Фалес та ідея логічного обґрунтування у геометрії

Давні греки найбільше пошановували сімох мудреців: Солона з Афін, Піттака з Мітілени (на о. Лесбос), Періандра з Коринфа, Біанта з Прієни, Клеобула з Лінди (на о. Родос), Хілона зі Спарти і Фалеса з Мілета. Шестеро з них були правителями і законодавцями. Проте першість одностайно віддавали ученому-філософу Фалесу. «За що ж ми того Фалеса славимо?» — ставиться риторичне запитання в комедії «Хмари» грецького драматурга Арістофана.

Жив Фалес наприкінці VII — в першій половині VI ст. до н.е. В молоді роки, ймовірно, був купцем і здійснив декілька подорожей у Єгипет і Вавилон. Там він почерпнув чимало знань зі скарбниці східної мудрості, а повернувшись на батьківщину, організував філософську школу. Найяскравіше Фалесова мудрість виявилась у передбаченні повного сонячного затемнення, яке сталося 28 травня 585 р. до н.е. Саме в цей день відбувалася битва мідян з лідійцями при Галісі. Геродот розповідає, що коли день перетворився в ніч, то обидва війська так налякалися, що негайно уклали мир. Найімовірніше, що своє передбачення Фалес здійснив на основі запозичених у жерців даних астрономічних спостережень. Ще перебуваючи в Єгипті, Фалес здивував тамтешнього фараона Амазіса, зумівши визначити висоту найбільших пірамід за величиною їхньої тіні. Для цього він виміряв довжину тіні від піраміди в той час, коли довжина тіні від вертикально поставленого кілка дорівнювала його висоті.

Плутарх стверджує, що Фалесу навіть не конче було чекати цього моменту. Він нібито міг скористатися і більш «теоретичним» способом, встановивши відношення між довжиною допоміжного кілка і його тінню. Йдеться, очевидно, про використання властивості пропорційності сторін подібних трикутників.

Фалес — перший учений, з ім'ям якого пов'язують доведення конкретних геометричних фактів. Неоплатонік Прокл Діодох (V ст. н.е.) у своїх коментарях до «Начал» Евкліда, посилаючись на втрачену «Історію геометрії та астрономії» учня Арістотеля Евдема Родоського (IV ст. до н.е.), повідомляє про Фалеса таке:

«Він першим довів, що діаметр ділить круг навпіл».

«Крім багатьох інших тверджень, йому належить також твердження про рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника; за давнім звичаєм, він називав ці кути не рівними, а подібними».

«Згідно з Евдемом, він відкрив, що при перетині двох паралельних прямих утворюються рівні кути, але не подав доведення цього твердження».

«Теорему про рівність двох трикутників, у яких рівні сторона і два кути, Евдем приписує Фалесу, зазначаючи, що для доведення його способу визначення відстаней до кораблів на морі необхідно використовувати саме цю теорему про рівність».

Як бачимо, останнє твердження приписується Фалесу на тій основі, що воно є ключовим у запропонованому ним способі знаходження відстаней до недосяжних об'єктів (таких, як корабель на морі). Однак, яким саме був цей метод, досі достеменно невідомо. Відомі дві можливі реконструкції Фалесового методу — «горизонтальна» і «вертикальна».

Суть першої полягає в наступному. Для знаходження відстані від доступної точки А до недосяжної точки В будують перпендикуляр АD до прямої АВ довільної довжини (рис. 1). Потім ділять його точкою С навпіл, а в точці D проводять перпендикуляр DЕ до прямої АD у протилежному до АВ напрямку. Точка Е вибирається таким чином, щоб точки В, С і Е лежали на одній прямій. Тоді довжина відрізка DЕ — шукана відстань.

Довести це дуже просто, спираючись на наведені Евдемом твердження. Крім того, на користь такої реконструкції свідчить те, що аналогічний спосіб вимірювання використовував і римський землемір Марк Юній Ніпс — свідчення про це дійшли до наших днів.

