Зображення площини в перспективі

В геометрії площину задають різними спосо­бами: трьома точками що не лежать на одній прямій (Рис. 39), прямою і точкою, що не лежить на цій прямій (Рис. 40), двома прямими, що перетинаються (Рис. 41), двома паралельними прямими (Рис. 42-43). Жоден із вказаних способів задання площини на картині не дає достатньої наочності. Площина, зоб­ра­жена на картині многокутником, зокрема три­кут­ником (Рис.44), більш наочна. Для досягнення макси­мальної наочності та зручності, площину в перс­пек­тиві задають слідами.

Під слідами площини в перспективі розуміють лінії її перетину з предметною та картинною площи­нами. Лінію перетину з предметною площиною нази­вають предметним слідом, лінію перетину з картин­ною площиною - картинним слідом площини.

На рис. 45, а задано площину , яка пере­ти­нає основу картини в точці , предметну площину по прямій (предметний слід площи­ни), картин­ну площину по прямій (картинний слід пло­щи­­ни), які мають спільну точку . Пряма - гори­зон­тальна пряма предметної площини, для побудови перспективи якої досить встановити її граничну точку . Пряма буде перс­пек­тивою предметного сліду площини . Картинний слід площини співпадає зі своїм перс­пек­ти­вним зобра­женням . На картині відрі­зок , який є зображенням пред­метного слі­ду площини, завжди об­ме­­жений двома точ­ками. Кар­тинний же слід площини, при потре­бі, може бути продовжений в кож­но­му з напрямків до нескін­ченності.

Як горизонтальна пря­ма предметної пло­щини, так і прямі загального роз­мі­щен­ня, обмежені на картині граничною точкою (Рис. 14, б, Рис. 36). Так само площина в перспективі обмежена граничною прямою. На картині (Рис.45, б) зображено частину площини , обмежену хвилястою лінією. Для побудови більш наочного зображення площини, побудуємо на картині граничну пряму площини .

Перспектива кожної з прямих , , , …, …, які лежать в пло­щині , матиме граничну точку , , , …, відповідно. Кожен з променів зору , , , …, , … буде паралельним до однієї з прямих , , , …, … площини . Тому такими променями зору утвориться площина , паралельна до площини . Площина перетне картину по прямій, паралельній до . Очевидно, що вказана пряма пройде через точку . Отже, для побудови граничної прямої площини загального розміщення досить через граничну точку її предметного сліду в площині картини провести пряму, паралельну до картинного сліду площини.

Довільна пряма, що належить площині в перспективі матиме свою гра­ничну точку на граничній прямій площини .

Площину на картині можна задати граничною прямою та картинним слідом. Для побудови предметного сліду такої площини досить з’єднати точку перетину картинного сліду площини і основи картини з точкою перетину граничної прямої площини і лінії горизонту картини.

Якщо площина перпендикулярна або паралельна до картинної або предметної площини, то її називають площиною часткового розміщення.

На картині (Рис. 46) зображено перспективу пло­щи­ни , перпендикулярної до предметної та картинної площин. Її називають глибинною. Положення глибинної площини на картині визначається такими ознаками:

1) картинний слід перпендикулярний до основи картини;

2) граничною точкою предметного сліду R_H пло­щини є головна точка картини P;

3) граничною прямою глибинної площини буде лінія головного вертикалу.

Якщо глибинна площина проходить через головний промінь зору, то її перс­пек­тивою буде лінія головного вертикалу.

На картині (Рис. 47) зображено перспективу пло­щи­ни , перпендикулярної до предметної площини і не пер­пендикулярної до картини. ЇЇ називають проеціюючою. Поло­ження проеціюючої площини на картині визначають такими ознаками:

1) картинний слід перпендикулярний до осно­ви картини;

2) граничною точкою предметного сліду площини є довільна точка лінії горизонту, відмінна від головної;

3) граничною прямою проеціюючої площини буде пряма, що проходить через граничну точку предметного сліду площини перпендикулярно до лінії горизонту.

На картині (Рис. 48) зображено перспективи та площин та , кожна з яких перпендикулярна до картини і утворює різні двогранні кути з предметною площиною. Ці площини також називають проеціюючими. Їх положення на картині визначається такими ознаками:

1) граничною точкою предметних слідів та є головна точка картини;

2) кути нахилу картинних слідів цих проеціюючих площин до основи картини в дійсності дорівнюють двогранним кутам, які площини та утворюють з пред­мет­ною площиною;

3) граничні прямі площин та пройдуть через головну точку картини і будуть паралельними до своїх картинних слідів;

4) кутом між проеціюючими площинами вказаного розміщення буде кут між їх граничними прямими.

