Способи розв’язання метричних задач на картині

.

Перспективний масштаб є потужним апаратом роз­в’я­зан­ня метричних задач на кар­­тині. Проте існує низка за­дач, розв’язання яких з допо­м­огою так званих гео­мет­рич­них ме­то­дів можливе без за­сто­сування масштабів. Це не ли­ше спрощує міркування, а і доз­­во­ляє досягнути мети, про­­во­дячи на картині меншу кількість ліній. Розв’язання більшо­сті таких задач ґрунтується на теоремі Фалеса або на властивостях сторін і діагоналей паралелограма.

На картині (Рис. 70, а) задано відрізок АВ горизонтальної прямої. Нехай потрібно розділити його на чотири рівних частини. Для цього через один з його кінців (для певності А) проведемо пряму і від вершини кута, що утворився, відкладемо чотири рівних відрізка А -1, 1-2, 2-3 і 3-4 однакової довжини (Рис. 70, б). Сполучимо кінець четвертого відрізка з точкою В. Якщо через точки 1, 2 та 3 провести прямі, паралельні до прямої В -4, то від перетину з відрізком АВ одержимо точки, які поділять його на чотири рівних частини.

У перспективі рівні відрізки, що зображені на прямій, яка паралельна до основи картини, зображають рівні в дійсності відрізки. Через точку А проведемо пряму, пара­ле­льну до основи картини і відкладемо на ній рівні відрізки (Рис. 70, а). Продовжимо пряму 4- В до перетину з лінією горизонту. У перспективі паралельні прямі матимуть спільну точку сходу. Тому для побудови шуканих точок досить сполучити точки 1, 2 та 3 з граничною точкою В _∞ прямої 4- В.

На картині 71 зображено відрізок нисхідної прямої разом із його проекцією на пред­метну площину. Для поділу відрізка на три рівні частини можна використати масштаб широт. Для цього досить спочатку поділити на три рівні частини його проекцію, а потім через точки її поділу провести вертикальні прямі.

Аналогічно здійснюють збільшення відрізка у декілька разів (Рис. 72). Спочатку, як на рисунку 70, а, збільшуємо його проекцію на предметну площину у задану кількість разів, а потім, як на рисунку 71, будуємо шуканий відрізок.

Для поділу відрізка навпіл і подвоєння, а отже і збільшення його у довільну іншу за­да­ну кількість разів, крім теореми Фалеса зручно використовувати властивість діаго­на­лей паралелограма. На ри­сунку 73, б побудовано пара­лелограм, для якого від­різок АВ є його діа­г­онал­лю. За вла­с­­­тивістю парале­ло­грама його діагоналі точкою пере­ти­ну ді­­ляться навпіл. Звідси вип­ли­ває спосіб побудови се­ре­дини перспективного від­різка АВ:

– на лінії горизонту вибираємо довільну точку А _∞ (можна за А _∞ вибрати головну точку картини);

– через точки А та В проводимо прямі l та n, паралельні до основи картини;

– від перетину променя А _∞ А з прямою l фіксуємо точку 1;

– від перетину променя А _∞ В з прямою n фіксуємо точку 2;

– точка перетину відрізків АВ та 1-2 дасть шукану середину відрізка АВ.

На тих же властивостях сторін та діагоналей паралелограма ґрунтується побудова перспективного зображення відрізка, довжина якого вдвічі більша за довжину заданого на картині відрізка. На рисунку 74 задано відрізок АВ, який необхідно подвоїти. Через кінець В відрізка АВ проведено горизонтальну пряму і на ній в обидва боки від точки В відкладено довільні рівні відрізки 1- В та 2- В. Через точку 2 проведемо пряму, паралельну до прямої 1- А до перетину з променем АВ у точці С. З рівності трикут­ників ВА- 1 та ВС- 2 випливає рівність їх відповідних сторін: АВ = ВС, А 1=2 С. Із доведеного випливає, що чотирикутник А -1- С -2 – паралелограм, а відрізки 1-2 та АС його діагоналі. З паралельності прямих А 1 та 2 С випливає, що їх образи на картині матимуть спільну граничну точку. Тоді побудову подвоєння відрізка АВ здійснюють в такій послідовності:

– через кінець В відрізка проводимо пряму, паралельну до основи картини;

– в обидва боки від точки В відкладаємо рівні відрізки В -1 та В -2;

– фіксуємо точку А _∞ перетину прямої А -1 з лінією горизонту;

– Шукану точку С одержимо від перетину прямої А _∞-2 з променем АВ.