«Вертикальний» спосіб вимірювання міг полягати у визначенні кута зору АЕВ на недосяжний предмет В з позиції спостерігача, розташованого на підвищенні (на скелі чи на башті) (рис. 2), і в наступній пеленгації під цим кутом певного об'єкта С на суші, відстань до якого відома.

На користь цієї реконструкції свідчать археологічні знахідки циркулів з виском, що уможливлювали фіксацію кута зору саме до вертикалі. Як тут не згадати, що Писфетер у «Птахах» Арістофана захоплено вигукує до Метона, коли той, озброївшись циркулем і лінійкою, швидко виконує складні розрахунки: «Істинно, ти — Фалес!».

Друга реконструкція добре узгоджується з тією думкою, що свої теореми Фалес, мабуть, доводив методом суміщення поворотом (перегином). Адже з геометричної точки зору другий спосіб полягає у суміщенні трикутників АВЕ і АСЕ способом повороту першого з них навколо сторони АЕ.

Крім наведених вище чотирьох геометричних тверджень, деякі автори приписують Фалесу доведення теореми про те, що вписаний у коло кут, який спирається на діаметр, є прямим. Кажуть навіть, що за це відкриття вдячний Фалес приніс у жертву богам бика. Щоправда, одностайності у цьому питанні немає: наприклад, Аполлодор приписує доведення названої теореми Піфагору.

На перший погляд, математичні відкриття Фалеса можуть здатися сучасному читачеві не вартими тієї уваги, яка їм надається в історико-математичній літературі. Але не за геометричні твердження, які, без сумніву, були відомі і до Фалеса, а за сам факт їх логічного доведення Фалеса називають першим серед математиків. Саме з Фалесом пов'язаний початок нової епохи у розвитку науки. «Ми майже нічого не знаємо про історію цієї революції в способі мислення, — писав Іммануїл Кант. — Але легенда, передана нам Діогеном Лаертським, який повідомляє ім'я уявного винахідника дріб'язкових, за загальною думкою — навіть таких, що не потребують доведення, елементарних геометричних тверджень, показує, що згадка про зміни, викликані першими ознаками відкриття цього нового шляху, видавалась надзвичайно важливою в очах математиків і тому залишила незгладний слід у їхній свідомості».

Архімед

З усіх великих античних учених, які займалися математичними дослідженнями, Архімед залишився чи не найпривабливішим для нащадків. Вирішальним чином цьому посприяла винятково плідна його діяльність не тільки як дослідника-теоретика, але і як інженера-практика. Відомо, що Архімед керував усією інженерною службою у сіракузького царя Гієрона, в тому числі — і під час історичної оборони Сіракуз від римлян під час 2-ї Пунічної війни (Сіракузи — рідне місто Архімеда на о. Сицилія). І хоча Плутарх стверджує, що своїм механічним винаходам Архімед не надавав особливого значення, розглядаючи їх лише як «забави геометрії», проте і сучасників, і нащадків вражали в першу чергу ці його «забави».

Плутарх розповідає, що воїни римського консула Марцелла були надовго затримані біля стін Сіракуз небаченими досі машинами. В бійницях були виставлені катапульти, які скидали град ядер і каміння, берегові крани, повертаючись, зачіплювали кораблі за щогли, підіймали і скидали їх у воду, а великі ввігнуті дзеркала палили ворога вогнем. Усе це наводило на нападників невимовний жах. «Як тільки вони помічали, — пише Плутарх, — що із-за фортечного муру показується якийсь канат або колода, то з криком починали тікати, жахаючись, що ось Архімед знову придумав якусь нову машину їм на погибель».

