Декілька штрихів до «портрета» геометрії

Характерною особливістю геометрії, яка вирізняє її з-поміж інших математичних наук, є те, що геометричні поняття і відношення між ними перебувають у безпосередній відповідності з просторовими формами фізичного світу, що сприймаються людиною візуально та з допомогою інших органів відчуття. У зв'язку з цим кажуть, що геометричні поняття є наочними, а їх дослідження зазвичай супроводжуються графічними ілюстраціями (рисунками). Це не тільки значно полегшує вивчення геометрії, а й слугує джерелом для плідного застосування геометричних моделей в інших розділах математики, а також в інших науках: графіків функцій — в алгебрі, геометричного змісту похідної — в аналізі, правила паралелограма для додавання сил — в механіці, силових ліній — в електромагнетизмі тощо. Геометрія, таким чином, є своєрідним арсеналом засобів для побудови наочних моделей в інших науках. Маючи на увазі саме цю особливість геометрії, Галілео Галілей писав, що «книга природи» написана мовою, алфавіт якої складають «трикутники, чотирикутники, круги, кути, конуси, піраміди та інші геометричні фігури».

Водночас побудова графічної ілюстрації не є засобом для встановлення відповідного геометричного факту. Єдиним таким засобом є доведення (виведення, обґрунтування) на основі раніше доведених тверджень (теорем, властивостей, ознак, критеріїв тощо) або безпосередньо на основі аксіом — найпростіших геометричних фактів, які приймаються без доведення. У зв'язку з цим кажуть, що геометрія є дедуктивною (тобто вивідною) наукою. Для чіткішого уявлення про цю особливість геометрії можна згадати про «дедуктивний метод» неперевершеного Шерлока Холмса, якого створив англійський письменник А. Конан Дойль. Зрештою, дедуктивною є кожна математична наука. Проте у шкільних підручниках строго дедуктивно (починаючи з аксіом) викладається лише геометрія.

А зразком для побудови систематичного курсу геометрії ось уже майже 2,5 тисячі років слугують «Начала», створені давньогрецьким математиком Евклідом Олександрійським у III ст. до н.е. За цим зразком спочатку подається перелік найпростіших геометричних понять і відношень між ними («точка», «пряма», «площина», «відстань», «проходити через», «лежати на», «лежати між» тощо). Найпростіші властивості цих понять і відношень фіксуються у вигляді аксіом. Потім, на підставі логічних міркувань, з аксіом виводять інші властивості найпростіших понять. Далі вводяться означення нових понять і — на основі аксіом та вже доведених властивостей — встановлюються властивості уже цих нових понять.

Залежно від вибору основних понять і основних відношень між ними, існують різні аксіоматичні бази геометрії. Можливі навіть різні геометрії — залежно від аксіом, покладених у їхню основу. До цього епохального відкриття прийшов у XIX ст. російський геометр Микола Іванович Лобачевський, за що англійський математик Джеймс Сильвестр (1814 – 1897) назвав його «Коперником геометрії». З того часу класична геометрія — та, яка вперше у систематизованій формі була викладена Евклідом, а тепер вивчається у школі і найбільше застосовується на практиці, часто називається евклідовою, або елементарною геометрією. Інші геометрії називаються неевклідовими, або вищою геометрією. Найважливіші з неевклідових геометрій мають свої назви, наприклад: геометрія Лобачевського, геометрія Рімана, проективна геометрія, багатовимірна геометрія, псевдоевклідова геометрія. Коли ж говорять про геометрію без додаткових уточнень, то, як правило, мають на увазі евклідову геометрію. В такому значенні вживається цей термін і в школі.

Геометрія настільки вже набула характеру фундаментального або первинного поняття, що багато явищ легше означити за допомогою геометрії, ніж геометрію — за допомогою чогось іншого. У самій геометрії первинні поняття не означаються прямо, а описуються в неявному вигляді — за допомогою аксіом. Це слід розуміти так, що пряма, наприклад, — це така геометрична фігура, властивості якої описуються аксіомами геометрії. Аналогічно можна сказати, що геометрія — це така наука, поняття і відношення якої описуються аксіомами і теоремами геометрії. Самі ці поняття, відношення, аксіоми і теореми відображають найфундаментальніші властивості фізичного простору, який людина сприймає за допомогою своїх органів чуттів.