Ще одна філософська основа геометрії

Запропонований Евклідом V постулат вирізнявся з-поміж усіх інших початкових тверджень, покладених ним в основу геометрії, надто довгим формулюванням. Тому згодом виникла думка про можливість доведення цього твердження як теореми. А оскільки в античній науці найбільш істинними вважалися знання, виведені логічним шляхом з якомога меншої кількості припущень, то доведення V постулату, яке дозволило б вилучити це твердження з числа аксіом геометрії, означало б в очах тогочасних учених надання цій науці ще більшої достовірності. Це пояснює, чому за цю проблему взялися з винятковою заповзятістю.

Великі пошуки

Однак проблема виявилася не такою простою, як здавалося на перший погляд. У різні часи і в різних місцях за неї бралися найвидатніші математики. Але бажаного результату не досягали. У «доведеннях», які час від часу все ж таки пропонувалися, при більш ретельнішому аналізі виявлялася одна і та ж логічна вада: використовувалися твердження, які, хоча й були наочно очевидні, але не зафіксовані як аксіоми. Більше того, самі ці твердження виявлялися так само еквівалентними V постулату, як йому еквівалентна сучасна аксіома про паралельні прямі. Тому в усіх цих «доведеннях» здійснювалося хибне логічне коло, тобто використовувалося якраз те, що і треба було довести.

Потрапляли в це хибне коло навіть найвидатніші математики. Наприклад, Лежандр у своєму «доведенні», яке він помістив навіть в одному з численних видань своїх «Початків геометрії», використовував таке, здавалося б очевидне і незаперечне твердження: через точку А, взяту всередині кута О (рис.6), завжди можна провести пряму, яка перетинає обидві його сторони. Пізніше Лежандр помітив цю свою помилку, і в наступному виданні його підручника V постулат Евкліда знову зайняв своє звичне місце серед аксіом.

Нарешті, на початку XIX ст. безуспішність численних спроб довести V постулат наштовхнули тоді ще молодого викладача Казанського університету, а пізніше всесвітньо відомого математика Миколу Івановича Лобачевського (1792-1856) на думку, що доведення, про яке мріяло так багато учених, насправді неможливе.

Для підтвердження цієї своєї здогадки Лобачевський почав крок за кроком виводити логічні наслідки з посиланням на твердження, яке було запереченням V постулату Евкліда. Якби таким способом вдалося прийти до суперечності, то це означало б, що зроблене припущення хибне, отже, істинний V постулат. А це й було б омріяним доведенням. Проте суперечності не виникало. Одержані наслідки, щоправда, разюче суперечили щоденному фізичному досвіду. Але логічної суперечності між ними не було. З цього Лобачевський зробив сміливий висновок про неможливість логічного доведення V постулату Евкліда, а одержану низку наслідків з його заперечення назвав «уявною» геометрією.

Це феноменальне відкриття поклало початок нової ери в математиці — ери математичних теорій, побудованих на різних системах аксіом. «Уявна» геометрія Лобачевського стала першим прикладом аксіоматичної теорії, відмінної від евклідової геометрії. За це відкриття англійський математик Джеймс Сильвестр (1814-897) назвав Лобачевського «Коперником геометрії».

Заради справедливості слід відзначити, що до того ж відкриття, що й Лобачевський, незалежно від нього і майже одночасно з ним прийшли ще два учені — німецький математик Карл Фрідріх Ґаусс (1777-1855) та угорський математик Янош Больяі (1802-1860). Однак їхні дослідження з цієї проблеми не були такими масштабними, а виступи в наукових колах із захистом нових поглядів такими сміливими, як Лобачевського.

 

Кутомірні інструменти

Проблема вимірювання кутів вперше постала перед людьми ще в сиву давнину. Необхідність точного визначення положення Сонця і зірок на небі стимулювала створення спеціальних приладів для визначення кутів, під якими видно ці небесні світила. Одним із перших кутомірних інструментів була астролябія, винайдена Гіппархом (180–125рр. до н.е.), а пізніше удосконалена Регіомотаном (1436–1476). Вона складалася з важкого мідного диска — лімба (рис. 1), який підвішувався за кільце у вертикальному положенні.

Лінія займала горизонтальне положення. По краю лімба наносилася шкала, розділена на градуси. До лімба кріпилася стрілка , що називалась алідада, яка могла обертатися відносно центра лімба і мала на кінцях поперечні пластинки з отворами — діоптри. Для визначення висоти зірки над горизонтом спостерігач прикладав око до нижнього діоптра і повертав алідаду так, щоб зірку було видно і через другий діоптр. Поділка на шкалі, на якій зупинявся край алідади, і вказувала висоту зірки в градусах над горизонтом, відзначаючи фактично градусну величину дуги .

Розташувавши площину лімба горизонтально, можна було вимірювати кути і в горизонтальній площині. Для цього після встановлення астролябії алідаду наводили спочатку на один об'єкт спостереження і засікали кут на шкалі лімба, а потім — на другий об'єкт і також засікали кут. Різниця між цими кутами дорівнювала куту відхилення напрямку на один об'єкт відносно напрямку на інший.

Іншим інструментом для вимірювання кутів був квадрант, що являє собою 1/4 частину астролябії. Він мав ту перевагу перед астролябією, що його можна було зробити значно більших розмірів і тим самим збільшити точність вимірювання кутів. На рис. 2 зображено один із квадрантів, сконструйованих видатним данським астрономом Тіхо Браге (1546 – 1601).

Суттєві вдосконалення в конструкції астролябії і квадранта були внесені французьким вченим Жаном Пікаром у середині XVII ст. Пікар замінив діоптри підзорною трубою, винайденою незадовго до нього Галілеєм. Перед лінзою труби він встановив сітку з пересічних волосин, а для плавного руху алідади використовував мікрометричний гвинт, що значно підвищувало точність вимірювань.

Найдосконалішим кутомірним інструментом, що застосовується і в наш час при виконанні геодезичних робіт, є теодоліт (рис. 3).

Теодоліт має два лімби, розміщені у вертикальній і горизонтальній площинах, що дозволяє вимірювати вертикальні і горизонтальні кути одночасно. На вертикальному лімбі розміщена підзорна труба, з допомогою якої алідада вертикального і горизонтального лімбів наводиться на об'єкт спостереження. Точність вимірювання при цьому складає частки мінути.

Одним із найважливіших застосувань вимірювання кутів є знаходження відстаней до недоступних предметів. Нехай потрібно виміряти відстань від пункту А на березі до корабля К, щознаходиться в морі (рис. 4). На березі вибирається ще один пункт В. Вимірюється відстань АВ та кути А і В у трикутнику АВК. Після цього за теоремою синусів легко знайти відстань АК.