В іншій історії повідомляється, що Архімед збудував таку систему блоків і важелів, що з допомогою неї одна людина могла спустити на воду новозбудований величезний корабель «Сіракосія», який призначався для перевезення зерна. Крилатою стала фраза, вимовлена нібито при цьому Архімедом: «Дайте мені точку опори — і я переверну Землю». Для відкачування води в разі необхідності на «Сіракосії» було встановлено ще один видатний винахід Архімеда — так званий архімедів гвинт.

Надзвичайно популярною є й історія про золоту царську корону, чистоту золота в якій Архімед перевірив на основі відкритого ним закону про виштовхувальну силу.

Архімед загинув на 75-му році життя від руки римського воїна. Сивий старець сидів, розглядаючи накреслені перед собою на піску фігури. «Не чіпай моїх креслень», — були його останні слова.

Власне математичними дослідженнями Архімед почав займатися уже в зрілому віці — після 40 років. Але це не завадило йому перевершити усіх математиків, які жили як до нього, так і впродовж багатьох наступних століть — аж до Ньютона і Лейбніца в XVII ст.

Основний напрям математичних досліджень Архімеда — вимірювання довжин, площ та об'ємів геометричних фігур. Створені ним для цього методи по суті були методами диференціального та інтегрального числення, відкритими аж через 2 тисячі років після Архімеда.

Визначним відкриттям Архімеда стали і його напівправильні многогранники, названі пізніше Архімедовими тілами.

 

Піфагор і піфагорійці

Усім добре відома теорема Піфагора про співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. На жаль, цим фактом здебільшого й обмежуються наші знання про внесок Піфагора в науку. Але Піфагор мав також інші, не менш вагомі, наукові здобутки. В першу чергу — це ідея математичного моделювання в природознавстві, а також ідея виділення першооснов (пізніше їх назвуть аксіомами) для логічної розбудови наукових теорій.

Піфагор народився на грецькому острові Самос, неподалік від Мілета — батьківщини Фалеса. Кажуть, що саме старий Фалес порадив юному Піфагору за власним прикладом вирушити на навчання у східні країни. Нібито аж 20 років Піфагор навчався мудрості в єгипетських жерців, а ще 12 років — у халдейських магів. Можливо, побував він і в Індії, бо дуже багато ідей з його філософського вчення нагадує вірування індусів.

Повернувшись на батьківщину, Піфагор не залишився на Самосі, а втік від тамтешнього правителя до вільної грецької колонії Кротон, розташованої на півдні Італії. Тут він заснував знамените науково-філософське і політичне братство. Одна з легенд стверджує, що саме тоді, тобто уже в зрілому віці, Піфагор одержав і своє ім'я — за те, що володів істиною, наче знаменитий дельфійський оракул, котрий говорив устами жриці — піфії.

Легенда стверджує, що, проходячи одного разу біля кузні, Піфагор почув навдивовижу мелодійне звучання трьох молотів, якими ковалі, куючи залізо, одночасно вдаряли по ковадлу. Зацікавившись причиною такої гармонійності, Піфагор зважив молоти. Виявилося, що їхня вага пропорційна певним початковим числам натурального ряду. Аналогічні результати дало вимірювання струн, що утворювали гармонічні (консонантні) співзвуччя при одночасному звучанні. Саме це нібито й дало Піфагору підстави вважати, що все в природі підкоряється числовим закономірностям, тобто визначається числами. «Все є число» — крилата фраза, що з'явилася в школі Піфагора. Тому вивчення чисел вважалося ключем до пізнання природи.

Громом серед ясного неба стало для піфагорійців відкриття ними несумірності сторони і діагоналі квадрата. Це відкриття означало, що навіть відношення відрізків не завжди можна виразити у вигляді відношення цілих чисел. Віра у всесильність цілих чисел похитнулася. Спочатку навіть було вирішено не розголошувати це відкриття і тримати його в суворій таємниці. Легенда стверджує, що з таким рішенням не погодився якийсь Гіппас, котрий і розголосив таємницю. За це його піддали найвищій мірі осуду серед піфагорійців — символічному похованню. Після цього Гіппас нібито й справді потонув під час морської бурі.