На картині (Рис. 49) зображено перспективу площини , перпендикулярної до предметної площини і паралельної до картини. Таку площину називають фрон­таль­ною. ЇЇ положення та властивості на картині визна­чаються такими характеристиками:

1) предметний слід паралельний до основи картини;

2) величини усіх кутів, які в дійсності розташовані у фронтальній площині, зображаються в перспективі без спотворень;

3) картинного сліду площина не має.

На картині (Рис. 50) зображено перспективи , , , площин , , , , кожна з яких паралельна до предметної площини, а отже перпендикулярна до картини. Такі площини називають горизонтальними. Їх положення на картині визначається такими ознаками:

1) картинні сліди , , , горизон­таль­них площин паралельні до основи картини;

2) граничною прямою горизонтальних площин є лінія горизонту картини;

3) предметного сліду горизонтальні площини не мають.

Якщо горизонтальна площина проходить через головний промінь зору, то її картинний слід співпадає з лінією горизонту. Таке зображення горизонтальної площини на картині не наочне, тому для розв’язування задач на побудову його не використовують.

На картинах (Рис. 51 та Рис. 52) зображено пло­щи­ни, паралельні до основи картини. При цьому кути, які во­ни утворюють з предметною та картинною площи­нами, мо­жуть бути довільними. Поло­же­н­ня таких площин називають особ­ливим. Площина особли­во­го розміщення може бути нисхідною (Рис. 51) або висхідною (Рис. 52). Нисхідна площина напрямлена від глядача згори донизу. Висхідна площина напрямлена від глядача знизу доверху.

 

 

Перспективний масштаб

 

При створенні картини художник змушений розв’язувати два типи задач. Перший тип задач це ті, в яких йдеться про різні випадки взаємного розміщення просторових фігур та їх елементів. Їх називають позиційними. Але для побудови зображення на картині реальних предметів потрібно знати їх метричні властивості, а саме розміри як самих предметів, так і їх окремих частин, та відстані між предметами в просторі та відстані від предметів до картини, тобто розвязувати метричні задачі. Якщо при створенні картини необхідно побудувати в перспективі зображення просторової фігури за її розмірами, то ми розв’язуємо пряму метричну задачу. Якщо ж встановлюємо розміри зображених пред­ме­тів чи їх частин або відстані між зображеними предметами, то розв’язуємо зворотну мет­ри­чну задачу.

Одним з основних засобів розв’язування метричних задач є застосування мас­штабу. З допомогою масштабу ми маємо змогу встановити співвідношення між нату­ральними та перспективними розмірами предметів, що зображені на картині. Для цього необхідно знати довжині якого відрізка в дійсності відповідає один сантиметр (один дециметр, один метр) картини, тобто масштаб картини.

Для визначення масштабу картини досить знати дві величини: висоту точки зору та відстань від основи картини до лінії горизонту. Якщо висота точки зору дорівнює 160 см, а відстань від основи картини до лінії горизонту 80 см, то натуральна лінійна одиниця 1 м відповідатиме 0,8:1,6=0,5 м (50 см)на картині. Таким чином, якщо відрізок розташований в площині картини і має довжину 50 см, то натуральна його довжина становить 1 м.

Як випливає з рис. 30, розміри предмета, який зображають на картині зменшуються тим більше, чим далі він розташований від картини. Отже довжина перспективного відрізка прямої є величиною змінною. Ця величина визначається перспективним масш­табом.

У відповідності з напрямком вимірювання в предметному просторі, виділяють три напрямки:

1) напрямок глибини, тобто прямих, розташованих перпендикулярно до картини;

2) напрямок широти, тобто прямих, розташованих паралельно до основи картини;

3) напрямок висоти, тобто напрямок прямих, розташованих перпендикулярно до предметної площини.

У відповідності до головних напрямків будують перспективні масштаби глибин, широт, висот.

Масштаб глибин. Мас­штаб, побудований на прямій, перпендикулярній до площини картини, називається масш­та­бом глибин. Розглянемо його побудову на проецію­валь­но­му апараті (Рис. 53, а). Нехай - деяка горизонтальна пря­ма предметної площини, пер­­пен­дикулярна до площини кар­тини (глибинна пряма), - її картинний слід. На основі кар­тини від точки відкла­демо від­різки , , заданої довжини. У предметній площини через точки , , проведемо прямі під кутом до основи картини до перетину з глибинною прямою (Рис. 53, б). Трикутники , , - прямокутні рівнобедрені. Отже , , . Тому .

Побудуємо перспективу глибинної прямої разом із заданими відрізками , , на ній. Для побудови глибинної прямої досить сполучити її картинний слід з головною точкою картини (Рис. 53, в). Дистанційна точка D ₂ буде спільною граничною точкою в’язки паралельних прямих , , . Від перетину прямих 1₀D₂, 2₀D₂, 3₀D₂ з перспективою глибинної прямої одержимо точки 1, 2, 3. Очевидно, що відрізки , 1-2, 2-3 – перспективи відрізків, що відкладено на основі картини. Прямі 1₀D₂, 2₀D₂, 3₀D₂ називають лініями переносу.

Отже для побудови перспективного масштабу глибин натуральний масштаб, заданий на основі картини, переносять на глибинну пряму з допомогою ліній переносу, точкою сходу для яких є дистанційна точка.

 

На картині (Рис. 54, а) зо­б­ражено глибинну пряму та точ­ку А на ній. На цій прямій від точ­ки А відкласти відрізок АВ, довжина якого дорівнює 1 м. Нехай відомо, що висота точки зору дорівнює 1 м. Тоді відстань від лінії горизонту до основи картини також дорівнює 1 м в масштабі картини. Побудову здійснимо в такій послі­довності:

– через точки та А проведемо пряму до перетину з основою картини;

– від точки А ₀ на основі картини відкладемо відрізок А ₀ В ₀, довжина якого в масштабі картини дорівнює 1 м;

– від перетину прямої з глибинною прямою одержимо шукану точку В.

Нехай тепер на картині (Рис. 54, б) задано відрізок глибинної прямої АВ і необхідно знайти його довжину. Для цього досить провести прямі та до перетину з основою картини. На картині відношення довжини відрізка А ₀ В ₀ до відстані від лінії горизонту до основи картини дорівнює 5:3. Оскільки висота точки зору 1,5 м, то довжина відрізка АВ – 2,5 м у масштабі картини.

Для того, щоб зображення, виконане методом центрального проектування, було наочним, тобто створювало уявлення безпосереднього візуального спосте­ре­ження пред­ме­ту, необхідно, щоб відстань від точки зору до картини була в 2-3 рази більшою за діагональ картини. Це означає, що дистанційні точки картини, в переважній більшості випадків, розташовані поза межами картини, що значно ускладнює побудови. У таких випадках для побудови масштабу глибин користуються так званою дробовою дистанційною точкою.

Застосування дробової дис­танційної точки розглянемо на прикладі (Рис. 55, а). На гли­бинній прямій А ₀ Р побу­ду­вати відрізок А ₀ В довжина якого до­рів­нює а. Для цього на основі картини від точки А ₀ відкладемо відрізок А ₀ В ₀, довжина якого в а разів більша за відстань між лі­нією горизонту та основою кар­тини. Зафіксуємо точку В пере­тину прямих та А ₀ Р. Одержимо перспективний відрізок А ₀ В = а. Ту саму точку В одержимо від перетину глибинної прямої з відрізком, що сполучає середини відрізків РD та А ₀ В ₀. Якщо сполучити точку, яка визначає чверть відрізка натурального масштабу з точкою .

Отже, нехай дистанційна точка картини розташована поза її межами і немає змоги скористатися повною дистанційною відстанню. Тоді

- визначаємо певну її частину , яка розташована в межах картини на лінії горизонту і використовуємо цю точку за точку сходу;

- ділимо натуральний масштаб а на n рівних частин;

- будуємо лінію переносу, що сполучає вказані вище точки. Від перетину з глибинною прямою одержуємо шукану точку.

Масштаб широт. Масштаб, побудований на прямій, що паралельна до основи кар­тини, нази­ва­ють масштабом широт. Розглянемо його побудову на проеці­ювальному апа­ра­ті (Рис. 56, а). Нехай у предметній площині про­ве­дено пряму, паралельну до основи картини, і на цій прямій зафіксовано точ­ку . На основі кар­ти­ни за­дано довільні відрізки , , . Відкладемо їх довжини на заданій в пред­метній площині прямій від точки на ній. Для цього досить сполучити точку А ₀ з і через точки 1₀, 2₀ та 3₀ провести прямі, паралельні до як це зроблено на рисунку 56, б.

Побудову перспективи цієї комбінації прямих та відрізків проводять в такій послі­довності:

1) будуємо перспективу А точки предметної площини;

2) у площині картини через точку А проводимо пряму, паралельну до основи картини;

3) будуємо граничну точку від перетину лінії горизонту з прямою . Вона відповідатиме точці, одержаної від перетину променя зору, паралельного до прямої з лінією горизонту;

4) від перетину ліній переносу , з побудованою на картині прямою, одержуємо шукані точки 1, 2 та 3, такі що відрізки А -1, 1-2, 2-3 є перспективними зображеннями натуральних відрізків, відкладених на основі картини.

Отже для побудови перспективного масштабу широт натуральний масштаб з ос­нови картини переносять на задану пряму з допомогою ліній переносу, побудувавши їх спіль­ну точку сходу так, як вказано в п.3.

