Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Бесконечно большая функция.

· Опр.1. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀, если для любой последовательности допустимых значений аргумента х_n, , сходящейся к х₀, последовательность соответствующих значений функции f(x_n), , сходится к числу А. Обозначение:

· Опр.2(по Коши). такое положительное число , что и удовлетворяющий неравенству ,будет выполняться неравенство |f(x)-A|

· Замечания: в опр. 1 и 2 (.)х→(.)х₀ различным способом. Рассматривают однако случаи когда (.) х→(.)х₀ слева и справа.

· Опр. 3. Число В называется пределом функции y=f(x) слева в (.) х₀, если , что для и удовлетворяющего условию х-х0> - , т.е. , выполняется условие |f(x)-В| . Обозначение:

· Опр.4. Число А называется пределом функции y=f(x) слева в (.) х₀, если , что для и удовлетворяющего условию х-х₀< , т.е. , выполняется условие |f(x)-A| . Обозначение:

· Опр.5. Число А называется пределом функции y=f(x) при , если , что для удвл.неравенству |x|>M выполняется неравенство |f(x)-A| . Обозначение:

· Опр.6. Функция называется бесконечно большой, при х→х₀, если , что , х≠х₀ выполняется неравенство |f(x)|>M.

Обозн.

Опр.7. Функция y=f(x) называется бесконечно большой при х→∞, если , что |х|> . Обозн.

· Замечания: в вышеприведенных определениях . Пример бесконечно большой функции , т.к.

Бесконечно малые функции, их свойства. Связь между функцией, пределом и бесконечно малой функцией. Основные теоремы о пределах функций.

· Опр.1. Функция y=f(x) называется бесконечно малой при х→х₀, если . Данное равенство обозначает: , что |х→х₀|< и выполняется неравенство |f(x)|< . Обозн. Б.м.ф.:

· Замеч. Функция y=f(x) может быть б.м.ф. и при х→х₀-0, и при х→х₀-0, в этих случаях f(x)→0

Свойства бмф.

1) Алгебраическая сумма конечного бмф есть бмф.

2) Произведение бмф на ограниченную функцию есть бмф.

Следствие:

a) Произведение бмф есть бмф

b) Частное бмф на функцию, предел которой отличен от 0, есть бмф

c) Произведение бмф на число есть бмф

3) Пусть бмф при х→х₀ – ббф, при х→х_0. Верно и обратное.

Теорема 1. Связь между функцией, ее пределом и бмф.

Если функция y=f(x) имеет предел: , то ее можно представить в виде:

, где -бмф при х→х₀. Верно и обратное.

Основные теоремы о пределах функций.

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

Теорема 2. Функция может иметь только один предел при

Теорема 3. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Теорема 5. предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: . В частности

Теорема 6. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: