Задача 7 «Пересечение многогранников»

Задание. Построить фронтальные и горизонтальные проекции прямой призмы с основанием DEFG заданной высоты h, пирамиды SАВС и линий их пересечения. Данные к задаче приведены в таблице 5.

Многогранником называют геометрическое тело, ограниченное в пространстве гранями (многоугольниками). Линию пересечения граней называют ребром, точку пересечения ребер – вершиной.

Образование любой поверхности можно представить, как непрерывный ряд изображений, полученный при движении одной линии (образующей) по другой линии (направляющей). В том случае, когда образующей является прямая линия, а направляющей ломаная, в пространстве описывается гранная поверхность.

Если образующая перемещается параллельно какому-либо направлению, то получается призматическая поверхность. Если такую поверхность ограничить двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие, то получится призма. Такие плоскости называют основаниями призмы. Призма может быть прямой и наклонной. Прямой называют призму, у которой грани перпендикулярны основанию.

Если образующую (прямую) закрепить в одной точке, то при движении по направляющей (ломаной) она опишет в пространстве пирамидальную поверхность. Если такую поверхность ограничить одной плоскостью, то получится пирамида. Такую плоскость называют основанием пирамиды.

Основания многогранников имеют форму многоугольников, по количеству углов которых называют многогранники (треугольная пирамида, четырехугольная призма). Если основание имеет форму правильного многоугольника, то многогранник называют правильным.

Если боковая поверхность многогранника проецируется в многоугольник на одну из основных плоскостей проекций, то такую поверхность называют проецирующей (это свойство удобно использовать при решении задач на построение линии пересечения поверхностей). Из рассмотренных выше многогранников к такой поверхности можно отнести прямую призму.

На эпюре изображать многогранник удобно, расположив его основание параллельно плоскости проекций. Основания, грани многогранников, перпендикулярные плоскости проекций, проецируются на эту плоскость в виде отрезков прямых линий. Основания, ребра пирамиды, призмы проецируются в натуральную величину на плоскость проекций, которой они параллельны. Ребро, перпендикулярное плоскости проекций, проецируется на нее в точку.

Линией пересечения многогранников является замкнутая ломаная линия, звенья (отрезки прямой линии) которой строят двумя способами:

1. Строят линию пересечения грани одной поверхности с гранью другой.

2. Строят точки пересечения ребра одного многогранника с гранями другого.

В том случае, когда один из многогранников является проецирующей поверхностью (занимает частное положение), линия пересечения на той плоскости проекций, которой перпендикулярна боковая поверхность многогранника, совпадает с контурами основания этого многогранника. Задача сводится к построению недостающих проекций линии пересечения.

Рассмотрим построение линии пересечения отдельных граней и ребер на примере пересечения прямой четырехугольной призмы и треугольной пирамиды (рисунок 12).

Поскольку данная призма является проецирующей (боковая поверхность перпендикулярна П₁), то на плоскости проекций П₁ линия пересечения построена. В данной задаче две линии пересечения. Условно определим, что пирамида вершиной S вошла в призму и, пройдя насквозь, вышла из нее. Так образовались линии «входа» и «выхода». Линии пересечения являются замкнутыми ломаными.

Рассмотрим построение звена линии «выхода» отрезка [ 1, 2 ], который образуется при пересечении грани призмы GF и грани пирамиды АВS. Отрезок задается двумя точками. Проекция этого отрезка на плоскости проекций П₁ уже построена. Она совпадает с проекцией грани GF ([ 1₁, 2₁ ] ≡ [ G₁,F₁ ]). Чтобы построить проекции отрезка [ 1, 2 ] на плоскости проекций П₂, необходимо построить проекции концов отрезка – точек 1 и 2. Для этого необходимо воспользоваться свойством ортогонального проецирования: если точка принадлежит отрезку прямой, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям отрезка прямой.

Рисунок 12 – Пример решения задачи 7

Глядя на эпюр (рисунок 12), определяют, что точка 1 принадлежит ребру АS, точка 2 принадлежит ребру ВS. По линиям связи строят проекции точек 1₂ на проекции ребра А₂S₂ и 2₂ на проекции ребра В₂S₂. Далее определяют видимость проекций отрезка [ 1, 2 ]. На плоскости проекций П₁ проекция отрезка [ 1, 2 ] совпадает с проекцией грани призмы GF и показывается на эпюре видимой. При определении видимости проекции отрезка [ 1, 2 ] на плоскости проекций П₂ рассматривают этот отрезок как принадлежащий грани GF призмы и грани АВS пирамиды. Если проекция отрезка принадлежит видимой проекции грани, то проекция отрезка будет видимой. Если проекция отрезка принадлежит невидимой проекции грани, то проекция отрезка будет невидимой. На плоскости проекций П₂ грань пирамиды АВS является невидимой, следовательно отрезок [ 1₂,2₂ ], принадлежащий этой грани, будет невидимым.

