Назначение и математико-статистические идеи метода множественного регрессионного анализа.

Множественный регрессионный анализ (МРА) предназначен для изучения взаимосвязи одной переменной (зависимой, результирующей) и нескольких других переменных (независимых, исходных). Исходные данные для МРА представляют собой таблицу (матрицу) размерностью NxP. Строки этой таблицы соответствуют объектам (испытуемым), а столбцы – переменным. Все переменные при этом должны быть измерены в количественной шкале. Одна из переменных определяется исследователем как зависимая, а остальные (или их часть) – как независимые переменные. Допускается, что для некоторых объектов значения зависимой переменной неизвестны и их определение может составлять важный результат анализа.

МРА может применяться как для решения прикладных задач, так и в исследовательских целях. Обычно МРА применяется для изучения возможности предсказания некоторого результата (обучения, деятельности)[1] по ряду предварительно измеренных характеристик. При этом предполагается, что связь между одной зависимой переменной и несколькими независимыми переменными можно выразить линейным уравнением.

Помимо предсказания и определения степени его точности МРА позволяет определить и то, какие показатели («независимые переменные»), наиболее осуществимы, важны как для предсказания, а какими переменными можно пренебречь, исключив их из анализа.

Следует отметить родственность МРА и дисперсионного анализа. В основе этих методов лежит одна и та же линейная модель. В этом смысле можно рассматривать МРА как аналог многофакторного дисперсионного анализа для случая, когда независимые переменные представляют собой не градации факторов, а измерены в количественной шкале.

Исходным положением линейного МРА является возможность представления значений «зависимой» переменной через значения «независимых» переменны в виде линейного уравнения. После вычисления регрессионных коэффициентов по значениям независимых переменных для каждого из объектов могут быть вычислены оценки зависимой переменной. Сопоставление значений зависимой переменной с их оценками по выборке испытуемых, для которых значения известны, называется анализом остатков или ошибок. Он позволяет оценить возможные погрешности предсказания. Значения оценок могут быть вычислены и для испытуемых, истинные значения зависимой переменной для которых неизвестны. Далее можно вычислить коэффициент корреляции Пирсона между известными значениями «зависимой» переменной и ее оценками. Это один из способов получения коэффициента множественной корреляции (КМК) между «зависимой» и «независимыми» переменными. Коэффициент множественной корреляции – это мера линейной связи одной переменной с множеством других переменных; принимает положительные значения от 0 (отсутствие связи) до 1 (строгая прямая связь). КМК наряду с разностями между исходными и оцененными значениями «зависимой» переменной – основные показатели качества модели множественной регрессии.

Основной показатель МРА – коэффициент множественной корреляции, который, подобно парному коэффициенту корреляции Пирсона, является мерой линейной взаимосвязи одной переменной с совокупностью других переменных. КМК «зависимой» переменной с набором «независимых» переменных, как и КМД (коэффициент множественной детерминации), принимает только положительные значения, изменяясь в пределах от 0 до 1. Статистическая значимость КМК определяется по критерию F-Фишера для соответствующих степеней свободы.

Таким образом, основными целями МРА являются:

1. Определение того, в какой мере «зависимая» переменная связана с совокупностью «независимых» переменных, какова статистическая значимость этой взаимосвязи.

2. Определение существенности вклада каждой «независимой» переменной в оценку «зависимой» переменной, отсев несущественных для предсказания «независимых» переменных.

3. Анализ точности предсказания и вероятных ошибок оценки «зависимой» переменной.

4. Оценка (предсказание) неизвестных значений «зависимой» переменной по известным значениям «независимых» переменных.