Производные высших порядков. Механический смысл производной второго порядка. Производные высших порядков функций, заданных неявно и параметрически.

Производные высших порядков

Если функция f′(x) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается y′′.

Таким образом f′(x)=(f′(x))′ (1)

Опр.1. производной n-ого порядка (или n-ой производной) называется производная от производной n-1 порядка: y⁽ⁿ⁾=f^(n-1)(x) (2)

Производные n-ого порядка называются производными высшего порядка.

Замечания: f⁽⁰⁾(x)=f(x)

Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка P движется по закону S=S(t)

 

S′(t)=V(t) – скорость (.)P ⇒ S′′(t)=V′(t)=a(t) – ускорение

S′′(t)= , где - среднее ускорение (.)Р за время Δt

Производные высших порядков от неявных и параметрически заданных производных

I: если функция задана неявно f(x,y)=0 (3), то для нахождения производной 2 порядка y′′(x) необходимо:

1) Продифференцировать (3) по (х)

2) Выразить y(x) из полученного уравнения

3) Продифференцировать выражение из п.2

4) Подставить y′ в выражение п.3

5) Выразить y′′(x) из п.4

II: если функция задана параматрически системой уравнений (4)

То по формуле (5)

Тогда из (5):

(6)Аналогично считается 3-его и выше порядков.

Дифференциал функции и его геометрический смысл. Теоремы о дифференциалах. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Пусть y=f(x) имеет f′(x)≠0 ⇒ f′(x)= (по определению производной)

Тогда по теореме о связи предела функции (предела функции, функции и бмф)

Бмф: ; -бмф при Δх→0

Опр.1. главная линейная часть приращения функции Δy называется дифференциалом функции f(x) и обозн. dx=f′(x)Δx

dx = Δx

df=f′(x)dx

дифференциал функции равен произведению f′(x) на дифференциал независимой переменной.

Геометрический смысл дифференциала:

Дифференциал функции y=f(x) d (.)x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, тогда (.)х получают приращение Δх.

Следствие: (.)L(x+Δx;y+Δy)

Основные теоремы о дифференциалах

Теорема1. Об арифметических операциях дифференциала.

Дифференциал суммы, разности, произведения и частного двух дифференцируемых функций U=U(x), V=V(x) выражаются формулами:

1)

2)

3)

Теорема 2. Дифференциал сложной функции

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть y=f(φ(x)), где U=φ(x), x (a,b) (1) U-промежуточный аргумент

Следствие: Инвариантность (неизменность) формы первого дифференциала.

и

Сравнивая (1) и др.§ заметим: 1 дифференциал функции y=f(x) определяюся одной и той же формулой, независимо от того, является ее аргумент зависимой или независимой переменной.

Замечания 1.

Пусть y=f(U), U=φ(x), тогда U-зависимая переменная, а х – независимая переменная⇒dU≠ΔU а d(x)≠Δx

Замечание 2.

Таблица дифференциалов аналогична таблице производных.