Як би там не було, але після цього відкриття математичні інтереси піфагорійців перемістилися з арифметики на геометрію. Відтак подальший розвиток грецької математики відбувався під знаком геометрії.

Про математичні здобутки самого Піфагора достеменно мало що відомо. За звичаєм, якого дотримувалися в його школі, усі відкриття, здійснені піфагорійцями, приписувалися Учителю, тобто Піфагору. А щоб надійно приховати знання від невтаємничених, їх передавали лише в усній формі. Тому-то й неможливо точно сказати, які з відкриттів, що приписувалися піфагорійцям, належать самому Піфагору, які — його учням чи послідовникам, а які належать іншим ученими.

Найвидатнішим математичним відкриттям, яке приписується Піфагору, є, звичайно, знаменита теорема Піфагора. З вавилонських математичних текстів відомо, що у Вавилоні про цю теорему знали принаймні за тисячу років до Піфагора. Тож цілком можливо, що Піфагор дізнався про неї під час своїх подорожей на Схід. Але безсумнівною його (чи його школи) заслугою було логічне доведення цієї теореми. Захоплені цим доведенням, нащадки Піфагора придумали навіть легенду про те, що на знак вдячності богам за це відкриття Піфагор здійснив гекатомбу — тобто приніс у жертву сто биків. Легенда, щоправда, не зовсім узгоджується з морально-етичними переконаннями піфагорійців, які були противниками будь-якої надмірності і не визнавали жертвоприношень живими істотами. Але вона яскраво передає захоплення греків силою розуму.

Як саме доводив Піфагор свою теорему, достеменно не відомо. Тепер відомо сотні різних доведень цієї теореми. Цілком можливо, що саме доведення Піфагора подає Евклід у своїх «Началах» (цікаво, що найважливіша в ідейному плані перша книга цього твору завершується якраз теоремою Піфагора).

Це доведення Евкліда базується на такому факті: площі прямокутника і трикутника, що мають спільну основу і рівні висоти (рис. 1), відносяться, як 2:1 (переконайтеся в цьому). Сама ж теорема формулюється так: «У прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий двом квадратам, побудованим на катетах».

Доведення (Евкліда). Нехай АВС — заданий прямокутний трикутник з прямим кутом С, а АСНF, ВСGК, АВЕD — квадрати, побудовані на його сторонах (рис. 2). Проведемо СL ║ АD, а потім відрізки АК, ВF, СD і СЕ. ∆ABF = ∆ADC, а ∆ВАК=∆ВЕС (за першою ознакою). Але площа ∆ABF дорівнює половині площі квадрата АСНF, а площа ∆ADC — половині площі прямокутника АDLМ. Оскільки ж трикутники рівновеликі, то рівновеликі і фігури АСНF та АDLМ. Аналогічно встановлюється, що рівновеликі фігури ВСGК та МВЕL. Цим доведенням теорема Піфагора завершується.

Символом піфагорійського братства був правильний зірчастий п'ятикутник (рис. 3). Піфагорійці носили його на грудях і таким чином могли відразу розпізнати один одного. В одній з легенд стверджується, що подорожній піфагорієць, який не мав чим розплатитися з господарем за нічліг, намалював на стіні його будинку цей знак. Згодом інший піфагорієць, який випадково побачив знайомий символ, щедро заплатив господареві за свого товариша.

Правильний зірчастий п'ятикутник можна утворити з правильного опуклого п'ятикутника, провівши в ньому діагоналі (рис. 4).

Підставою для обрання піфагорійцями символом свого братства саме цієї фігури ймовірно було те, що кожна її сторона ділиться іншими двома сторонами у так званому середньому і крайньому відношенні. Такий поділ здавна називали золотим, він вважався теоретично найдосконалішим і естетично найпривабливішим.