Для зображення в перспективі вертикальних об’єктів та архітектурних елементів, що розташовані на однаковій відстані один від одного (електричні стовпи, дерева, що висаджено на однаковій відстані вздовж однієї прямої, вікна та перестінки на стіні будинку, тощо), використовують більш простий та зручний спосіб «діагоналей», які про­во­дять у прямокутнику або квадраті.

На рисунку 75 зображено два дерева однакової висоти. У межах картини побудуємо ще декілька дерев тієї ж висоти, віддалених одне від іншого на ту саму відстань. Через кінці заданих вертикальних відрізків та їх середини проведемо пара­ле­льні прямі. Тоді діа­го­наль, що пройде через верхній кінець першого відрізка і середину другого визначить по­ложення третього вертикального відрізка (Рис. 75, б). Ці ж геометричні побудови ви­ко­нана на картині (Рис. 75, а).

Цим же способом будують рівні прямокутники, роз­та­шовані в горизонтальній площині (Рис. 76). Якщо сторона прямокутника паралельна до основи картини, то граничною точкою для суміжної з нею сторони буде головна точка кар­тини.

Нехай прямокутник АabВ розташований вертикально. При цьому його сторона АВ належить горизонтальній прямій загального розміщення, що лежить у предметній площи­ні, а сторона ab належить площині головного променя зору. Перс­пективне зображення такого прямокутника подано на картині (Рис. 77, а). При­гадаємо, що пряма, яка про­ходить через точку перетину діа­го­налей прямокутника па­ра­­лельно до двох його сторін, перетинає дві інші в їх серединах (Рис. 77, б). Схему по­будови середини С гори­зонтального відрізка АВ предметної пло­щини за­галь­ного роз­мі­щення з допо­мо­гою прямокутника, вказаного вище розміщення, подано на рисунку 77, б.

Для подвоєння відрізка, про який йшлося у попередній задачі, досить знайти точку С перетину прямих АВ та аМ, де М – середина відрізка bВ (Рис. 78).

Важливою метричною задачею в перспективі є побудова на картині кута, градусну міру якого задано. На рисунку 79 у предметній площині задано кут С ′ А ₀ В ′, вели­чи­ну α якого відомо. Промені зору, напрямлені паралельно до прямих А ₀ В ′ та А ₀ С ′ у пере­тині з лінією го­ри­зонту картини дадуть граничні точки В _∞ та С _∞ сторін за­да­ного кута. Оче­видно, що кути С _∞ SВ _∞ та С ′ А ₀ В ′ ма­ти­муть од­накову градусну міру α. Здійснимо обертання пло­щини С _∞ SВ _∞ навколо лінії горизонту до суміщення з пло­щи­ною картини. Якщо – суміщена точка зору, то величиною кута також буде α.

З проведених міркувань випливає, що для побудови на картині кута заданої величини, який лежить у пред­мет­ній площині, досить побудувати кут α з вершиною у точці так, щоб його сторони перетинали лінію гори­зонту у точках С _∞ та В _∞. Тоді будь який з кутів, зо­бра­же­них на картині (Рис. 80) матиме величину α. Кути С _∞ А ₀ В _∞, С _∞ А ₁ В _∞ та С _∞ А ₂ В _∞, що лежать у пред­метній пло­щині, бу­дуть рівними, оскільки їх відповідні сто­ро­ни пара­лельні і величина їх дорівнює α. Величина кута С _∞ А ₃ В _∞ також дорівнює α, але він розташований у площині, пара­ле­льній до предметної.

Розв’яжемо тепер зворотну задачу. Нехай на кар­тині (Рис. 80) задано горизонтальні прямі загального роз­міщення А ₃ В _∞ та А ₃ С _∞. Встановимо по їх зображенню величину кута, який утворюють вказані прямі.

Для цього досить побудувати суміщену точку зору та встановити величину кута С _∞ В _∞.

Нехай тепер на картині (Рис. 81) зображено дві прямі загального розміщення, що перетинаються в точці А. Встановимо величину кута між такими прямими. Промені АВ _∞ та АС _∞ кута утворюють площину Q, для якої пряма В _∞ С _∞ буде граничною (В _∞ С _∞≡ Q _∞). На рисунку 82 проведено промені зору SВ _∞ та SС _∞, кожен з яких паралельний до однієї зі сторін кута. Для того, щоб отримати суміщену точку зору , здійснимо обертання пло­щи­ни SВ _∞ С _∞ навколо прямої Q _∞ до суміщення з площиною картини. Точка належатиме перпендикуляру до прямої Q _∞, проведеному через головну точку картини. Нехай О – точка перетину вказаних прямих.