На картині (Рис. 57, а) задано пряму, проведену пара­ле­ль­но до основи картини з то­ч­кою А на ній. Необхідно від то­ч­ки А відкласти відрізок, довжина якого дорівнює 3 м у масштабі картини. Для цього проводимо глибинну пря­му РА до перетину А ₀ з ос­новою кар­ти­ни. На основі картини від точки А ₀ відкладаємо відрізок А ₀ В ₀, довжина якого дорівнює 3 м у масштабі картини. Від перетину прямої РВ ₀ із заданою прямою одержимо шукану точку В. Відрізок АВ матиме довжину 3 м у масштабі картини.

Нехай на картині задано горизонтальний відрізок. Для визначення його довжини вибирають на лінії горизонту або головну, або будь-яку іншу точку сходу ліній переносу. Для визначення натуральної величини заданого відрізка досить через вибрану точку Р або (Рис. 58) та кінці відрізка про­вести прямі до перетину з основою картини.

Масштаб висот. Масштаб, побудований на прямій, перпендикулярній до основи картини, називають масштабом висот. Розглянемо проеціювальний апарат (Рис. 59, а) у предметному просторі якого задано вертикальну пряму , що перетинає предметну площину в точці . На бічній правій стороні картини (пряма ) відкладемо натуральні відрізки , , у масштабі картини. Паралельними прямими та визначається площина , картинним слідом якої буде пряма , а предметним – . Для перенесення на пря­му масштабних відрізків, за­да­них на прямій , досить у площині через точки 1 _К, 2 _К, 3 _К провести прямі, паралельні з до перетину з прямою . В результаті на прямій одержимо відрізки , , , відповідно рівні з відрізками , , , що відкладено на прямій .

Побудуємо описану комбінацію прямих та відрізків у перспективі. Оскільки пряма перпендикулярна до предметної площини і відомо її предметний слід , то для побу­дови її перспективного зображення досить встановити перспективу А точки і через неї провести в площині картини вертикальну пряму. Промінь зору, паралельний до пред­метного сліду площини , перетне картинну площину в точці . Точка лежа­тиме на лінії горизонту і, взагалі кажучи, не співпадатиме з головною точкою картини. Картинні сліди А ₀, 1 _К, 2 _К, 3 _К паралельних прямих , , , відомі. Їх спільну граничну точку знайдено. Для побудови перспектив вказаних вище прямих досить сполучити точки А ₀, 1 _К, 2 _К, 3 _К з точкою . Прямі , , , будуть перспективами ліній переносу натурального масштабу. Від їх перетину з перспективою прямої , одержимо точки 1, 2, 3. Перспективні відрізки А –1, 1–2, 2–3 матимуть довжину натуральних відрізків , , у масштабі картини (Рис. 59, б).

У прикладі, наведеному щойно, картинний слід пло­щини , який містив натуральні відрізки, співпадав з краєм картини. Це спростило побудову, оскільки розвантажило картину від зайвих допоміжних ліній.

Взагалі ж, картинний слід з натуральними відрізками, залежно від вибору напрямку допоміжної площини, може бути побудовано в будь-якому місці картини. Точка сходу ліній переносу на горизонті визначатиметься в кожному конкретному випадку. Для її встановлення досить знайти граничну точку предметного сліду площини . При цьому результат побудови масштабу висот не зміниться (Рис. 60).

На картині (Рис. 61) зображено вертикальну пряму а і задано її предметний слід А. На прямій а від точки А відкладемо відрізок, натуральна довжина якого дорівнює 3 м при заданій одиниці масштабу. Для цього заключимо пряму а в довільну горизонтально-проектуючу площину (перпен­дикулярну до предметної пло­щини) і встановимо граничну точку та картин­ний слід А ₀ її предметного сліду. У картинній площині через точку А ₀ проведемо вертикальну пряму. Відкладемо на побудованій прямій від точки А ₀ три відрізки, довжина кожного з яких дорівнює 1 м натурального масштабу. Одержимо точку А_К. Від перетину лінії переносу з прямою а одержимо шукану точку В. Перспективний відрізок АВ матиме довжину 3 м у масштабі картини.

На картині (Рис. 62) задано два вертикальних відрізки та одиницю масштабу. Встановимо довжини цих відрізків. З цією метою включимо задані відрізки у горизонтально-про­ектуючі площини, за які, не втрачаючи загаль­ності, мож­на ви­брати глибинні площини. Тоді граничною точкою пред­метних слідів таких площин буде головна точка картини. Продовжимо прямі РА та РЕ до перетину з основою кар­тини. Одержимо точки А ₀ та Е ₀, через які в площині картини слід провести вертикальні прямі a та е. Точки B_K та L_K одержимо від перетину прямих а та е з прямими PB та PL відповідно. Довжини відрізків А ₀ B_K та Е ₀ L_K у масштабі картини дадуть дійсні їх розміри.