.

Вычислительный эксперимент проводят по плану, разработанному в соответствии с поставленной целью исследования. Варьируя согласно этому плану значения факторов, параметров, начальных и граничных условий, выявляют основные закономерности и влияние различных факторов на протекание процесса.

С точки зрения организации вычислительный эксперимент обладает многими преимуществами по сравнению с натурным. Вычислительный эксперимент дешевле, быстрее, проще, легко управляем. Кроме этого он допускает более широкое исследование за счет реализации большего числа вариантов и определения большего числа показателей и позволяет делать прогнозирование поведения объекта.

В тоже время, применение результатов вычислительного эксперимента ограничено рамками физического содержания созданной математической модели. Поскольку математическая модель создается на основе известных физических закономерностей, выявленных в опытах, вычислительный эксперимент никогда не заменит полностью натурный.

 

5. На этом этапе приходят к одному из трех возможных решений:

- полученные результаты надежны, достоверны, обоснованы и могут быть использованы для решения практических задач;

- полученные результаты требуют дальнейшего усовершенствования математической модели и проведения всех этапов нового цикла математического моделирования;

- полученные результаты дают возможность обоснованного упрощения сложной математической модели и получения простых методов расчета изучаемого объекта, необходимых в инженерной практике и при решении задач оптимизации.