Масштабна шкала та її практичне застосування

 

Зіставивши масштаби широт та висот бачимо, що перспективні одиниці їх ви­міру лежать в одній фронтальній площині і рівні між собою. Тому для вимірювання висо­ти предмета можна використовувати масштаб широт, який побудовано на тій самій глибині, на якій розташовано предмет, який потрібно виміряти (Рис. 63).

Якщо на картині задано похилі відрізки, розташовані у фронтальній площині, то їх довжини також можна встановити з допомогою масштабів широт або висот (Рис. 64). Для цього досить здійснити обертання похилого відрізка навколо свого предметного сліда у фронтальній площині так, щоб він зайняв горизонтальне або вертикальне положення. У першому випадку для встановлення натуральної довжини вівдрізка використовують масштаб широт. При цьому натуральна величина відрізка дорівнює відстані між точками А ₀ та B₀, одержаних від перетину ліній переносу з основою картини. У другому випадку використовують масштаб висот. При цьому натуральна величина відрізка дорівнює відстані між точками А ₀ та B_К, одержаних від перетину ліній переносу з картинним слідом площини АА _∞ В ₂.

Побудова перспективного зображення на картині вимагає використання певної кількості масштабів, що зумовлює побудову значної кількості допоміжних ліній. Кількість допоміжних ліній може бути такою, що через них складно упізнати сам предмет зображення. Щоб уникнути вказаного, зручно користуватися масштабною шкалою (Рис. 65). Для цього на продовженні картини відкладають дві натуральних одиниці масштабу. Одну з них ділять навпіл (кожна частина відповідає 50 см натуральної довжини), а другу – на десять рівних частин, кожна з яких відповідає 10 см. Кожну з поділок сполучають з точкою перетину лінії горизонту з бічною стороною картини. Ця точка буде точкою сходу горизонтальних прямих предметної площини, перпендикулярних до картини. Наголосимо, що дана масштабна шкала розташована в предметній площині картини.

Відрізки на картині (Рис. 65) розташовані по різному. Відрізки 2, 5 та 6 – горизон­тальні, 1 та 3 – вертикальні, 4 – похилий у фронтальному розташуванні. Визначимо їх натуральні розміри у масштабі картини. Для цього через основи відрізків проводять горизонтальні прямі до перетину зі шкалою на глибині, що відповідає положенню відрізків. Якщо виміряти циркулем довжину відрізка 2 і відкласти його довжину на шкалі від бічної сторони картини на глибині відрізка, то одержимо один цілий відрізок довжиною в 1 м і чотири малих відрізки з другої половини шкали. Це означатиме, що довжина відрізка 2 дорівнює 1,4 м у масштабі картини. Відрізок 5, візуально коротший, має довжину 1,8 м, оскільки розташований глибше. Відрізки 5 та 4 розташовані на однаковій глибині. При цьому відрізок 4 довший за відрізок 5 на 0,2 м. Одиничний відрізок, що відповідає довжини 1 м на глибині основи відрізка 1 два рази повністю вміщається у відрізку 1. Крім того у нього вміщається ще 3 відрізки, що відповідають довжині 10 см на глибині відрізка 1. Отже натуральна довжина відрізка 1 дорівнює 2,3 м. Довжина відрізка 3, візуально коротшого за відрізок 1, буде дорівнювати 2,8 м.

На рис. 66 продемонстровано застосування вертикальної шкали для визначення розмірів об’єктів на картині. Відстань від картинного сліду площини, в якій розміщено шкалу, до основи картини дорівнює 1 м. Розмістимо площину, що містить шкалу так, щоб граничною точкою її предметного сліду була крайня точка лінії горизонту. Відрізки 1 та 4 маютть довжину 1,05 м, 2 – 0,7 м, 3 – 1,7 м, 5 – 2 м.

У попередніх задачах ми використовували перспективні шкали для встановлення розмірів об’єктів. Так само використовують шкали для нанесення на картину об’єкту, що має певну глибину і відому довжину або висоту.

Довжину кожного з відрізків, зображених на рис.67 можна встановити без масш­табної шкали якщо відомо висоту лінії горизонту. Дійсно, оскільки основа вертикального відрізка 1 лежить у предметній площині, а протилежний його кінець лежить на лінії гори­зонту, то його натуральна довжина дорівнює 1,5 м. Похилий відрізок 2 розташований у фронтальній площині. Його довжина дорівнює довжині відрізка 1, а їх основи роз­ташовані на одній глибині. Тому довжина відрізка 2 дорівнює довжині відрізка 1.

Горизонтальний відрізок 3 та вертикальний 4 також мають довжину 1,5 м.