За означенням, точка М ділить відрізок АС (рис. 5) в середньому і крайньому відношенні (тобто визначає золотий поділ відрізка АС), якщо відношення меншої частини відрізка до більшої дорівнює відношенню більшої частини до всього відрізка: .

Неважко показати, що діагоналі правильного п'ятикутника (тобто сторони правильного зірчастого п'ятикутника) справді поділяють одна одну в середньому і крайньому відношенні. Для цього проведемо у правильному п'ятикутнику АВСDЕ (рис. 6) діагоналі АС, ВЕ та СЕ. Нехай М — точка перетину перших двох з них. Тоді чотирикутник МСDЕ — ромб, а трикутники АМВ та СМЕ подібні між собою. Звідси випливає: , що й треба було довести.

За доби Середньовіччя правильний зірчастий п'ятикутник назвали пентаграмою («пента» означає «п'ять»). Пентаграмі приписувалася здатність захищати від злих духів. Згадаймо, що саме цей знак був накреслений перед порогом доктора Фауста — Мефістофелеві довелося неабияк постаратися, щоб пролізти у щілину між пентаграмою і одвірком.

Кажуть, що піфагорійці вже знали про існування правильних многогранників і вміли будувати принаймні три з них — куб, тетраедр і додекаедр. А це свідчить про досить високий рівень їхніх здобутків і в стереометрії. Наступна епоха Платона-Арістотеля-Евкліда мала що перейняти від піфагорійців!

Символічно, що гранями одного з правильних многогранників — додекаедра, є правильні п'ятикутники. Лише через дві тисячі років після піфагорійців з'ясувалося, що з додекаедра можна отримати три правильні зірчасті многогранники, гранями яких є правильні зірчасті п'ятикутники. Цікаво, що, крім цих трьох, існує ще лише один правильний зірчастий многогранник. Але і його форма тісно пов'язана з піфагорійською пентаграмою.

Евклід і його «Начала»

Першим підручником з математики, який повністю зберігся до наших днів, були «Начала» Евкліда. Щоправда, сучасні дослідники мають справу не з оригінальним текстом Евкліда, а з перекладами «Начал» на арабську мову. Коли на уламках античної цивілізації арабські халіфи збудували свою державу, вони дуже мудро повелися з культурним надбанням підкорених народів, повністю перейнявши його. Зокрема, були перекладені арабською мовою праці найвидатніших грецьких учених Арістотеля, Архімеда, Аполлонія, Птоломея і, звичайно ж, Евкліда. Здебільшого саме завдяки арабським перекладам ці твори і дійшли до нас.

Про самого Евкліда відомо дуже мало. Народився він в Афінах і замолоду навчався у Платона або (це ймовірніше) в Арістотеля. Пізніше перебрався в Олександрію — грецьку колонію на єгипетському узбережжі Середземного моря, засновану Олександром Македонським. Переїхати до Олександрії його спонукав тамтешній цар Птоломей І — засновник великої правлячої династії. Птоломей І увійшов в історію як цар-просвітник. До Олександрії були запрошені учені мужі з усього світу. Тут при храмі Муз — дев'ятьох легендарних супутниць бога Аполлона, які опікувалися науками та мистецтвами, було побудовано великий палац Мусейон, де на повному державному утриманні жили вчені, займаючись науковими дослідженнями, філософією, поезією і мистецтвом. До їхніх послуг була також величезна бібліотека, у якій зберігалося 500 000 сувоїв наукових і мистецьких праць. На початку III ст. до н.е. сюди прибув Евклід. Працюючи в бібліотеці Мусейону, а можливо, й викладаючи геометрію його мешканцям, Евклід і створив свої «Начала».

