Як блез Паскаль став геометром

Предмет математики настільки серйозний, що не варто нехтувати жодною нагодою, щоб зробити його ще й трохи цікавим.

Найкращі книги — це ті, при читанні яких кожен вірить у те, що він і сам міг би їх написати.

Міркуючи про речі земні, ми кажемо: потрібно їх пізнати, щоб полюбити.

З «Думок» Блеза Паскаля

Те, що перевершує геометрію, перевершує й нас.

Усе повинно бути доведено, і при доведенні не можна використовувати нічого, крім аксіом та раніше доведених теорем.

Блез Паскаль

Біографи Блеза Паскаля (1623–1662) — різностороннього вченого, філософа, першовідкривача відомого фізичного закону про тиск рідин і газів — розповідають про такий дивовижний факт з його життя. Змалечку, прислухаючись до розмов, що велися в оселі Паскалів під час зібрань провідних тогочасних учених, Блез, звісно, часто чував про геометрію. Тому й запитав у батька одного разу, що то таке. Той, не бажаючи обтяжувати хворобливого і кволого сина ще й математичними заняттями і вбачаючи його майбутнє у вивченні стародавніх мов, неохоче відповів, що геометрія — це, мовляв, така не вельми поважна наука, що вивчає властивості різноманітних паличок, кружечків, коліщаток та інших подібних речей. Проте навіть такого «пояснення» юному Паскалю вистачило для того, щоб самостійно відкрити основи геометрії. Ввівши власну термінологію, креслячи фігури крейдою на підлозі, він самостійно, за допомогою логічних міркувань, дійшов аж до теореми про суму кутів трикутника. Яким же було здивування батька, коли одного разу він застав сина за доведенням непростої геометричної теореми! Батько зрозумів, бо й сам був добрим геометром, що Блез має іскру Божу до математики і вже не лише не перешкоджав, а й всіляко сприяв розвитку синового обдарування.

Цей (без сумніву, дещо прикрашений) епізод яскраво ілюструє дедуктивний характер геометрії. З іншого боку, він красномовно вказує й на основне джерело виникнення геометрії — логічний аналіз мисленнєвих образів предметів, що реально існують у навколишньому світі.

Додамо у зв'язку з цим, що ретельного логічного аналізу потребували навіть найпростіші геометричні поняття (точки, прямої і площини). Ще Евклід у своїх «Началах» давав їм явні означення. Наприклад, точку він означав як «те, що не має частин», а пряму — як «лінію, що однаково розміщена відносно всіх своїх точок»; саму ж лінію Евклід трактував як «довжину без ширини». Але намагання дати чомусь явне означення є спробою підвести це «щось» під поняття, яке вважається відомим. Наприклад, коли ми означаємо ромб як паралелограм, у якого всі сторони рівні між собою, то вважаємо, що поняття паралелограма нам уже відоме. Зрозуміло, що цей процес не повинен тривати нескінченно. Тому в сучасних викладах геометрії він зупиняється на найпростіших поняттях, означень яких у явному вигляді не приймають (інколи неправильно кажуть, що ці поняття взагалі приймаються без означень), а в неявному вигляді означають за допомогою аксіом.

Слід, однак, зауважити, що первісні поняття геометрії є найпростішими тільки з погляду логіки, тобто в тому розумінні, що вони найпростіше означаються — аксіомами, і всі відразу. Натомість із погляду сприйняття, тобто створення в уяві відповідних образів, їх найпростішими не назвеш. Наприклад, уявити обмежений відрізок значно простіше, ніж необмежену пряму. Однак поняття прямої в геометрії є первісним, а поняття відрізка — похідним.

Що ж до відбору самих аксіом, то це в історії геометрії було якщо не найважчою, то, безперечно, найдраматичнішою сторінкою — зокрема, вельми складною виявилася доля аксіоми про паралельні прямі, яку протягом двох тисячоліть намагалися довести як теорему.

Феофан Прокопович

(1681–1736)

Протягом тривалого часу «Начала» Евкліда, а також коментарі та додатки до них, складені пізнішими авторами, фактично уособлювали всю математичну науку. Згодом, коли головним предметом інтересу вчених стали етико-філософські і теологічні проблеми, твір Евкліда почали вважати вершиною математичної мудрості, обмежуючись ґрунтовним вивченням лише перших його розділів, у яких викладалися основи планіметрії.

Водночас шанобливе ставлення до самої математики в культурному середовищі зберігалося завжди, і математичні знання вважалися необхідним атрибутом справжньої освіченості.

Першим навчальним закладом на українських теренах, в якому математиці почали надавати значної ваги, була знаменита Києво-Могилянська академія. А вирішальну роль у цьому відіграв ректор академії, відомий учений, просвітитник, релігійний і культурний діяч Феофан Прокопович.

Статус академії Києво-Могилянський колегіум, відкритий ще у 1632р., здобув, за царським указом, у 1701 році. Упродовж усієї історії свого існування цей навчальний заклад був авторитетним освітнім і культурним центром не лише в Україні, але й в цілій Східній Європі. Випускники академії пропагували передові суспільно-політичні та культурологічні ідеї, займали високе становище як у релігійному, так і в світському житті суспільства.

