Классификация точек разрыва функций и графики для них.

Пусть y=f(x) не выполняется равенство или , то есть функция y=f(x) не является непрерывной в (.)х_0. Такая точка называется точкой разрыва. Она является точкой разрыва, если выполняется, хотя бы одно и условий:

1) f(x) определена в U(x₀), но f(x₀)

2) f(x₀), но

3) f(x₀), , но

Точки разрыва:

1) Точки разрыва I рода: ;

· Устранимая точка разрыва A₁=A₂

· Точка конечного разрыва если А₁≠А₂, при этом |А₁-А₂| называется скачком функции в точке разрыва ((.)х₀)

2) Точки разрыва II рода: из одном из односторонних пределов A₁,A₂ или один из них равен ∞

 

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее механический и геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к кривой.

Задачи, приводящие к понятию производной

Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функций. Гладкая функция. Правила дифференцирования.

Теорема 1. Пусть y=f(x) дифференцируема в (.)х₀⇒она непрерывна в ней. Обратное утверждение неверно. Если функция y=f(x) непрерывна в(.) или на интервале, то она не обязательно дифференцируема в (.) или на интервале.

Следствия: если функция не дифференцируема в (.) х₀, то в (.)х₀ касательных. Обратное утверждение верно.

Теорема 2. Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в (.) чтобы касательная в (.)х_0.

Опр. 1. Если функция y=f(x) имеет непрерывную производную y′=f′(x), где (a,b), то эта функция называется гладкой.

Правила дифференцирования.

Пусть U=U(x), V=V(x) дифференцируема на (a,b) (

1) Сумма и разность функций дифференцируема на (a,b): (U(x) V(x))′=U′(x) V′(x)

2) Произведение функций дифференцируемо на (a,b), причем: (U(x)∙V(x))′=U′(x)∙V(x) + V′(x)∙U(x)

3) Частое функций дифференцируемо на (a,b), если V(x)≠0, где

Следствие из 2):

1) (C∙U(x))′=C∙U′(x), где C-любая const

2) Свойство линейности , где α, β – const

Производная сложной и обратной функций. Таблица производных элементарных функций.

Теорема 1. Пусть функция y=f(x) имеет производную в (.)х₀, т.е. f′(x₀), z=g(y) имеет производную в (.) y₀, где y₀=f(x₀) ( g′(y₀)), тогда сложная функция z=g(f(x)) имеет производную в точке x₀, которая определяется по формуле: z′(x₀)=g′(y₀)∙f′(₀)

Замечание: теорема дифференцирования сложной функции распространяется на конечное число вложений функции.

Z(t)=z(φ(y(t))), при этом существует z′_φ, φ′_y, y′_t, то z′(t)= z′_φ∙φ′_y∙ y′_t

Теорема 2. Пусть y=f(x) строго монотонна на (a,b). f′(x)≠0, обратная функция x=φ(y) имеет производную φ′(y), при этом справедлива формула φ′(y)=

Иначе: Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Таблица производных:

1) C′=0 2) (U^α)′ = α∙U^α-1 3) (a^u)′= a^u∙ lna ∙ U′(x); следствие: (e^u)′=e^u-U′(x) 4) ; следствие: 5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12) 13) ; 14) 15) ; 16) ;

 

14. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование, пример.

Пусть y=f(x) на [a,b], то говорят, что функция задана явно. Однако функция может быть задана неявно и параметрически.

Опр.1. Функция задана неявно на интервале (a,b), если она определяется уравнением f(x,y)=0 (1), не разрешенным относительно y.

Замечания: функцию, заданную явно: y=f(x) можно записать неявно: y=-f(x)=0

Правило1. Нахождение y′(x) для функции, заданной неявно уравнение (1):

1) Дифференцируем уравнение(1) по переменной х, рассматривая при этом y как функцию y(x).

2) Из полученного уравнения выражаем y′(x)

Опр.2. y=f(x) задана параметрически, если независимая переменная х и зависимая переменная y

связаны между собой параметрической системой уравнений: x=x(t); y=y(t); (2)

1) Пусть x′_t, y _t для всех

2) X(t) имеет обратную функцию t(x)

Правило 2. Дифференцирование параметрически заданной функции с помощью (2)

1) Вычислить производные x′(t), y′(t)

2) По правилу дифференцирования сложной функции y=y(t)=y(t(x)) имеем y′(x)=y′(t)∙t′(x)

3) По правилу дифференцирования обратной функции из полученного равенства имеем: (3)

Иногда при нахождении производных от сложных функций применяют логарифмическое дифференцирование.

Правило 3.

1) Исходную функцию логарифмируют

2) Полученную логарифмическую функцию дифференцируют и выражают y′(x)

Правило 3 применяют для степенно-показательных функций.

Утверждение: y=U(x)^V(x)

Справедлива формула дифференцирования: