Перспектива прямої загального розміщення

 

Нехай відносно проек­цію­валь­ного апарату зада­но пряму за­гального розміщення для двох точок якої A' та B', відомі їх проекції a' та b' на предметну площину (Рис. 24, а).

Очевидно, що для здій­снен­ня такої побудови досить побу­дувати на площині K картини пер­спективи точок A' та B' так, як ми робили це в попередньому па­раграфі:

1) сполучаємо точку s з точками a' та b';

2) від перетину променів sa' та sb' з прямою kk отримуємо точки a₀ та b₀;

3) в площині K через точки a₀ та b₀ проводимо прямі l та m,
перпендикулярні до kk;

4) будуємо точки A, B, a та b від перетину променів зору SA' та Sa' з прямою l і SB' та Sb' з прямою m;

5) з’єднавши попарно точки A та B, a та b, одержимо зображення відрізка A'B' та його проекцій a'b' на предметну площину. Відрізки Aa та Bb на рис. 24, б будуть зображеннями перпендикулярів, опущених з точок A' та B' на предметну площину.

Проаналізувавши Рис. 25, переко­нуємося, що сукупність на кар­тині двох відрізків AB та ab служить зображенням єдиного відрізка A'B' для якого відомі проекції a' та b' на предметну площину. Дійсно, у „променевій зоні” A'SB' лежить безліч прямих, для кожної з яких пряма AB картинної площини K буде цент­ральною симетрією. Завдяки зобра­жен­ню на картині (Рис. 25, б) проекції цих прямих ми не лише розрізняємо кожну з них, а і можемо встановити котра з прямих A'B' та A₁'B₁' розташована ближ­че до картинної площини, а яка далі.

Так само, як і прямі особливого розміщення, прямі загального розміщення поділяються на висхідні (зростаючі) та нисхідні (спадні). Розглянемо особливості побудови перспективи кожного з вказаних видів прямих загаль­ного розміщення. Як і у випадку з прямими особливого розмі­щен­ня, використаємо їх пред­мет­ний слід.

Нехай A'B' висхідна пря­ма загального розмі­щення в якої точка – її пред­ме­т­ний слід, А' – довільна точка над пред­метною пло­щи­ною (Рис. 26, а). Проекція l´ прямої буде довільно напрям­ле­ною горизонталь­ною пря­мою предметної пло­щи­ни, побудову якої ми роз­глядали в п.1 §4. Для побу­дови її перспективи знахо­димо спо­чатку перс­пективу то­ч­ки , а потім встано­в­люємо гра­нич­ну точку a _∞ прямої . Для цього зручно викори­стати перспективу точки А' та її проекції а'. Буду­ємо точку А' так, як це зроблено в § 3. Точку a _∞ одержимо від перетину променя з лінією горизонту. Нагадаємо, що промінь зору Sa _∞ буде паралельним до прямої . Завдяки цьому, точку a _∞ можна знайти без використання точки а. Якщо через точку стояння в предметній площині провести пряму паралельну до , то одержимо точку її перетину з основою картини. Пряма, що пройде в картинній площині через побудовану точку на її основі та точку , буде вертикальною.

Для побудови перспективи прямої необхідно знайти її граничну точку. Для цього проводимо промінь зору паралельний з прямою до перетину з картинною пло­щиною. Одержимо точку A _∞. Площини та паралельні. Площина пер­пен­дикулярна до предметної площини, тому площина також буде пер­пен­ди­кулярною до площини Н. Тоді пряма перпендикулярна до предметної площини, а отже і до лінії горизонту картини. Це означає, що точки C, a _∞ та А _∞ лежать на одній прямій.

Із сказаного випливає, що для побудови граничної точки перс­пек­тиви прямої досить продовжити промінь до перетину з вер­ти­кальною прямою картинної площини, яка проходить через точку a _∞ (Рис. 26, а).

Отже, висхідна пряма за­галь­ного розміщення в пер­спективі обме­жена граничною точкою, розташованою над лінією горизонту. Вона лежить на перпендикулярі, проведеному до гра­ничної точки її проекції (Рис. 26, б).

Нехай крім предметного A_H сліду висхідної прямої загального розміщення, нам відомо її картинний слід A_K (Рис. 27, а). Якщо площина перетинає основу картини в точці , то пряма a ₀ A_K буде лінією перетину вказаної площини з картиною. При цьому прямі a ₀ A_K та – паралельні. Точки А _∞, А, A_Н та A_K лежать на перспективі висхідної прямої загального розмі­щен­ня, точки , A_Н, а, та a _∞ лежать на перспективі її проекції на предметну площину.

З проведених міркувань випливає побудова перспективи висхідної прямої (Рис. 27, б), заданої своїми слідами:

1) знаходимо проекцію картинного сліду прямої на основу картини;

2) перспективою проекції прямої буде пряма, що проходить через побудовану точку та перспективу предметного сліду прямої;

3) граничною точкою побудованої прямої буде її точка перетину з лінією горизонту;

4) через граничну точку проекції висхідної прямої в площині картини проводимо вертикальну пряму;

5) перспективу висхідної прямої одержимо, сполучивши картинний та предметний сліди прямої;

6) граничну точку побудованої прямої одержимо від її перетину з вертикальною прямою, побудованою в п. 4.

Зауважимо, що картинний слід висхідної прямої загального розміщення розта­шо­ваний під основою картини, а її гранична точка над лінією горизонту.

 

Розглянемо тепер нисхідну пряму загального розміщення (Рис. 28, а) і встановимо якою буде її перспектива. Нехай – предметний слід цієї прямої, A' – довільна точка, a' – її проекція на предметну площину.

Спочатку будують перспективу пред­­метного сліду прямої . Через точ­ку пройдуть перспективні зображен­ня як прямої, так і її проекції. Нехай A – перс­пектива точки A', a – перспектива її про­екції. Тоді перспектива прямої про­й­де через точки A та картини, а перс­пектива її проекції через точки a та .

Встановимо граничні точки нисхідної прямої та її проекції на пред­мет­ну площину. Для цього продовжимо пряму до перетину з лінією горизонту карти­ни. Одер­жимо точку – граничну точку про­екції нисхідної прямої на предметну площину. Цю ж точку одер­жимо від перетину променя зору , паралельного до прямої , з картиною.

Через точку на картині проведемо вертикальну пряму під лінію горизонту. Від її перетину з променем одержимо граничну точку нисхідної прямої. Цю ж точку можна одержати від перетину променя зору , пара­лель­ного до прямої , з картиною.

Пряма картинної площини, буде перпен­ди­ку­ляр­ною до основи картини. Пряма, проведена через точку стояння та точку перетину прямих і , буде паралельною до прямої .

Із наведених вище міркувань ви­пли­ває побудова перс­пек­тиви нисхідної прямої загального розміщення, якщо відомо її предметний слід та одну з точок цієї прямої (Рис. 28, б):

1) сполучаємо точку s з точками та a';

2) знаходимо точки перетину прямих та sa' з основою картини;

3) в площині картини через побудовані точки проводимо вертикальні прямі;

4) від перетину променя зору та з щойно побудованими вертикальними прямими, одержимо предметний слід прямої, перспективу А точки ї та а – її проекції;

5) граничну точку одержуємо від перетину променя з лінією горизонту картини;

6) на картині через точку про­во­димо вертикальну пряму;

7) від перетину прямої, побудо­ва­ної в попередньому пункті, з про­ме­нем одержуємо гра­ни­ч­ну точку нисхідної прямої.

Перспективу нисхідної прямої зага­льного розміщення зручно будувати, якщо крім предметного відомий ще й картинний слід цієї прямої. На рисунку 29, а знайдено картинний слід нис­хідної прямої та його проекція на предметну площину, а отже і на основу картини, . Зрозуміло, що точки , , та картинної площини лежатимуть на прямій, що є перспективою прямої . Точки , , та лежатимуть на перспективі прямої .

З проведених міркувань випливає побудова перс­пективи нисхідної прямої (Рис. 29, б), заданої своїми слідами:

1) знаходимо проекцію картинного сліду прямої на основу картини;

2) перспективою проекції прямої буде пряма, що проходить через побудовану точку та перспективу пред­метного сліду прямої;

3) граничною точкою побудованої прямої буде її точка перетину з лінією горизонту;

4) через граничну точку проекції нисхідної прямої в площині картини проводимо вертикальну пряму;

5) перспективу нисхідної прямої одержимо, сполучивши картинний та предметний сліди прямої;

6) граничну точку побудованої прямої одержимо від її перетину з вертикальною прямою, побудованою в п. 4.

Зауважимо, що картинний слід нисхідної прямої загального розміщення розта­шований над основою картини (або навіть за її межами), а її гранична точка під її основою.

Взаємне розташування прямих

 

При створенні художніх зображень найчастіше доводиться мати справу з паралельними прямими. В геометрії множину усіх прямих, паралельних до заданої, називають в’язкою прямих. Якщо прямі непаралельні, то вони або перетинаються, або мимобіжні. Важливо знати та уміти визначати ознаки взаємного розташування двох прямих на картині. Це дасть можливість розв’язувати прямі (будувати перспективу взаємного розташування прямих) і обернені (визначати їх взаємне розташування по зображенню на картині) задачі.

Паралельні прямі. На Рис. 12, б прямі , , , утворюють в’язку прямих, паралельних до головного променя зору. Нагадаємо, що точкою сходу глибинних прямих буде головна точка картини, тобто точка Р – центр пучка прямих, кожна з яких є перспективою однієї з глибинних прямих (Рис. 13). Більше того, головна точка картини буде зображенням прямої .

 

На Рис. 14, а прямі , , , утворюють в’язку горизон­таль­них прямих, не перпендику­лярних до пло­щини картини. Їх перспективою будуть прямі , , пучка прямих картинної площини, що проходять через точку сходу вказаних прямих. При цьому перспективою прямої буде точка (Рис. 14, б).

Якщо на картині зображено підлогу, на якій є квадратні елементи і при цьому сторона кожного з квадратів паралельна до основи картини, то для діагоналей усіх таких квадратів дистанційні точки картини будуть точками сходу.

З рисунків 16, а та 16, б робимо висновок, що зображенням в’язки вертикальних прямих будуть вертикальні прямі картини.

 

На Рис. 30 відрізки z, r, q розташовані на одній прямій і мають однакову «висоту». Такий випадок взаємного розташування вер­тикальних прямих досить часто зустрі­ча­ється на практиці. Перспективне зобра­ження вказаних відрізків зрозуміле, якщо пригадати усе, що ми вивчали досі.

 

На Рис. 31 зображено горизонтальні прямі 1 та 2, кожна з яких паралельна як до предметної площини, так і до картини. Як перспективи самих прямих, так і перспективи їх проекцій паралельні до лінії горизонту.

 

 

На картині (Рис. 32) А ₁, А ₂ та А ₃ – паралельні між собою фронтальні прямі. В перспективі фронтальні прямі паралельні між собою, а їх проекції паралельні до основи картини, оскільки не мають граничних точок.

 

 

На картині (Рис. 33) в предметній площині зображено прямі M ₁ N ₁ та M ₂ N ₂, кожна з яких пара­лельна до основи картини. Це означає, що прямі та предметної площини, зо­бра­женням яких є прямі та , паралельні між собою і пара­ле­льні до основи картини. В площині картини проведемо через точки А ₁ та В ₁, А ₂ та В ₂ прямі так, щоб A ₂ D ₂ та B ₂ C ₂ перетиналися в головній точці картини, а A ₁ D ₁ та D ₁ C ₁ – в довільній точці лінії горизонту, відмінній від головної. Тоді чотирикутники A ₁ В ₁ C ₁ D ₁ та A ₂ В ₂ C ₂ D ₂ – перспективи паралелограмів. Більше того, A ₂ В ₂ C ₂ D ₂ – прямокутника. Чотирикутник A ₃ В ₃ C ₃ D ₃, у якого продовження сторін A ₃ D ₃ та В ₃ C ₃ перетинаються в точці, що не лежить на лінії горизонту, буде зображенням трапеції.

Розглянемо перспективу висхідних паралель­них прямих загального розміщення (Рис. 34). Оскільки вис­хідні прямі , , паралельні, то паралельними бу­дуть їх проекції , , на предметну площину. Перс­пективи паралельних прямих, що лежать в пред­метній площині, матимуть спільну точку сходу на лінії горизонту, відмінну від головної точки картини. Тоді точка сходу перспектив висхідних паралельних прямих загального розміщення лежатиме на перпен­дикулярі, проведеному до лінії горизонту через точку сходу перспектив їх проекцій і розташована над лінією горизонту.

 

Аналогічно будують зображення паралельних нисхідних прямих загального розміщення (Рис.35). Від­­різ­­няються зображення лише тим, що точка сходу перспектив нисхідних прямих буде розташована під лі­нією горизонту.

Таким чином, ознакою паралельності прямих загального розміщення, зображених на картині, є розташування точок сходу прямих та їх проекцій на одному перпендикулярі. При цьому точка сходу перспектив проекцій прямих лежить на лінії горизонту.

 

 

На Рис. 36 зображено дві пари висхідних (А ₁ Р _В та А ₂ Р _В) і нисхідних (В ₁ Р _Н та В ₂ Р _Н) паралельних прямих особливого розміщення. Точкою сходу перспектив проекцій вказаних прямих буде головна точка картини. Точка сходу Р _В перспектив висхідних прямих і точка сходу Р _Н перспектив нисхідних прямих лежатимуть на лінії головного вертикалу.

Прямі, що перетинаються. На картині (Рис. 37) задано дві прямі, що перетинаються в точці А. Тоді а, точ­ка перетину їх проекцій, лежатиме на одній вер­тикальній прямій з точкою А. Отже, якщо на картині точки А та а розташовані на одній вертикальній прямій, то в дійсності прямі перетинаються.

Мимобіжні прямі. Нагадаємо, що мимо­біж­ни­ми називаються прямі, які не мають спільної точки і не паралельні. Тому на картині (Рис. 38) точки перетину прямих і їх проекцій не повинні лежати на одній вер­тикальній прямій. Отже, якщо вертикальна пряма на картині, проведена через точку перетину проекцій двох прямих, перетинає ці прямі в двох різних точках А ₁ та А ₂, то дані прямі в дійсності мимобіжні. На картині точка, яка здається перетином двох прямих, є зображенням двох різних точок В ₁ та В ₂, що лежать на мимобіжних прямих. В дійсності точки та лежать на одному промені зору.

Основа b ₁ точки В ₁ розташована ближче від основи картини, ніж точка b ₂, яка є основою точки В ₂. Це означає, що в дійсності в предметному просторі точка розташована ближче від картини, ніж точка .