Про відданість Евкліда науці свідчить така легенда. Нібито один з тих, хто щойно почав навчатися в Евкліда геометрії, опанувавши першу теорему, спитав учителя: «А скільки я зможу заробити, вивчивши все це?» Тоді Евклід покликав раба і наказав: «Дай йому три оболи (обол — дрібна монета), бо цей сіромаха хоче заробити гроші своїм навчанням». Антична наука була аристократичною, її завданням був пошук істини заради самої істини. Будь-який практичний зиск вважався недостойним справжнього мудреця. Лише софісти навчали за гроші. Тому ставлення до них було не вельми прихильним. Вищенаведена легенда увійшла до «Каталогу грецьких геометрів», складеного неоплатоніком Проклом Діодохом Візантійським у V ст. н.е., тобто через сім століть після смерті Евкліда. Протягом деякого часу Прокл жив і працював у тій же Олександрії, що й раніше Евклід.

На два століття випереджає Прокла інше авторитетне свідчення про Евкліда, залишене олександрійським математиком Паппом. Повір'я, яке передає Папп, змальовує Евкліда як людину винятково чесну, тиху і скромну, повністю вільну від гордощів та егоїзму.

І Папп, і Прокл склали свої коментарі до «Начал» Евкліда, запропонувавши удосконалення окремих доведень з метою надання їм більшої обґрунтованості та для легшого засвоєння.

Слід зазначити, що спроби укладання підручників для початкового ознайомлення з геометрією робилися і до Евкліда. Про це повідомляється в деяких історичних джерелах. Але твір Евкліда виявився настільки змістовним і досконалим, що після його оприлюднення про інші швидко забули. Тому-то жоден з них і не зберігся.

Своїм твором Евклід подав класичний зразок для побудови не тільки математичних, але й інших наукових теорій. За цим зразком спочатку наводиться перелік основних понять і відношень даної теорії, далі формулюються основні властивості цих понять і відношень (аксіоми), потім вводяться нові означення, доводяться нові теореми і т.д.

Як виявилося, цією логічною схемою можна послуговуватися і в інших науках. Тепер це називається аксіоматичним методом і є досить поширеним засобом наукового пізнання. Сам Евклід вдався до аксіоматичного підходу в оптиці, написавши про це спеціальний твір. Пізніше Архімед таким способом викладав окремі питання механіки. Класичним втіленням аксіоматичного методу поза математикою стала фундаментальна праця Ньютона «Математичні начала натуральної філософії», в якій, зокрема, виводяться, як теореми, закон всесвітнього тяжіння та закони Кеплера для руху планет навколо Сонця. Як і Евклід, Ньютон також спочатку формулює аксіоми механіки, а потім виводить наслідки з них — теореми. Навіть самою назвою своєї праці, в якій фігурує слово «начала», Ньютон підкреслює свою прихильність до традиції, закладеної Евклідом.

У сучасній науці аксіоматичний метод набуває дедалі більшого поширення. І не суттєво, що аксіоми часто називаються інакше — постулатами, принципами, правилами чи законами. Важливо те, що з цих вихідних положень нові твердження виводяться уже суто логічним шляхом.

«Начала» Евкліда складаються з 13 розділів. Кожен розділ був написаний на окремому сувої пергаменту і в ті давні часи називався книгою. В друкованому вигляді весь твір займає тепер одну книгу обсягом приблизно 400 сторінок.

Перші шість розділів «Начал» були присвячені планіметрії. Наступні чотири — геометричній теорії дійсних чисел та пропорційності. В останніх трьох розділах викладалася стереометрія. Завершувався твір побудовою так званих правильних многогранників, які тоді відігравали ключову роль в філософії природи.

Майже 2,5 тисячі років ознайомлення з геометрією відбувалося винятково за «Началами» Евкліда або за спрощеними варіантами цієї праці. Навіть сучасні підручники мають з «Началами» багато спільних рис. Приміром, і досі планіметрія та стереометрія викладаються окремо, причому приблизно в такому ж порядку і обсязі, що й в Евкліда. Через те й увесь курс геометрії, що вивчається в школі, часто називають евклідовою геометрією.