Верхня частина відрізка 5, що розташована над лінією горизонту, вміщується в нижній три рази. Тому його довжина – 2 м. З тих самих міркувань довжина відрізка 6 – 3 м, а відрізка 7 – 1,5 м.

Верхня частина відрізка 9 у три рази довша за нижню, тому його натуральна довжина – 6 м. Відстань від верхньої точки вертикального відрізка 9 до лінії горизонту дорівнює половині довжини самого відрізка. Тому його довжина дорівнює 1 м.

Перш ніж розглянути перспективний масштаб на довільно напрямленій прямій, з’ясуємо як побудувати масштаб на довільно напрямленій горизонтальній прямій.

На рис. 68 у пред­ме­тній площині проецію­валь­но­го апарату задано до­вільно на­­­прям­лену горизон­тальну пря­му . Нехай від кар­тинного її сліду А ₀ потрібно від­клас­ти відрізки А ₀1′, 1′2′, 2′3′, довжини яких задано. На основі картини від точки А ₀ відкладемо відрізки А ₀1₀,1₀2₀, 2₀3₀, довжини яких за­да­но. Якщо тепер на пря­мій від­класти відрізки А ₀1′, 1′2′, 2′3′ так, щоб А ₀1₀= А ₀1′, 1₀2₀=1′2′, 2₀3₀=2′3′, тобто трикутники А ₀1₀1′, А ₀2₀2′, А ₀3₀3′ – рівнобедрені. Як випливає з теореми Фалеса, прямі 1₀1′, 2₀2′, 3₀3′, – паралельні, а отже на картині мають спільну точку сходу.

Від перетину променя зору, паралельного з прямою , з картиною на лінії горизонту отримаємо граничну точку А _∞, яка буде граничною точкою перспективи прямої . Промінь зору, паралельний з променем 1₀1′, перетне картину в точці М _∞, яка буде граничною для перспективи як прямої 1₀1′, так і для перспектив прямих 2₀2′ та 3₀3′. Від сполучення точки А _∞ з точками 1₀, 2₀, 3₀, одержимо прямі А _∞1₀, А _∞2₀, А _∞3₀, які перетнуть пряму А ₀ А _∞ у точках 1, 2 та 3. Відрізки А ₀1, А ₀2, А ₀3 будуть перспективами відрізків А ₀1₀,1₀2₀, 2₀3₀ заданої довжини. Прямі 1₀ А _∞, 2₀ А _∞, 3₀ А _∞ називають лініями переносу масштабу. Точку М _∞ називають масштабною точкою.

Встановимо тепер особливості розташування граничної точки прямої та мас­ш­таб­ної її точки. Зауважимо, що розташування масштабної точки для кожної горизон­таль­ної прямої предметної площини буде іншим.

Трикутники А ₀1₀1′ та А _∞ М _∞ S подібні, оскільки їх відповідні сторони паралельні (, , ). Тому А _∞ М _∞ = SА _∞. Здійснимо обертання трикутника SА _∞ М _∞ навколо лінії горизонту картини до співпадання його площини з площиною картини. При цьому точки А _∞ та М _∞ залишаться незмінними, а точка S перейде в точку картини, яка лежить на лінії головного вертикалу і рівновіддалена від головної точки картини з її дистанційною точкою. Відстані від точки А _∞ при цьому до точок та М _∞ однакові. Отже для побудови масштабної точки горизонтальної прямої загального розміщення, що лежить у предметній площині, досить:

– від перетину лінії головного вертикалу і кола з центром у точці Р радіуса PD одержати точку ;

– від перетину лінії горизонту картини з колом радіуса , центр якого розта­шований у точці А _∞, одержати точку М _∞.

Бачимо, що побудова масштабу на горизонтальній прямій предметної площини загального розміщення зводиться до побудови масштабної точки, яка є точкою сходу ліній переносу масштабу для заданої прямої.

На рис. 69 продемонстровано спосіб встановлення довжини горизонтального відрізка загального розміщення в предметній площині, зображеного на картині. Граничну точку прямої, якій належить відрізок встановити просто. Для визначення ж його довжини потрібно знайти лінії переносу масштабу, а отже встановити положення масш­таб­ної точки на лінії горизонту. Для цього досить:

– на лінії головного вертикалу від головної точки картини відкласти відрізок, рівний з дистанційною відстанню картини. Одержимо точку ;

– На лінії горизонту в півплощині картини, протилежній до тієї, в якій розташовано точку А _∞, знаходимо точку М _∞, віддалену від точки А _∞ на відстань, рівну довжині відрізка .

Від перетину ліній М _∞ А та М _∞ В переносу масштабу з основою картини одержимо точки А ₀ та В ₀. Довжина відрізка А ₀ В ₀ у масштабі картини і дасть натуральну довжину відрізка, зображеного на картині.