Рассмотрим построение линии пересечения грани ВСS пирамиды с гранями призмы (части линии «входа»). В данном случае две грани призмы GD и DЕ пересекают одну грань пирамиды. Линия пересечения будет представлять собой ломаную линию, состоящую из двух отрезков. Поскольку призма является проецирующей, проекция этой линии на плоскости П₁ очевидна – это отрезки [ 3₁, 4₁ ] (линия пересечения грани пирамиды ВСS и грани призмы GD) и [ 4₁, 5₁ ] (линия пересечения грани пирамиды ВСS и грани призмы DЕ). На эпюре [ 3₁, 4₁ ] ≡ [ G₁,D₁ ] и [ 4₁, 5₁ ] ≡ [ D₁,F₁ ]. Чтобы построить проекцию линии пересечения на плоскости проекций П₂ определяют, что точка 3 принадлежит ребру пирамиды SС, точка 5 - ребру ВS, точка 4 является точкой пересечения ребра D призмы с гранью ВСS пирамиды. Проекции этих точек на плоскости проекций П₂ строят согласно свойству ортогонального проецирования о принадлежности точки прямой. Ребро D призмы является горизонтально-проецирующим (перпендикулярно плоскости проекций П₁). Проекции ребра D и точки пересечения этого ребра с гранью ВСS пирамиды, точки 4, на плоскости проекций П₁ совпадают. Точку 4 рассматривают как точку, принадлежащую плоскости (грани пирамиды ВСS). Согласно свойству ортогонального проецирования:

1) точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости; 2) прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости.

Чтобы построить проекцию точки 4 на плоскости проекций П₂, необходимо через эту точку построить прямую, принадлежащую грани ВСS пирамиды. Одной точкой этой прямой может быть одна из вершин грани ВСS. На рисунке 8 такой прямой является прямая SМ. Через точки 4₁ и S₁ строят прямую (S₁М₁). На плоскости проекций П₂ строят фронтальную проекцию этой прямой и на нее проецируют точку 4₂. Через точки 3₂, 4₂ и 5₂ строят отрезки линии пересечения и определяют их видимость на плоскости проекций П₂. Определяя видимость, каждый из отрезков рассматривают как принадлежащий граням и пирамиды, и призмы. Отрезок [ 3, 4 ] принадлежит грани призмы GD, которая на плоскости проекций П₂ является видимой, и грани пирамиды ВСS, которая на плоскости проекций П₂ также является видимой. Следовательно, отрезок [ 3, 4 ] на плоскости проекций П₂ будет видимым. Отрезок [ 4, 5 ] принадлежит грани призмы DЕ, которая на плоскости проекций П₂ является невидимой. Следовательно, отрезок [ 4, 5 ] на плоскости проекций П₂ будет невидимым.

Решение. В правой половине листа по координатам своего варианта строят фронтальную и горизонтальную проекции прямой четырехугольной призмы и треугольной пирамиды.

Линию пересечения строят по точкам пересечения ребер пирамиды с гранями призмы и ребер призмы с гранями пирамиды. Их горизонтальные проекции определяются и обозначаются арабскими цифрами на эпюре и строят их фронтальные проекции. Построенные проекции точек соединяют отрезками прямых и определяют их видимость. Видимые ребра призмы и пирамиды и отрезки линии пересечения обводят сплошной толстой основной линией, невидимые – тонкой штриховой линией, части ребер, находящиеся внутри другого многогранника обводят сплошной тонкой линией.

 

Таблица 5 – Данные к задаче 7 (координаты, мм)

Вариант

А

В

С

S

D

Е

F

G

х

у

х

у

х

у

х

у

х

х

х

х

 

Продолжение таблицы 5

 

Значения: А(z=0); В(z=77); С(z=40); S(z=40); D(у=50, z=0); Е(у=20, z=0); F(у=20, z =0); G(у=95, z =0); h=85.