Феофан Прокопович народився у Києві, як пише біограф, «у статечних батьків». У 17 років він успішно закінчив Києво-Могилянський колегіум. Бажаючи продовжувати навчання і далі, прийняв унію. Після закінчення Володимир-Волинської єзуїтської колегії, як кращий її випускник, був направлений до римської колегії св. Афанасія. Здібний юнак і там відзначився своїми успіхами: зокрема, здобув право працювати у Ватиканській бібліотеці.

Близько 1704 р. Прокопович повернувся до Києва і в 1705 р. став викладачем Академії, а через 7 років його було призначено ректором.

До обов'язків ректора входило викладання курсу геології. Скорочуючи, а часто і зовсім відкидаючи традиційні схоластичні міркування, Прокопович натомість поповнював свої лекції новими відомостями з «європейських» наук. Зокрема, він був серед перших пропагандистів передового на той час філософського раціоналістичного вчення Декарта, а також революційних фізичних доктрин Коперника та Галілея. Особливою заслугою ректора стало те, що він зумів знайти час і для вивчення математики, яка до того не входила до програми викладання. У передмові до курсу математики Прокопович говорить: «Викладаючи філософію, я пообіцяв подати принаймні чотири її розділи: діалектику, фізику, етику та метафізику, бо математичні науки такі численні й трудомісткі, що вимагають для себе окремого місця. Однак, частково за своїм власним наміром, частково йдучи назустріч бажанням інших, я вирішив у ті самі два роки, визначені для викладання філософії, присвятити вільні години і час, що залишається від інших дисциплін, роз'ясненню деяких найважливіших розділів математики. Ми не маємо наміру, та й не передбачено для цього можливостей викладати математичну науку в повному обсязі, подаємо тільки ті її розділи, які я, наскільки зміг засвоїти їх шляхом самостійного вивчення і читання, не чувши живого слова викладачів, у свою чергу охоче передам іншим, а саме — арифметику та геометрію. Вони ж бо суть перші, але, разом з тим, найширші основи всієї математичної науки: адже від них починаються найскладніші астрономічні розрахунки».

За основу свого курсу математики Феофан Прокопович узяв «Начала всіх математичних наук» німецького математика і філософа Крістіана Вольфа (1679-1754). На той час ця книга була однією з найкращих навчальних книг у Європі. Водночас по суті це було адаптоване і дещо доповнене видання все тих же «Начал» Евкліда.

Пропаганда математичних знань, здійснена Прокоповичем у стінах Києво-Могилянської академії, стала тим фундаментом, на якому пізніше математичні науки зросли і на наших теренах.

Леонард Ейлер

(1707–1783)

Леонарду Ейлеру незмірне поталанило на самому початку його життєвого шляху. Ще під час навчання в «молодшому філософському класі» (що відповідав сучасній гімназії) на його надзвичайні математичні здібності звернув увагу професор Базельського університету Йоганн Бернуллі — представник знаменитої швейцарської родини науковців і природодослідників Бернуллі. Йоганн Бернуллі займався з Леонардом у себе вдома по суботах, пропонуючи для студіювання найтрудніші математичні книги. Через тиждень учень спочатку звітував про прочитане, потім отримував необхідні консультації з метою усунення «темних» місць з прочитаного, нарешті, — завдання на новий тиждень. Така форма роботи приводила Леонарда в захоплення. Пізніше він писав: «Причому це настільки досягало поставленої мети, що коли професор усував переді мною одну з перешкод, то після цього відразу ж зникало десяток інших, а це, зрозуміло, є найкращий метод, щоб досягти помітних успіхів у математичних науках». Під керівництвом Йоганна Бернуллі молодий Ейлер досяг пізнання вершин тогочасної математичної науки і був готовий розпочати власні математичні дослідження. Йому потрібні були лише умови для роботи.

На жаль, ці такі прості необхідні і достатні умови були виконані не на батьківщині Ейлера. І все своє подальше життя він проведе за її кордонами — спочатку в Петербурзі (з 1727 по 1741р.), потім у Берліні (по 1766 р.), нарешті — знову і тепер уже назавжди — в Петербурзі.

Виняткові умови, які створювалися для Ейлера-ученого, особливо в Росії, сприяли і якості, і кількості його наукових досліджень. Він незмірно збагатив і розширив усі існуючі тоді напрямки математичних досліджень, окремі з них створив фактично одноосібно (наприклад, усю сучасну тригонометрію), а деякі відкриття належно поціновані вже після його смерті. Зокрема, фундаментальне значення теореми Ейлера для многогранників стало зрозумілим лише в XX столітті. Більшість його праць є навдивовижу сучасними навіть за формою, оскільки саме Ейлеру ми завдячуємо значною кількістю математичних символів, які застосовуються і в сучасній математиці. «Ейлер повів за собою наступні покоління і навчив їх думати й писати так, як думав і писав сам», — говорив про нього наш великий співвітчизник М.В. Остроградський.