ТОП 10:

Геометрическая сторона задачи.



Она связана с применением гипотезы Бернулли (плоских сечений)

Экспериментально установлено, что при кручении круглого бруса ось стержня не меняет своей длины и формы, а поперечные сечения, плоские и нормальные к плоскости бруса до приложения крутящего момента, остаются такими же после приложения крутящего момента, и поворачиваются друг относительно друга. Физическая модель резинового бруса: поперечные сечения закручиваются друг относительно друга.

Выделим участок бруса длиной dz и имеющего радиус r (рис. 8.2).

 

 

Рис. 8.2 Участок бруса

Пусть левая часть неподвижна.

(4)

j - абсолютный угол поворота

q - относительный угол закручивания (поворота), приходящийся на единицу длины

g - угловая деформация

Физическая сторона задачи

Заключается в применении закона Гука.

Закон Гука для угловых деформаций:

t = g×G (5), G – модуль сдвига (модуль упругости II–го рода)

Gстали = 8×104 МПа = 8×1010 Па

Объединяя три стороны задачи, получаем:

 

 

 


Рис. 8.3 Эпюра касательных напряжений

из (4), получаем g = r×q => (5) Mкр = t×r dF

t = r×s× G (6) => (2) Mкр = r2×q×G dF (2) = q×G r2 dF

const Ip

Ip = r2 dF – полярный момент инерции

Ix = Iy = p×D4/64; Ip = 2×Ix = 2×Iy = p×D4/32

q = Mкр/ (G×Ip) (7)

(7)®(6) => t = (Mкр×r×G)/Ip= (Mкр×r)/Ip

t = (Mкр×ri)/Ip (8)

Анализируя формулу (8), делаем вывод, что касательные напряжения при кручении распределяются по нормальному закону (рис. 8.3).

tmax возникают при r =

Wp = Ip/(D/2) – полярный момент сопротивления

Для круглого сплошного сечения: Wp = (p×D3)/16

Тогда tmax = Mкр/Wp; Мкр/Wк [t], где Wк – момент сопротивления при кручении, равный в данный момент Wp.

tmax = Mкр/Wк£ [t] – условие прочности при кручении.

8.1.1 Геометрические характеристики Ip и Wp

характеристики Ip Wp
D

d
D

 

Анализируя эпюру t, мы видим, что в центре сечение не нагружено, т.о. рациональным сечением является не сплошной вал, а кольцо.

Задача

D1
: сопоставить по металлоемкости два равноправных сечения (рис. 8.4).

 


Рис. 8.4 Полое и сплошное сечения вала

Равнопрочные:

tmax1 = tmax2

tmax1 = Мкр/Wp1

tmax2 = Мкр/Wp2

Мкр/Wp1 = Мкр/Wp1Þ 1/Wp1 = 1/Wp1

(p×D31)/16 = [(p×D32)/16]×(1–(d24/D24))Þ1/D13 = 1/(D23(1–0.84));

0.59 D23 = D13;

D1 = D×0.839.

Сопоставляем сечения 1 и 2 по металлоемкости:

F1/F2 = [(p×D12)/4]/[((p×D22)/4)–(1–d22/D22)] = 1.9.

8.2 Кручение прямоугольных стержней

При кручении прямоугольных стержней гипотеза плоских сечений не выполняется, так как сечения искривляются - депланируют. Задача о кручении прямоугольных стержней решается в теории упругости.

Готовые формулы

h>b

 

 

Рис. 8.5 Эпюра касательных напряжений для некруглых стержней

В углах и центре тяжести 0

где Wk = a×b2×h - момент сопротивления при кручении

Ik = b×b3×h -

a, b, g -коэффициенты, зависят от соотношения







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.15.142 (0.005 с.)